武汉艺考生文化课 武昌区华英艺考让你实现梦想2009年
试题
2222ABDMxyrr:(4)(0),,,,Eyx:,1. 如图,已知抛物线与圆相交于、、、四个点。 C
BDP(I)求得取值范围; (II)当四边形的面积最大时,求对角线、的交点坐标 rABCDAC
2222Mxyrr:(4)(0),,,,Eyx:,分析:(I)这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立,消
222y去,整理得((((((((((((((,) xxr,,,,7160
2222ABDMxyrr:(4)(0),,,,Eyx:,抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是:C
15r,(,4)方程(,)有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思2
想来处理也可以(
(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的
处理本小题是一个较好的切入点(
设四个交点的坐标分别为Axx(,)、Bxx(,),、Cxx(,),、Dxx(,)。 11112222
152xxxxr,,,,7,16r,(,4))根据韦达定理有, 则由(I12122
1则 Sxxxxxxxx,,,,,,,,2||()||()211221122
2222?,,,,,,,,,Sxxxxxxxxrr[()4](2)(7216)(415) 12121212
2222Stt,,,(72)(72)令,则 下面求的最大值。 S16,,rt
方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求,但在处理一些最值问题有时很方
便。它的主要手段是配凑系数或常数,但要注意取等号的条件,这和二次均值类似。
122 Sttttt,,,,,,,(72)(72)(72)(72)(144)2
17272144128,,,,,ttt33 ,,,()()2323
157r,(,4) 当且仅当,即时取最大值。经检验此时满足题意。 t,72144,,,tt26
方法二:利用求导处理,这是命题人的意图。具体解法略。
PPPx(,0)下面来处理点的坐标。设点的坐标为: p
xxx,7121,由三点共线,则得。 xxxt,,,APC、、p12xxxx,,6121p
以下略。
22yx1C,,,,1(0)abC3.已知椭圆:的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为( A(1,0)1122ab
(I)求椭圆C的方程; 1
2PPCyxhh,,,()RCC (II)设点在抛物线:上,在点处的切线与交于点(当线段MN,221
AP的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值( MNh
b,1,2a,2,y,22,,x1解析:(I)由题意得所求的椭圆方程为, ,,?,,b4b,121,,,,a,
2,C(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为,直线MNyt,2MxyNxyPtth(,),(,),(,),,2xt,1122
2222ytxth,,,24(2)40xtxth,,,,,C的方程为,将上式代入椭圆的方程中,得,即122222414()()40,,,,,,,txtthxthC,因为直线MN与椭圆有两个不同的交点,所以有,,1
422,,,,,,,,,,162(2)40thth, 1,,
2xxtth,,()12x,,x设线段MN的中点的横坐标是,则, 33222(1),t
t,12tht,,,,(1)10xxx,设线段PA的中点的横坐标是,则,由题意得,即有,其中的x,43442
2或; ,,,,,?,(1)40,1hhh,,32
4222,,hh,,,,20,40,,,,,,,,162(2)40thth当时有,因此不等式不成立;因此,h,,3h,11,,
2tht,,,,(1)10当时代入方程得,将代入不等式ht,,,1,1h,1t,,1
422,,,,,,,,,,162(2)40thth成立,因此的最小值为1( h1,,
223xyx,Cab:1(0,0),,,,33、已知双曲线的离心率为,右准线方程为 223ab
22Pxyxy(,)(0),Oxy:2,,(?)求双曲线的方程;(?)设直线是圆上动点处的切线,Cll0000
与双曲线交于不同的两点AB,,证明的大小为定值. C,AOB
2,a3,,,222c3解法?由题意,得,解得, ?,?所求双曲线的方程为bca,,,2ac,,1,3C,c,,3,a,
2y2x,,1. 2
22xy,,2(?)点在圆上,圆在点处的切线方程为Pxyxy,0,Pxy,,,,,,,000000
2,y2xx,,1,220xy,,2xxyy,,2,化简得.由及得yyxx,,,,,,2,000000y0,xxyy,,200,
222202,,x344820xxxxx,,,,,,?切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且, l,,0000
2222,,,,,,16434820xxx?,且, 340x,,,,,,0000
2482xx,00设A、B两点的坐标分别为,则, xyxy,,,xxxx,,,,,,,,11221212223434xx,,00
OAOB,1?,且, cos,,AOBOAOBxxyyxxxxxx,,,,,,,22,,,,12121201022yOAOB,0
2222,,xx82,,,828,xx1100200,,,,,,,,,xxxxxxxx42,,,,4,,1201201222222,,2,x3423434xxxx,,,,,,00000,,
