最小值
一、两点一对称(修石油气管道问
)
1(已知:A、B两点在直线l的同侧,试分别画出符合条件的点M(
(1)如图3,8,在l上求作一点M,使得, AM,BM ,最小;
作法:
图3,8
(2)如图3,9,在l上求作一点M,使得,AM,BM,最大;
作法:
图3,9
(3)如图3,10,在l上求作一点M,使得AM,BM最小(
图3,10
2yxbxc,,,在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过A(2,
1yx,,20)、B(4,0)两点,直线交y轴于点C,且过2
点Dm(8,)(
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点P,使的值最小,求出CPDP,
点P的坐标;
1
二、一点两对称
1:已知:如图3,13,点M在锐角?AOB的内部,在OA边上求作一点P,在OB边上求作
一点Q,使得ΔPMQ的周长最小;
21.已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式;
(3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物
线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点
E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长。
2
3
练习
1(已知:如图3,13,点M在锐角?AOB的内部,在OA边上求作一点P,在OB边上求
作一点Q,使得ΔPMQ的周长最小;
三(一点一平移一对称
2y,x,mx,n1.已知:抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),B(3,0),
且经过C(2,-3),与y轴交于点D,
(1)求此抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物于E点,求线段PE长度
的最大值;
(3)在(1)的条件下,在x轴上是否存在两个点G、H(G在H的左侧),且GH=2,使得
线段GF+FC+CH+HG的长度和为最小;如果存在,求出G、,的坐标;如果不存在,
说明理由。
2y,x,mx,n(1)抛物线过点B(3,0);C(2,-3)
3m+n=-9
2m+n=-7
?m=-2,n=-3
2 ?y=x-2x-3
2?y=(x-1)-4 …………2分
?顶点F坐标(1,-4)…… …………3分
(2) 设AC的解析式为:y=kx+b
A(-1,0) C(2,-3)
? 0= -k+b
-3=2k+b
解得:k=-1,b=-1
?AC的解析式为:y=-x-1 ………………4分
设点P的横坐标为a,则P(a, -a-1),E的横坐标为a,
4
2 ?E在抛物线上,故E(a,a-2a-3)
19222 ?PE=-a-1,(a-2a-3)=- a+a+2= -(a- )+ 24
?-1
单位长度至F , F(3,-4), 1 1
作F关于x轴的对称点F(3,4), 12
联结FF, 与x轴交于点H, H为所求. …………………6分 2
可求得FF,的解析式为:……………………7分 y,7x,172
17 当y=0时,x= …………………8分 7
173 ? 点H的坐标为(,0), 点G的坐标为(,0). …………………9分 77
(2)如图3,12,已知线段a,点A、B在直线l的同侧,在直线l上,求作两点P、Q (点
P在点Q的左侧)且PQ,a,四边形APQB的周长最小(
图3,12
5
四、两点两对称(马吃草喝水题)
2y,ax,4ax,m1、已知:抛物线与x轴的一个交点为A(1,0)(
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)点C是抛物线与y轴的交点,且?ABC的面积为3,求此抛物线的解析式;
(3)点D是(2)中开口向下的抛物线的顶点(抛物线上点C的对称点为Q,把点D沿对称轴向下平移5个单位长度,设这个点为P;点M、N分别是x轴、y轴上的两个动点,当四边形PQMN的周长最短时,求PN+MN+QM的长((结果保留根号)
解: (1)依题意, 抛物线的对称轴为。 x,2
?抛物线与x轴的一个交点为A(1,0),
?由抛物线的对称性,可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3,0)…,分
2y,ax,4ax,m?(2)抛物线与x轴的一个交点为A(1,0),
2?a,1,4a,1,m,0yQ'm,3a
2y,ax,4ax,3aD
AB?C(0,3a). …………………… ,分
MOx
??ABC的面积为3, N
AB=2,OC=3a, CQ
P'P11ES=. AB,OC,,2,OC,OC,3?ABC22
?3a=3.
?,. a,,1m,,3
22y,x,4x,3y,,x,4x,3 ? 所求抛物线的解析式为或.………,分
2y,,x,4x,3 (3)依题意知,抛物线的解析式为.
?点D(2,1),C(0,-3),P(2,-4).
设Q(x,y),
?点C与点Q关于x=2对称,
4,,3?点Q坐标(). …………………………………………………,分
分别作P、Q关于x轴、y轴的对称点P’、Q’,联结P’Q’,分别交x轴、y轴于点
M、N.联结PN、MQ,则此时四边形PQMN的周长最短. ……………………….,分
,,,,4,3,2,,4?P’,Q’.
