正割、正切、反三角
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正割函数
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【定义】
【性质】
【图像】
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【定义】
在y=secx中,以x的任一使secx有意义的值与它对应的y值作为(x,y)(在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像,也叫正割曲线( [编辑本段]
【性质】
y=secx的性质:
(1)定义域,{x|x?π/2+kπ,k?Z}
(2)值域,,secx,?1(即secx?1或secx?,1;
(3)y=secx是偶函数,即sec(,x)=secx(图像对称于y轴;
粗线是正割函数,细线是余割函数 (4)y=secx是周期函数(周期为2kπ(k?Z,且k?0),最小正周期T=2π(
(5)正割与余弦互为倒数;余割与正弦互为倒数;
(6)正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ;
(7) 正割函数是无界函数;
(8)正割函数的导数:(secx)′=secx×tarx;
(9)正割函数的不定积分:?secxdx=ln?secx+tanx?+C
正切函数
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正切函数的概述
正切函数的定义
正切函数的性质
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正切函数的概述
正切函数是三角函数的一种
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正切函数的定义
对于任意一个实数x,都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数),而这个角又对应着唯一确定的正切值tanx与它对应,按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。
形式是f(x)=tanx
正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,
它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性. [编辑本段]
正切函数的性质
1、定义域:{x|x?(π/2)+kπ,k?Z}
2、值域:实数集R
3、奇偶性:奇函数
4、单调性:在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ),k?Z上都是增函数
5、周期性:最小正周期π(可用π/|ω|来求)
6、最值:无最大值与最小值
7、零点:kπ, k?Z
8、对称性:
轴对称:无对称轴
中心对称:关于点(kπ/2,0)对称 k?Z
9、图像(如图所示)
实际上,正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有零点都是它的对称中心.
反三角函数
百科名片
是一种
术语。反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多值函数。它是
反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x这些函数的统称,
各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
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英文名称:
数学术语
公式
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英文名称:
Inverse trigonometric functions [编辑本段]
数学术语
为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2?y?π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0?y?π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2
要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数,而不是f-1(x).
(1)正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。
(2)余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。
(3)正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。
反三角函数主要是三个:
y,arcsin(x),定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]图象用红色线条;
y=arccos(x),定义域[-1,1] , 值域[0,π],图象用蓝色线条;
y=arctan(x),定义域(-?,+?),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;
sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx
证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得
其他几个用类似方法可得
cos(arccos x)=x, arccos(-x)=π-arccos x
tan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx
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公式
反三角函数其他公式
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π,arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π,arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
当x?[—π/2,π/2]时,有arcsin(sinx)=x
当x?[0,π],arccos(cosx)=x
x?(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x
x?(0,π),arccot(cotx)=x
x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
若(arctanx+arctany)?(—π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)