228282,,xx:00.? 的大小为. 90,,,,0,AOB223434xx,,00
xoy7. 在平面直角坐标系中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在轴上。 x(1)求抛物线C的
方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和EMmm(,0)(0),
两点间的距离为fm(),求fm()关于的
达式。 m
22xy6,,18.设椭圆E: (a,b>0)过M(2,2) ,N(,1)两点,O为坐标原点, 22ab
(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,,若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
22xy6,,1解:(1)因为椭圆E: 2(a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点, 22ab
4211,,,,1,222222,,,a,8xy,,aba8,,1所以解得所以椭圆E的方程为 ,,,2611184b,4,,,,,1,222,,abb4,,
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
ykxm,,,,2222xkxm,,,2()8OAOB,,设该圆的切线方程为ykxm,,解方程组得,即,xy,,1,84,
222(12)4280,,,,,kxkmxm,
22222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm,,,,,,,则?=,即 840km,,,
4km,xx,,,122,,,12k,,228m,,xx,122,12,k,
222222kmkmmk(28)48,,222要使yykxmkxmkxxkmxxmm,,,,,,,,,,,()()()12121212222121212,,,kkk
222288mmk,,22xxyy,,0,需使,即,所以,所以,,0OAOB,3880mk,,,1212221212,,kk
22,m,2262638m,82222m,,m,k,,0又,所以,所以,即或,因为840km,,,m,,2338338m,,
直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为ykxm,,
22m26mm88222r,,,,所求的圆为,此时圆的切线r,r,,,xy,,222338m,13,k31,k1,8
262626m,,x,,m,都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆ykxm,,333
2226262626xy(,),(,),,,,1的两个交点为或满足OAOB,,综上, 存在圆心在原333384
822点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,. xy,,3
4km,xx,,,122,,,12k因为, ,228m,,xx,122,12,k,
2224288(84)kmmkm,,,222()()4()4xxxxxx,,,,,,,,,所以, 12121222221212(12),,,kkk
228(84)km,,22222 ||()(1)()(1)ABxxyykxxk,,,,,,,,,,,12121222(12),k
4223245132kkk,,, ,,,,[1]424234413441kkkk,,,,
321?当时||[1]AB,, k,013244k,,2k
1112因为所以, 448k,,,0,,21k8244k,,2k
32321所以, ,,,[1]12133244k,,2k
24k,,所以当且仅当时取”=”. 6||23,,AB23
46||AB,? 当时,. k,03
2626262646(,),(,),,||AB, 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时, ?33333
44综上, |AB |的取值范围为即: 6||23,,AB||[6,23]AB,33222210.在平面直角坐标系中,已知圆和圆.xoyCxy:(3)(1)4,,,,Cxy:(4)(5)4,,,,12
C23(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线A(4,0)l1
的方程;l
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂
CClCll直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆121211
lC截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条22
件的点P的坐标。
【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查
运算求解能力、综合
分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线的方程为:,即 ykx,,(4)kxyk,,,40l
2322C由垂径定理,得:圆心到直线的距离, ld,,,4()112
|314|,,,kk结合点到直线距离公式,得:,1, 2k,1
72化简得: 2470,0,,kkkork,,,,,24
7y,0y,0求直线的方程为:或,即或724280xy,,, lyx,,,(4)
