【2017年整理】求不定积分的
及技巧小汇总
求不定积分的方法及技巧小汇总~
1.利用基本公式。(这就不多说了~)
2.第一类换元法。(凑微分)
设f(μ)具有原函数F(μ)。则
f,[(x)],,'(x)dx,f[,(x)]d,(x),F[,(x)],C,,
其中可微。 ,(x)
用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:
ln(x,1),lnx例1: dx,x(x,1)
111【解】 (ln(x,1),lnx)',,,,x,1xx(x,1)
ln(x,1),lnx12dx,,(ln(x,1),lnx)d(ln(x,1),lnx),,(ln(x,1),lnx),C,,x(x,1)2
1ln,x例2: dx2,(ln)xx
【解】 (xlnx)',1,lnx
1lnln1,xdxx dx,,,,C22,,(1)(ln)lnxx,xxxx
3.第二类换元法:
设是单调、可导的函数,并且具有原函数,,'(t),0.又设f[,(t)],'(t)x,,(t)
则有换元公式
f(x)dx,f[,(t)],'(t)dt ,,
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种:
22(1)a,x:x,asint;x,acost
22(2)x,a:x,atant;x,acott;x,asht
22(3)x,a:x,asect;x,acsct;x,acht
nnax,b:ax,b,t(4)
ax,bax,bnn :,t(5)cx,dcx,d
1m2当被积函数含有x,ax,bx,c,有时倒代换x,也奏效。(6)t4.分部积分法.
公式: ,d,,,,,,d,,,
分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成
不定积分。具体选取时,通常基于以下两点考虑: ,、,
(1)降低多项式部分的系数
(2)简化被积函数的类型
举两个例子吧~~
3,arccosxx例3: dx,21,x
【解】观察被积函数,选取变换,则 t,arccosx
33xarccosxcost3 dx,t(,sint)dt,,tcostdt,,,,2sint1,x
123t(sint,1)dsint,td(sint,sint),,,3
1133tsin,tsint,(sint,sint)dt,,33
1132 tsin,tsint,(sint,1)dcost,,33
12133tsin,tsint,cost,cost,C,339
121322,x,x,(x,2)1,xarccosx,C933
2arcsinxdx例4: ,
【解】 122arcsinxdx,xsinx,x2arcsinxdx,,21,x
2xarcsinx,2arcsinxd1,x,,
222xarcsinx,21,xarcsinx,1,xdx, ,21,x
2xarcsinx,21,xarcsinx,2x,C
上面的例3,降低了多项式系数;例4,简化了被积函数的类型。
有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。 在中,的选取有下面简单的规律: ,d,,,,,,d,,、,,,
ax,,(1)P(x),e,sinax,cosax,,m
,,(2)lnx,arctanx,arcsinx,P(x),,m ax,,,,(3)e,cosx,sinx,,
(3)会出现循环,注意,,,选取的函数不能改变。
将以上规律化成一个图就是:
(lnx (a^x arcsinx) sinx) Pm(x ) μ ν
但是,当时,是无法求解的。 ,,lnx,,,arcsinx
对于(3)情况,有两个通用公式:
axeaxI,esinbx,dx,(asinbx,bcosbx),C122,a,b
ax eaxI,ecosbx,dx,(acosbx,bsinbx),C222,a,b
(分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中,常可以看到分部积分)
5.几种特殊类型函数的积分。
(1)有理函数的积分
P(x)P*(x)P*(x)有理函数先化为多项式和真分式之和,再把分解为若干Q(x)Q(x)Q(x)
dxI,个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现n22n,(a,x)
2,3xn,,时,记得用递推公式:II) nn,1222n,122(,1)(,)2(,1)anxaan
642,,4,2xxx例5:dx 322,(,1)xx
6426422xx4x2xx4x2,,,,,x4x,2,【解】,,, 3223223222322x(x1)x(x1)x(x1)x,1x(x,1),,,
x12dx,ln(x,1),C2,x,12 2224x,24x,22x,122dx,xdx,dx,,x322422422,,,x(x,1)x(x,1)x(x,1)
22,,,21(1),,,,,d,d,2222,,,,,,(1)(1),,
11111,(),d,,,C,,,C2222,,(,1),1,(1),,xx,故不定积分求得。
(2)三角函数有理式的积分
x,2tan,2xsin,,x2,1,tan,2万能公式: ,x2,1,tan2,cosx,,x21,tan,2,
P(sinx,cosx)x的积分,但由于计算较烦,dx可用变换t,tan化为有理函数,Q(sinx,cosx)2
应尽量避免。
sinxcosx或对于只含有tanx(或cotx)的分式,必化成。再用待定系数 cosxsinxA(acosx,bsinx),B(acos'x,bsin'x)来做。(注:没举例题并不代表不重要~) acosx,bsinx
(3)简单无理函数的积分(变量替换)
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
2x和1,xx,tant像一些简单的,应灵活运用。如:同时出现时,可令;
22x和1,xx,sint1,x和arcsinx同时出现时,可令;同时出现时,可令
21,x和arccosxx=sint;同时出现时,可令x=cost等等。