定积分的换元积分法

定积分的换元积分法 5.2.2 定积分的换元积分法和分部积分法 我们已经会依据牛顿—莱布尼兹公式给出的步骤求定积分:先求被积函数的一个原函数，再求原函数在上、下限处的函数值之差(这是计算定积分的基本方法(但这种方法遇到用换元积分法求原函数时，需将新变量还原为原来的积分变量，才能求原函数之差，如例,所做的那样(这样做比较麻烦(现介绍省略还原为原积分变量的步骤计算定积分的方法( 1( 定积分的换元积分法 先看例,用新方法来计算( 2x,0t,0x,4t,2x,t令，即，当时，(当时，(于是 x,t,dx,2tdt 2tdtdx242,,( 2,,t,ln(1，t),2(2,ln3),,0001t，1，x 这样做省略了将新变量还原为原积分变量的麻烦(但需注意两点: xt 第一，引入的新函数必须单调，使在区间上变化时，在区间上xx,,(t)[,,,][a,b]t 变化，且，( a,,(,)b,,(,) 第二，改变积分变量时必须改变积分上、下限，简称为换元必换限( 严格说来，关于定积分的换元积分法有下面的定理( 定理3 设 (1) 函数在区间上连续( f(x)[a,b] (2) 函数在区间上单调，且有连续导数( x,,(t)[,,,] (3) 时，，且，， x[,,,][a,b]a,,(,)b,,(,)t,, b,,则 ( (3) f(x)dxf,,,(t),(t)dt,,,a, 公式(3)称为定积分的换元积分公式(证明从略( a22例8 求 ( (a,0)a,xdx,0 ,,x,asintdx,acostdtx,0t,0(t,[0,])t,x,a解 令 ，则(当时，时，22 于是 ,,a222222 ,acost,acostdt,acostdta,xdx,,,000 ,22,1cos2sin21，tat,,222,adt,t，,,a ( ,,,02224,,0