24
ll(2) 设点P坐标为(,)mn,直线、的方程分别为: 12
111,即: ynkxmynxm,,,,,,,(),()kxynkmxynm,,,,,,,,,0,0kkk
lClC因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::1122
lClC圆心到直线与直线的距离相等。 1122
41|5|,,,,nm|31|,,,,knkmkk故有:, ,21k,1,12k
化简得: (2)3,(8)5,,,,,,,,,,mnkmnmnkmn或
20,,,mnm-n+8=0,,关于的方程有无穷多解,有: k,或,,mn,,,30m+n-5=0,,
31351解之得:点P坐标为或。 (,),(,),2222
2Cyx:,Axy(,)Bxy(,)xx,12.已知曲线与直线交于两点和,且(记曲线在lxy:20,,,CAABBAB
ABLABDL点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为(设点是上的任一Pst(,)
PAB点,且点与点和点均不重合(
ABM(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程; QPQ
51222D(2)若曲线与有公共点,试求的最小值( aGxaxyya:240,,,,,,25
152ABMy,xx,,1,x,2解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标y,x,2PQQ(,)AB22
15,s,t1522Px,,y,为,则,即s,2x,,t,2y,,又点在曲线上, (x,y)C2222
115122PLAB?化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则2y,,(2x,)y,x,x,822
11151512M,即,,x,,?中点的轨迹方程为(,,x,). ,1,2x,,2y,x,x,448442
y
xB
xA D
ox
51222(2)曲线, Gxaxyya:240,,,,,,25
49722E()(2)E(a,2)r,即圆:,其圆心坐标为,半径 x,a,y,,255
51222D0,a,2由图可知,当时,曲线与点有公共点; Gxaxyya:240,,,,,,25
51222DE当时,要使曲线与点有公共点,只需圆心到直线Gxaxyya:240,,,,,,a,025
|a,2,2||a|77272d,,,,,a,0,的距离,得,则的最小值为. alxy:20,,,55522
22xy,Pxy(,),,,,1(0)abl13.点在椭圆上,直线与直线xayb,,,,cos,sin,0.,,,0020022ab2
xy00l,垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为. ,lxy:1,,2122ab
22xyPl,,1(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点; 122ab
(II)证明:构成等比数列. tan,tan,tan,,,
222xyxyb200解:(I)(方法一)由得代入椭圆,,1, xy,,1yaxx,,(),022222ababay0
2222bxbx21b200得. ()(1)0,,,,,xx24222aayayy000
xa,cos,,0222xaxa,,,,2coscos0,,,将代入上式,得从而 xa,cos.,,yb,sin,0,
22,xy,,1,22xx,,,0abl因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. ,,1yy,xy0,00,xy,,122,ab,
(cos,sin),02ab,,,,,,lll(方法二)显然P是椭圆与的交点,若Q是椭圆与的交点,代入的111111
cossin,,coscossinsin1,,,,,,,方程,得 ,,xy111ab
cos()1,,,,,,,,,即故P与Q重合。 11
22xybb2222,,1(方法三)在第一象限内,由可得 yaxyax,,,,,,0022abaa
2bxbx00,kyx,,,,,(),椭圆在点P处的切线斜率 0222ayaax,00
2xxyybx000切线方程为即。 ,,1yxxy,,,,(),00222abay0
l因此,就是椭圆在点P处的切线。 1
l根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线的唯一交点。 1
22yxbyaba000ll(II)的斜率为的斜率为 tantan,,,,,,,tantan,,,,,1222xayaxbb000
2tantantan0,,,,,,由此得构成等比数列。 tan,tan,tan,,,
22xyyPxy(,),,116. 已知点为双曲线(为正常数)上b100228bb
P2PFP任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为21AP1
AFAyP,连接并延长交轴于. 22FFOx12
PEPP(1)求线段的中点的轨迹的方程; 12
EE(2)设轨迹与轴交于两点,在上任取一点xBD、
Qxyy(),(0),y,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点. QBQD,MN,MN111
3y80FA解: (1) 由已知得,则直线的方程为:, yxb,,,(3)FbAby(,),(,)30220b3
yy,9Py(0,9) 令得,即, x,0020
