定积分的换元积分法
5.2.2 定积分的换元积分法和分部积分法
我们已经会依据牛顿—莱布尼兹公式给出的步骤求定积分:先求被积函数的一个原函数,再求原函数在上、下限处的函数值之差(这是计算定积分的基本方法(但这种方法遇到用换元积分法求原函数时,需将新变量还原为原来的积分变量,才能求原函数之差,如例,所做的那样(这样做比较麻烦(现介绍省略还原为原积分变量的步骤计算定积分的方法(
1( 定积分的换元积分法
先看例,用新方法来计算(
2x,0t,0x,4t,2x,t令,即,当时,(当时,(于是 x,t,dx,2tdt
2tdtdx242,,( 2,,t,ln(1,t),2(2,ln3),,0001t,1,x
这样做省略了将新变量还原为原积分变量的麻烦(但需注意两点: xt
第一,引入的新函数必须单调,使在区间上变化时,在区间上xx,,(t)[,,,][a,b]t
变化,且,( a,,(,)b,,(,)
第二,改变积分变量时必须改变积分上、下限,简称为换元必换限(
严格说来,关于定积分的换元积分法有下面的定理(
定理3 设
(1) 函数在区间上连续( f(x)[a,b]
(2) 函数在区间上单调,且有连续导数( x,,(t)[,,,]
(3) 时,,且,, x[,,,][a,b]a,,(,)b,,(,)t,,
b,,则 ( (3) f(x)dxf,,,(t),(t)dt,,,a,
公式(3)称为定积分的换元积分公式(证明从略(
a22例8 求 ( (a,0)a,xdx,0
,,x,asintdx,acostdtx,0t,0(t,[0,])t,x,a解 令 ,则(当时,时,22
于是
,,a222222 ,acost,acostdt,acostdta,xdx,,,000
,22,1cos2sin21,tat,,222,adt,t,,,a ( ,,,02224,,0