2013考研数学高数公开课-中值定理辅导讲义[终稿]

2013考研数学高数公开课-中值定理辅导讲义[终稿] 公开课一:中值定理及应用 一、预备知识 ,,01、极值点与极值—设连续，其中。若存在，当x,Dy,f(x)(x,D)0 ,,0时，有，称为的极大点;若存在，当0,|x,x|,,f(x),f(x)x,xf(x)000 时，有，称为的极小点，极大点和极小点称为0,|x,x|,,f(x),f(x)x,xf(x)000 极值点。 2、极限的保号性定理 ,,0定理 设，则存在，当时，，limf(x),A,0(,0)0,|x,x|,,f(x),0(,0)0x,x0 即函数极限大于零则邻域大于零;极限小于零则邻域小于零。 A,,,0【证明】设，取，因为，由极限的定义，存在limf(x),A,0limf(x),A0x,xx,x002 AA,,0|f(x),A|,f(x),,0，当时，，于是。0,|x,x|,,022 3、极限保号性的应用 ,,fx(),x,1【例1】设，讨论是否是极值点。 f(1),0,lim,2x,1x|,1| ,【例题2】(1)设，讨论是否是的极值点; x,af(a),0f(x) ,(2)设，讨论是否是的极值点。 x,af(a),0f(x) fxfa(),(),,,0lim,0【解答】(1)设，即，由极限的保号性，存在，当f(a),0x,axa, f(x),f(a),0时，有。 0,|x,a|,,x,a 当时，;当时，。x,(a,,,a)f(x),f(a)x,(a,a，,)f(x),f(a) 显然x,a不是的极值点。 f(x) fxfa(),(),,,0lim,0(2)设，即，由极限的保号性，存在，当f(a),00,|x,a|,,x,axa, f(x),f(a),0时，有。 x,a 当x,(a,,,a)时，f(x),f(a);当x,(a,a，,)时，f(x),f(a)。 x,af(x)显然不是的极值点。 ,,【结论1】设连续函数在处取极值，则或不存在。x,af(x)f(a),0f(a) ,【结论2】设可导函数在处取极值，则。 x,af(x)f(a),0 二、一阶中值定理 定理1(罗尔中值定理)设函数满足:(1);(2)在内可f(x)f(x),C[a,b]f(x)(a,b) ,导;(3)，则存在，使得。 f(a),f(b),,(a,b)f(,),0 定理2(Lagrange中值定理)设满足:(1);(2)在内可f(x)f(x),C[a,b]f(x)(a,b) f(b),f(a),f(),导，则存在，使得,。 ,,(a,b)b,a 【注解】 (1)中值定理的等价形式为: ,，其中; f(b),f(a),f(,)(b,a),,(a,b) ,0,,,1，其中。 f(b),f(a),f[a，,(b,a)](b,a) (2)对端点有依赖性。 ,a,b ,(3)端点可以是变量，如，其中是介于与之间的axxa,bf(x),f(a),f(,)(x,a), 的函数。 定理3(Cauchy中值定理)设满足:(1);(2)f(x),g(x)f(x),g(x),C[a,b]f(x),g(x) ,在内可导;(3)，则存在，使得(a,b)g(x),0,x,(a,b),,(a,b) ,,f(b),f(a)f() ,。 ,g(b),g(a)g(,) (n)题型一:证明 f(,),0 【例题1】设，，证明:存在使f(x),C[0,3]f(0)，f(1)，f(2),3,f(3),1,,(0,3) ,得f(,),0。 【例题2】设曲线L:y,f(x)(x,[a,b])，f(x),C[a,b]，在(a,b)内二阶可导，连接 L端点A(a,f(a))B(b,f(b))C(c,f(c))(a,c,b)与的直线与曲线交于内部一点，证明: ,,,,(a,b)f(,),0存在，使得。 ,,【例题3】设，在内可导，且，证明:存在，f(a)f(b),0f(x),C[a,b](a,b),,(a,b)，, ,使得。 f(,),0 题型二:结论中含一个中值，不含，且导数之间差距为一阶 ,a,b 【例题1】设，在内可导，，证明:存在，f(x),C[a,b](a,b)f(a),f(b),0,,(a,b) ,使得。 ,f(,)，f(,),0 【例题2】设，在内可导，，证明:存在f(x),g(x),C[a,b](a,b)f(a),f(b),0 ,,，使得。 ,,(a,b)f(,)，f(,)g(,),0 【例题3】设，在内二阶可导，且，证明:存在，f(x),C[0,1](0,1)f(0),f(1),,(0,1) ,,2f(),,,使得。 f(),1,, 题型三:含中值,,, 情形一:含中值的项复杂度不同 ,,, 【例题1】设，在内可导，且，证明:存在，f(x),C[a,b](a,b)f(a),f(b),1,,,,(a,b) ,,,,使得。 e[f(,)，f(,)],1 【例题2】设，在内可导，证明:存在，使得f(x),C[a,b](a,b)(a,0),,,,(a,b) ,,f(),,f(),(a，b)。 2, 情形二:含中值的项复杂度相同 ,,, 【例题1】设，在内可导，且。f(x),C[0,1](0,1)f(0),0,f(1),1 (1)证明:存在c,(0,1)，使得f(c),1,c。 ,,(2)证明:存在,,,,(0,1)，使得f(,)f(,),1。 f(x),C[0,1](0,1)f(0),0,f(1),1,,,,(0,1)【例题2】设，在内可导，且，证明:存在， 21使得。 ，,3,,f,f,()() 三、高阶中值定理—泰勒中值定理 x,sinx背景:求极限。 lim3x,0x n，1定理4(泰勒中值定理)设函数在的邻域内有直到阶导数，则有x,xf(x)0 (n),,f(x)f(x)2n00,，f(x),f(x)，f(x)，(x,x)，？，(x,x)，R(x)0000n2!n! (1)n，f(),n且，其中介于与之间，称此种形式的余项为拉格郎日型xxR(x),(x,x),00n(n，1)! n余项，若，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。R(x),o[(x,x)]n0 特别地，若，则称 x,00 n(),,f(0)f(0)n2,f(x),f(0)，f(0)，(x,x)，？，x，R(x)，n02!n! (n，1),f(x)n，1为马克劳林公式，其中。 R(x),x(0,,,1)n(n，1)! 【注解】常见函数的马克劳林公式 nxxne,1，x，？，，o(x)1、。 n! 3nx(,1)2n，12n，12、。 sinx,x,，？，x，o(x)3!(2n，1)! 2nx(,1)2n2n3、。 cosx,1,，？，x，o(x)2!(2n)! 1nn,1，x，？，x，o(x)4、。 1,x 1nnn,1,x，？，(,1)x，o(x)5、。 1，x 2n,1x(,1)nnln(1，x),x,，？，x，o(x)6、。 2n 专题一:泰勒公式在极限中的应用 x,sinx【例题】求极限。 lim3x,0x 专题二:二阶保号性问题 ,,设函数的二阶导数，这类问题主要有两个思路:f(x)f(x),0(,0) ,,,思路一:设，则单调增加 f(x),0f(x) ,,【例题1】设在上满足且，证明:对任意的有f(x)[0,，,)f(x),0f(0),0a,0,b,0 。 f(a)，f(b),f(a，b) ,,,【例题2】设在上满足且，证明:在f(x)[a,，,)f(x),0f(a),,2,f(a),1f(x) 内有且仅有一个零点。 (a,，,) 思路二:重要不等式 ,,f(),2,,,f(x),f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)设，因为，f(x),000002! 所以有 , ， f(x),f(x)，f(x)(x,x)000 其中等号成立当且仅当。 x,x0 fx(),,lim,1【例题1】设，，且，证明:。f(x),C(,,,，,)f(x),0f(x),xx,0x ,,【例题2】设，证明:对任意的x,[a,b](i,1,2,？,n)及f(x),0(a,x,b)ik,0(i,1,2,？,n)k，k，？，k,1且，证明: i12n f(kx，kx，？，kx),kf(x)，kf(x)，？，kf(x) 。1122nn1122nn ,,【例题3】设且，证明: f(x),C[0,1]f(x),0 112f(x)dx,f() 。 ,03