x,0xx,2x, ,22220,xy4xy,,200,,1,,1设,则,即代入得:, Pxy(,),y,2222yy,98bb825bby,000,,yy,,505,,,2
22xyPE,,1即的轨迹的方程为. 22225bb
22xy22,,1BbDb(,),(,)-2020(2) 在中令得,则不妨设, y,0xb,222225bb
yy11yxb,,(2)yxb,(-2)于是直线的方程为:,直线的方程为:, QBQDxb,2xb-2112-2byby11则, MN(,),(,)00
xbxb,2-211
22byby211则以为直径的圆的方程为: , xyy,,,()()-0MN
xbxb,2-211
2222xy22by22221Qxy(),,,1令y,0得:,而在上,则, x,xby,,211112222225bbxb,2251
于是,即以为直径的圆过两定点(5,0),(5,0),bb. xb,,5MN
2ypxp,,2(0)18.过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、Aaa,00,,,,,
pMNAMANN向直线作垂线,垂足分别为、。(?)当时,求证:?; a,lxa:,,11112
,AMM,AMN,ANNSSS(?)记、 、的面积分别为、、,是否存在,使得对任意的,,a,01111123
2都有成立。若存在,求出的值;若不存在,说明理由。 ,SSS,,212
xmyaMxyNxy,,,(,),(,),则有 解:依题意,可设直线MN的方程为1122MayNay(,),(,),, 12
xmya,,,2ympyap,,,220由消去x可得 ,2ypx,2,
yymp,,2,12从而有 ? ,yyap,,212,
2于是 ? xxmyyampa,,,,,,()22()1212
22()yy(2),ap22212xxa,,,ypx,2又由,可得 ? ypx,21212221144pp
ppp(?)如图1,当时,点即为抛物线的焦点,为其准线x,, A(,0)a,l222
PP2此时 ?可得 MyNy(,),(,),,,并由yyp,,11121222
uuuuvuuuv
证法1: QAMpyANpy,,,,(,),(,)1112
uuuuvuuuv222?,,,,,,,AMANpyyppAMAN0,即111211
yy12,,QKK,,,,AMAN11证法2: pp
2yyp121,?,,,,,,,KKAMAN即. AMAN112211pp
2SSS,4(?)存在,使得对任意的,都有成立,证明如下: ,,4a,0213
A证法1:记直线与x轴的交点为,则。于是有 OAOAa,,l11
11SMMAMxay,,,,,()11111122
1SMNAAayy,,,,,2111122
11SNNANxay,,,,,()31112222
22?,,,,,,,SSSayyxayxay4()()()213121122 222,,,,,,,ayyyyxxaxxayy[()4][()]1212121212
将?、?、?代入上式化简可得
2222222ampapapampaapmpa(48)2(24)4(2),,,,,
2aSSS,,0,4上式恒成立,即对任意成立 213
2yyapypx,,,2,2MNNM,证法2:如图2,连接,则由可得 111211
ypypyy222p1222MNKK,,,,,,,所以直线经过原点O, 1OMON1xyyyapa,,21112
NM同理可证直线也经过原点O 1
又设则 OAOAa,,MAhNAhMMdNNd,,,,,,,,11111121112
111 SdhSahhahhSdh,,,,,,,,2()(),.11121212322222
223xyABCab:1(0),,,,20. 已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线与相交于、两点,lC223ab
2当的斜率为1时,坐标原点到的距离为 lOl2
(I)求,的值; ab
OPOAOB,, (II)上是否存在点P,使得当绕F转到某一位置时,有成立, Cl若存在,求出所有的P的坐标与的方程;若不存在,说明理由。 l
2解:(I)设Fc(,0),直线lxyc:0,,,,由坐标原点到的距离为 Ol2
c3|00|2,,ceab,,?,,,3,2 则,解得.又. ,c,1a322
22xyBAxy(,)C:1,,(,)xy(II)由(I)知椭圆的方程为.设、 112232
lxmy:1,,由题意知的斜率为一定不为0,故不妨设 l
22(23)440mymy,,,,代入椭圆的方程中整理得,显然。 ,,0
4m4由韦达定理有:((((((((? yy,,,,yy,,,12122223m,23m,
.假设存在点P,使成立,则其充要条件为: OPOAOB,,
22()()xxyy,,1212P(,)的坐标为xxyy,,点,点P在椭圆上,即,,1。 121232
2222整理得。 2323466xyxyxxyy,,,,,,11221212
2222又在椭圆上,即. 236,236xyxy,,,,AB、1122
2330xxyy,,,故((((((((((((((((((((((((((((((((? 1212
122将及?代入?解得 xxmymymyymyy,,,,,,,(1)(1)()1m,121212122
2223243mxx,?,,,yy或P(,),,=,,,2,即. 121222222232m,
2322mPlxy,,,,时,(,),:1当; 2222
2322mPlxy,,,,,时,(,),:1当. 2222
2x2y,22. 已知A,B 分别为曲线C: +=1(y0,a>0)与x轴 2a
的左、右两个交点,直线过点B,且与轴垂直,S为上 xll
异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.