4,,4过P’作P’E垂直Q’E于E(?E().
6
?P’E=6,Q’E=7,
由作图可知,PN= P’N, QM= Q’M.
22?PN+MN+QM= P’N+ MN+ Q’M= P’Q’=. 6,7,85
85PN+MN+QM的长为.… ?
2y,x,mx,m,2已知二次函数(
(1) 求证:无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都有两个交点; (2) 当该二次函数的图象经过点(3,6)时,求二次函数的解析式; (3) 将直线y=x向下平移2个单位长度后与(2)中的抛物线交于A、B两点(点A在
点B的左边),一个动点P自A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再
到达x轴上的某点F,最后运动到点B(求使点P运动的总路径最短的点E、点F
的坐标,并求出这个最短总路径的长(
223((1)证明:令y=0,则( x,mx,m,2,0
222,(,m),4(m,2)(m,2),4??=, ,m,4m,8
22又?, ?(即?>0( (m,2),0(m,2),4,0
2?无论m为任何实数,一元二次方程总有两不等实根( x,mx,m,2,0
?该二次函数图象与x轴都有两个交点(
2y,x,mx,m,2(2)解:?二次函数的图象经过点(3,6),
12 ? .解得 m,. 3,3m,m,2,62
132 ?二次函数的解析式为. y,x,x,22
y,xy,x,2(3)解:将向下平移2个单位长度后得到解析式为:.
1,,,2,yxx,,,1x,1,,,2,,2O 解方程组 得 ,,,132y,,1(3,,,(yxx2,,,y,,(22,1,2,
13132y,x,2 ?直线与抛物线y,x,x,的交点为A(,,),B(1,,1)( 2222
7
13 ?点A关于对称轴的对称点是,点B关于x轴的对称点是. B'(1,1)x,A'(0,,)42
A'B'、的直线解析式为( 设过点y,kx,b
5,k,,3,,b,,,,,2 ? 解得 2,,3,,k,b,1(b,,(,,,253A'B'y,x,?直线的解析式为. 22
3A'B'?直线与x轴的交点为. F(,0)5
117与直线的交点为. x,E(,,)448
317则点、 为所求( E(,,)F(,0)485
5B'HA',1B'H,过点做,?,. B'H',AA'的延长线于点H'2
2922A'B'H在Rt?中,. AB,BH,AH,''''2
29AE,EF,FB,A'B'?所求最短总路径的长为,. 2
五、两点一平移(架桥问题)
2y,,x,bx,c1.已知:抛物线过点A(-1,0)、B(-2,-5),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)某直线过点A(-1,0),且与抛物线只有一个交点,求此直线的解析式; (3)直线l过点C,且l?x轴,E为l上一个动点,EF?x轴于F(求使DE+EF+BF的和为最小值的E、F两点的坐标,并直接写出DE+EF+BF的最小值.
30. (1)根据题意,得:
,1,b,c,0, ,,4,2b,c,,5,
8
b,2,解得: ,c,3,
?所求抛物线的解析式为
2yxx,,,,23(--
(2)?若所求直线与y轴相交,设其解
析式为y=kx+m(k?0)
?直线过A(-1,0)
?m=k
?y=kx+k
?直线y=kx+k与抛物线
2yxx,,,,23只有一个交点
2?方程有两kxkxx,,,,,23
个相等的实数根
2x,(k,2)x,k,3,0即 方程
有两个相等的实数根
2??= k,8k,16,0
k,k,4? 12
-- ?直线的解析式为y=4x+4
?若所求直线与y轴平行,所求直线为x=-1-
综上所述,所求直线的解析式为y=4x+4或x=-1
2yxx,,,,23 (3)抛物线的顶点坐标为D(1,4),与y轴交点C(0,3)(
把点D(1,4)向下平移3个单位,得到D’(1,1),连结BD’交x轴于点
F,过点F作FE?直线l于E,则E、F两点为所求.
设直线BD’的解析式为:y=ax+n(a?0)
,2a,n,,5a,2,, 则 解得: ,,a,n,1n,,1,,
’的解析式为:y=2x-1 ?直线BD
1 ?直线BD’与x轴的交点F(,0)- 2
?EF?x轴,EF=3
1 ?E(,3) 2
3,35 ?DE+EF+BF的最小值是.