AB(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧的三等分点,试求出点S的坐标; (II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在,使得O,M,S三点共线,a若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由。
19.【解析】
解法一:
(?)当曲线C为半圆时,如图,由点T为圆弧AB的三等分点得?BOT=60?或120?. a,1,
(1)当?BOT=60?时, ?SAE=30?.
,,,,又AB=2,故在?SAE中,有 SBABst,,:,?tan30,(,);,,
23(1,23) (2)当?BOT=120?时,同理可求得点S的坐标为,综上, S(1,)或S(1,23)3(?)假设存在,使得O,M,S三点共线. aa(0),
BTOS,由于点M在以SB为直线的圆上,故. 显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为. ykxa,,()
2,x2,,y1,222224222由 得(1)20,,,,,akxakxakaa,
,ykxa,,(),
222aka,(,),(),Txyxa?,,,设点 TTT221,ak
22aak,2akx,故,从而. ykxa,,,()TTT22221,ak1,ak
22aakak,2T(,).亦即 222211,,akak
22,22akakBaBT(,0),((,))?, 222211,,akak
xa,,saakOSaak(,2),(,2).?,由得 ,ykxa,,(),
2222,,24akak2222BTOS,BTOS,,,0由,可得即 ,,,240akak212,ak
kaa,,?,0,0,2
经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线. a,2a,2解法二:
?)同解法一. (
(?)假设存在a,使得O,M,S三点共线.
SMBT,故由于点M在以SO为直径的圆上,. 显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为 ykxa,,()
2,x2,,y1,222222222由 得(1)20,,,,,abxakxakaa,
,ykxa,,(),
422aka,().xa,,,设点Txy(,),则有 TTT221,ak
2222aakakaakak,,22xykxaT,,,,,,()().从而亦即故 TTT22222222aakakakak,,,,111
y12T Bakkak(,0),,?,,,,故BTSM2xaak,T
xa,,2得S(a,2ak),yakakxa,,,2()由所直线SM的方程为 ,ykxa,,(),
22()akaka,,O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即. aKa,,?,0,0,2
故存在,使得O,M,S三点共线. a,2
324.已知,椭圆C过点A,两个焦点为(,1,0),(1,0)。 (1,)2
(1) 求椭圆C的方程;
(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的
斜率为定值,并求出这个定值。
(20)解:
19322(?)由题意,c=1,可设椭圆方程为,解得,(舍去) b,3b,,,,122414,bb
22xy,,1所以椭圆方程为。 ……………4分 43
22xy3,,1(?)设直线AE方程为:,代入得 ykx,,,(1)432
3222 (34)4(32)4()120,,,,,,,kxkkxk2
3E(x,y)F(x,y) 设,,因为点在椭圆上,所以 A(1,)EEFF2
324()12,,k2,x F2,k34
3 ………8分 ykxk,,,EE2
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以—K代K,可得
32,,k4()122x, F2,k34
3 ykxk,,,,EE2
yykxxk,,,,()21FEFEK,,,所以直线EF的斜率 EFxxxx,,2FEFE
1即直线EF的斜率为定值,其值为。 ……12分 2
25.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离
分别是7和1.
(?)求椭圆C的方程;
OP(?)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=λ,求点M的轨迹方OM程,并说明轨迹是什么曲线。
解:(?)设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac,,由已知得
ac,,1,, ,4,3解得ac,,,ac,,7,
22xy所以椭圆的标准方程为,,1 C167
2OP2P(?)设,其中。由已知及点在椭圆上可得 Mxy(,),,x,,4,4C,,2OM
29112x,2,,。 2216()xy,
2222(169)16112,,,,,xy整理得,其中。 x,,4,4,,
329112y,(i)时。化简得 ,,4
47Myx,,,,,(44)所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段。 x3
223xy(ii)时,方程变形为,其中 ,,x,,4,4,,1,,112112422,,16916,
3My当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。 ,,,0,,,44x4
3M当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分; x,,,1,,,44x4
M当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆; x,,1
22525yxe,,,,,1(0,0)ab27.已知双曲线C的方程为,离心率,顶点到渐近线的距离为。 2225ab
(I)求双曲线C的方程;
(II)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象
1限,若,求面积的取值范围。 ,,,,APPB,[,2],AOB3
28((本小题满分14分)
22yx,,,,1(0,0),ab已知双曲线C的方程为 22ab
525e,,.离心率顶点到渐近线的距离为 25
(?)求双曲线C的方程;
(?)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一,二
1象限.若求?AOB面积的取值范围. ,,,,APPB,[,2],3
25axby,,0的距离为,解答一(?)由题意知,双曲线C的顶点(,)Oa到渐近线 5
abab2525? ,,,,即2255cab,
,ab25,a,2,,,,c5,,2b,1,,,c5y,2,,,,x1.由 得 ?双曲线C的方程为 ,,a24,c,5,222,,cab,,
,,,
(?)由(?)知双曲线C的两条渐近线方程为yx,,2.
设AmmBnnmn(,2),(,2),0,0.,,,
mnmn,,,,2()由APPB,,得P点的坐标为 (,),11,,,,
22y(1),,n2,,x1,mn,.将P点坐标代入化简得 44,
,114设?AOB ,,,?,,,2,tan()2,tan,sin,sin2.,,,,,2225
又
,||5||5OAmOBn,,4,
111,,?,,,,,SOAOBmn||||sin22()1.AOB22,
111,,,,,,,S()()1,[,2],记 23,
189由 ,,,,,,得又S(1)=2,S(SS'()01,),(2),334
18当时,?AOB的面积取得最小值2,当时,?AOB的面积取得最大值??AOB面积的取,,,,13.3
8值范围是 [2,].3
解答二(?)同解答一
(?)设直线AB的方程为ykxm,,,||2,0.km,,由题意知
ykxm,,mm2 由{ 得A点的坐标为 (,),yx,222,,kk
ykxm,,,mm2 由{ 得B点的坐标为 (,).yx,,222,,kk
mm121,, 由得P点的坐标为 APPB,,,,((),()),,,,,,,122122kkkk,,
222ym4(1),,2 将P点坐标代入 ,,,x1.得244,k,
设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m).
111 SSSOQXAOQxmxAxB,,,,,,|||||||8|()AOBAOQBOQ222
211411mmm,,,,,, =m()()1.2,,,222242kkk,
以下同解答一.
33.在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和
(?)求点P的轨迹C;
(?)设过点F的直线I与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值。
22dxy,,,,4(3) 解(?)设点P的坐标为(x,y),则3,x-2, 由题设
122当x>2时,由?得 (3)6,xyx,,,,2
22xy,,1. 化简得 3627
22(3)3,,,,,xyx当时 由?得 x,2
2yx,12 化简得
22xyC:1,,故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛13627
2Cyx:12,物线在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线,参见图1 2
CC26(?)如图2所示,易知直线x=2与,的交点都是A(2,), 12
kk,26,2626B(2,),直线AF,BF的斜率分别为=,=. AFBF
C上时,由?知 当点P在1
1. ? PFx,,62
C当点P在上时,由?知 2
? PFx,,3