9
练习
12yx,,2在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过A(2,0)、B(4,0)两点,直线yxbxc,,,2
交y轴于点C,且过点( Dm(8,)
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点P,使的值CPDP,
最小,求出点P的坐标;
2(3)将抛物线yxbxc,,,左右平移,记
A'平移后点A的对应点为,
B'点B的对应点为,当四边形的ABDC''
周长最小时,求抛物线的
解析式及此时四边形周长的最小ABDC''
值(
25(解:(1)依题意,得
420,,,,bc, ,1640.,,,bc,
b,,6,,解得 ,c,8.,
2yxx,,,68?抛物线的解析式是(
…………………… 2分
(2)依题意,得 C(0,2),D(8,6)(
………………………… 3分
作点C(0,2)关于x轴的对称点C'(0,2),,求直线的解析式为yx,,2,CD'
(2,0)直线与x轴的交点即为P点(因此,P点坐标为( CD'
………………………………………………………………………… 4分
222yxx,,,68(3)左右平移抛物线,因为线段A′B′=2和CD=均8445,,
是定值,所以要使四边形A′B′DC的周长最小,只要使A′C+B′D的值最
小; …………………………………………………………………… 5分
因为A′B′=2,因此将点C向右平移2个单位得C(2,2), 1
作点C关于x轴的对称点C,C点的坐标为 (2,-2), 122
10
设直线CD的解析式为, ykxb,,2
将点C(2,-2)、D(8,6)代入解析式,得 2
22,kb,,,, ,86.kb,,,
4,k,,,,3解得 ,14,b,,.,3,
414?直线CD的解析式为( yx,,233
73?直线CD与x轴的交点即为B′点,可求B′(,0),因此A′(,0)( 222
所以当四边形的周长最小时, ABDC''
37212抛物线的解析式为,即( …… 6分 yxx,,,5yxx,,,()()422
22?A′C+B′D=CD=( ………………………………… 7分 6810,,2
245101245,,,,?四边形的周长最小值为( ABDC''
2yax,如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线上(
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最
短,求出点Q的坐标;
2yax, (2) 平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,
0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点(
? 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解
析式;
? 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形
y A′B′CD的周长最短,若存在,求出此时抛物线的函数解A 8 析式;若不存在,请说明理由( 6 4 B 2 C D -4 x -2 O 2 4 -2
-4
(第24题) 12a,yax,【039】(1) 将点A(-4,8)的坐标代入,解得( ……1分 2
12yx,将点B(2,n)的坐标代入,求得点B的坐标为(2,2), 2
11
则点B关于x轴对称点P的坐标为(2,-2)( ……1分
54直线AP的解析式是yx,,,( ……1分 33y A 8 44x,令y=0,得(即所求点Q的坐标是(,0)( ……1分 6 55
4 414(2)? 解法1:CQ=,-2-,=, ……1分 B 2 55C D -4 x Q -2 O 2 4 1142-2 yx,故将抛物线向左平移个单位时,A′C+CB′最短, P 25-4
1142yx,,()此时抛物线的函数解析式为( ……1分 (第24题(1)) 25
12y yx,解法2:设将抛物线向左平移m个单位,则平移后A′,B′的A′ 8 2
6 坐标分别为A′(-4-m,8)和B′(2-m,2),点A′关于x轴对称点的坐
4 标为A′′(-4-m,-8)( B′ 2 554C D yxm,,,直线A′′B′的解析式为( 要使A′C+CB′最短,-4 x -2 O 2 4 333-2 点C应在直线A′′B′上,将点C(-2,0)代入直线A′′B′的解析-4
14m,式,解得( 5A′′
(第24题(2)?) 1142yx,故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短,此时抛物25
1142yx,,()线的函数解析式为( ……1分 25
12yx,? 左右平移抛物线,因为线段A′B′和CD的长是定值,所以要使四边形A′B′2
CD的周长最短,只要使A′D+CB′最短;
y ……1分 A′ 8 第一种情况:如果将抛物线向右平移,显然有A′D+CB′>AD+CB,因此不6 存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短(……1分 4 B′′ B′ 第二种情况:设抛物线向左平移了b个单位,则点A′和点B′的坐标分别为2 C D A′(-4-b,8)和B′(2-b,2)( -4 x -2 O 2 4 -2 因为CD=2,因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b,2),
-4 要使A′D+CB′最短,只要使A′D+DB′′最短( ……1分 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b,-8),直线A′′B′′的解析式A′′ 55(第24题(2)?) yxb,,,2为(要使A′D+DB′′最短,点D应在直线A′′B′′上, 22
16b,将点D(-4,0)代入直线A′′B′′的解析式,解得(故将抛物线向左平移时,存在5
某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短,此时抛物线的函数解析式为
1162yx,,()(……1分 25
12