若直线l的斜率k存在,则直线l的方程为ykx,,(3)
xkk6xy(i)当k?,或k?,即k?-2 时,直线I与轨迹C的两个交点M(,),N(,AFBF112
y)都在C 上,此时由?知 12
11xx?MF?= 6 - ?NF?= 6 - 1222
111xxxx从而?MN?= ?MF?+ ?NF?= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +) 1122222ykx,,(3),,222222(34)24361080,,,,,kxkxkxy由 得 则,是这个方程的两根,所以,11xy,,1,3627,
2224k12k1xxxx+=*?MN?=12 - (+)=12 - 11222234,k34,k2
2因为当 kk,,,26,6,24,或k2时
21212100k MN,,,,,1212.213411,k,42k
k,,26时,等号成立。 当且仅当
MxyNxy(,),(,)(2)当时,直线L与轨迹C的两个交点 分别在kkkk,,,,,,26261122AEAN
1MCCC,C上,不妨设点在上,点上,则??知, MFxNFx,,,,6,31212122
(,),,2.xyxxx则,,C设直线AF与椭圆的另一交点为E 100012
11 MFxxEFNFxAF,,,,,,,,,,66,33210222
C 所以。而点A,E都在上,且 MNMFNFEFAFAE,,,,,1
100100 有(1)知 k,,26,AEMN,,,所以AE1111
xx的斜率不存在,则==3,此时 若直线,12
1100 MNxx,,,,,12()912211
100综上所述,线段MN长度的最大值为 11
222xyaFcFcc(,0)(,0)(0),,和,,,,1(0)abE(,0)35. 以知椭圆的两个焦点分别为,过点的直线1222abc
与椭圆相交与两点,且。 AB,FAFBFAFB//,2,1212
(1) 求椭圆的离心率;
(2) 求直线AB的斜率;
,AFCFB(3) 设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆Hmnm(,)(0),21
n上,求的值 m
2a,cEFFB1122cFAFB解:由//且,得,从而 FA2FB,,,,12122EFFA2a211,cc
c322e,, 整理,得,故离心率 ac,3a3
2222222236xyc,,(I) 解:由(I)得,所以椭圆的方程可写为 bacc,,,2
2,,a 设直线AB的方程为,即ykxc,,(3). ykx,,,,c,,
ykxc,,(3),AxyBxy(,),(,) 由已知设,则它们的坐标满足方程组 ,1122222236xyc,,,
222222(23)182760,,,,,kxkcxkcc消去y整理,得.
3322,,,,,,,48(13)0ckk,得依题意, 33
218kc而 xx,, ? 12223,k
22c276kcc, ? xx,12223,k
由题设知,点B为线段AE的中点,所以
xcx,,32 ? 12
2292kcc,92kcc,x,联立??解得x,, 212223,k23,k
2xx,k,,将代入?中,解得. 123
3c(III)解法一:由(II)可知 xx,,0,122
2Ac(0,2)Cc(0,2),k,,当时,得,由已知得. 3
22c,,AF线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 ycx,,,,1,,222,,
22ccc,,,,,,2,0,AFCx,,,,yc的交点是外接圆的圆心,因此外接圆的方程为. 1,,,,,,222,,,,,,
yxc,,2()FB直线的方程为,于是点H(m,n)的坐标满足方程组 2
52,2,cc9mc,,,2,mn,,,n22,3,,,,m,0, , 由解得故 24,,,,m522,,nc,nmc,,2(),,3,
2n22k,,,当时,同理可得. 3m5
3c解法二:由(II)可知 xx,,0,122
2Ac(0,2)Cc(0,2),k,,当时,得,由已知得 3
,AFCF由椭圆的对称性可知B,,C三点共线,因为点H(m,n)在的外接圆上, 21
FAFB//AFCH,所以四边形为等腰梯形. 且121
yxc,,2()(,22)mmc,FB 由直线的方程为,知点H的坐标为. 2
5222因为,所以,解得m=c(舍),或. AHCF,mc,mmcca,,,,(222)13
22n22,nc,则,所以. m53
2n22k,,,当时同理可得 3m5
222xyFF,e,,,,,1(0)ab36.已知椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线方程为。 x,21222ab
(I)求椭圆的标准方程;
226FFMFN,,(II)过点的直线与该椭圆交于两点,且,求直线的方程。 MN,ll1223
c2,
{a22解:(?)有条件有,解得a2c=1,,。
a,2
c22 。 ?,,,bac1
2x2,,y1 所以,所求椭圆的方程为。…………………………………4分 2
F(1,0),F(,)10(?)由(?)知、。 12
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1.
2y,, 将x=-1代入椭圆方程得。 2
22N(,),,1M(1,), 不妨设、, 22
uuuuvuuuv22?,,,,,,,,FMFN(2,)(2,)(4,0) . 2222
uuuuvuuuv
?,,FMFN4,与题设矛盾。 22
直线l的斜率存在。 ?
设直线l的斜率为k,则直线的方程为y=k(x+1)。
M(xy),Nxy(,)、, 设1122
2x2,,y1
22222{(12)4220,,,,,kxkxk联立,消y得。 y=k(x+1)
2,4k2kxx,,由根与系数的关系知,从而, yykxx,,,,,(2)1212122212,k12,k
又,, FMxy,,(1,)FNxy,,(1,)211222
。 ?,,,,,FMFNxxyy(2,)221212
222 ?,,,,,,FMFNxxyy(2)()221212
2822kk,22,,()() 221212,,kk
424(1691)kk,,, 42441kk,,
424(1691)226kk,,2?,()。 424413kk,,
42化简得 4023170kk,,,
1722解得 kk,,,1或者40
?,,k1. ?,,,,,所求直线的方程为或者lyxyx11
2vx2ek,(1,)cy:1,,,38.已知双曲线设过点的直线l的方向向量 A(32,0),2
(1) 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;
26(2) 证明:当>时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为。 k2
xmy:20............2,,分解:(1)双曲线C的渐近线
2
直线l的方程………………..6分 ?xy,,,2320
32直线l与m的距离……….8分 d,,6
12,
(2)设过原点且平行与l的直线 bkxy:0,,
32k则直线l与b的距离 d,21,k
2kd,,时,6当 2
xy,,20又双曲线C的渐近线为
双曲线C的右支在直线b的右下方, ?
6?双曲线右支上的任意点到直线的距离为。 Cl
6故在双曲线的右支上不存在点,使之到直线的距离为。 QCl
(,)xy6[ 证法二] 双曲线的右支上存在点到直线的距离为, QCl00,kxy,,3200,,6,(1)则 2,1,k,xy,,22,(2)00,
2ykxkk,,,,3261由(1)得, 00
2设t, 3261kk,,
22k,当,t,,0………………………………..13分 3261kk,,2
222ykxt,,将 代入(2)得 (*) (12)42(1)0,,,,,kxktxt0000
222ktkktt,,?,,,,,,,,0,120,40,2(1)0 2
?方程(*)不存在正根,即假设不成立
6故在双曲线C的右支上不存在Q,使之到直线l 的距离为…………….16分
433Me,y,40.已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为,离心率,是椭圆上的动点( O23
CD,(?)若的坐标分别是,求的最大值; MCMD(0,3),(0,3),
22ABMxy,,1(?)如题(20)图,点的坐标为,是圆上的点,是点在轴上的射(1,0)xN
POQOMON,,QABA,0影,点满足条件:,(求线段的中点的轨迹方程; QQB
22xy,,1解:(?)由题设条件知焦点在y轴上,故设椭圆方程为(a ,b, 0 ). 22ab
433c322e,,y,3 设,由准线方程得.由得,解得 a = 2 ,c = ,从cab,,2a23
2y2x,,1而 b = 1,椭圆方程为 . 4
2y2x,,1 又易知C,D两点是椭圆的焦点,所以, MCMDa,,,244
MCMD,22MCMD,,,,()24 从而,当且仅当,即点M的坐标为 时(1,0),MCMD,2
上式取等号,的最大值为4 . MCMD,
M(,),(,)xyBxy(II)如图(20)图,设 mmBB
Qxy(,) .因为,故 NxOMONOQ(,0),,,QQN
xxyy,,2,,QNQM
222y ? xyxy,,,,(2)4QQM
QABA,,0, 因为 (1)(1),,,,,xyxyQQNn ,,,,,(1)(1)0,xxyyQNQN
所以 . ? xxyyxx,,,,1QNQNNQ
(,)xy记P点的坐标为,因为P是BQ的中点 PP所以 2,2xxxyyy,,,,PQPPQP
22xy,,1由因为 ,结合?,?得 NN
12222 xyxxyy,,,,,(()())PPQNQN4
12222 ,,,,,,xxyyxxyy(2())QNQnQNQN4
1 ,,,,xx(52(1))QN4
3 ,,xP4
故动点P的估计方程为
122 ()1xy,,,2