虚数的定义
虚数的实际意义
feiniaowuhen 发表于 2005-11-22 22:51:00
大多数人最为熟悉的数有两种,即正数(,5,
,17(5)和负数(,5,,17(5)。负数是在中世 纪出现的,它用来处理3,5这类问题。从古代人看来,要 从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是,中世纪 的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹 果,可是我只有三个苹果的钱,这样我还欠你两个苹果的钱。” 这就等于说:(,3),(,5),(,2)。
正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘 正数,其乘积为正。正数乘负数,其乘积为负。最重要的是, 负数乘负数,其乘积为正。
因此,(,1)×(,1),(,1);
(,1)×(,1),(,1);
(,1)×(,1),(,1)。
现在假定我们自问:什么数自乘将会得出,1,或者用 数学语言来说,,1的平方根是多少,
这一问题有两个
。一个答案是,1,因为(,1) ×(,1),(,1);另一个答案则是,1,因为(,1) ×(,1),(,1)。数学家是用?,(,1),?1来 表示这一答案的。(碧声注:(,1)在根号下)
现在让我们进一步提出这样一个问题:,1的平方根是 多少,
对于这个问题,我们感到有点为难。答案不是,1,因 为,1的自乘是,1;答案也不是,1,因为,1的自乘同 样是,1。当然,(,1)×(,1),(,1),但这是 两个不同的数的相乘,而不是一个数的自乘。
这样,我们可以创造出一个数,并给它一个专门的符号, 譬如说,1,而且给它以如下的定义:,1是自乘时会得出 ,1的数,即(,1)×(,1),(,1)。当这种想法 刚提出来时,数学家都把这种数称为“虚数”,这只是因为 这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上,这种数一 点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有 一些严格限定的属性,而且和一般实数一样,也很容易处理。
但是,正因为数学家感到这种数多少有点虚幻,所以给 这种数一个专门的符号“i”(imaginary)。我们可以把正 虚数写为(,i),把负虚数写为(,i),而把,1看作 是一个正实数,把(,1)看作是一个负实数。因此我们可 以说?,(,1),?i。
实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有,5, ,17(32,,3,10等实数一样,我们也可以有 ,5i,,17(32i,,3i,10等虚数。
我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。
假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数 系统,那么,位于0点某一侧的是正实数,位于0点另一侧 的就是负实数。
这样,当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线 时,你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直 线上0点的一侧的数是正虚数,0点另一侧的数是负虚数。 这样一来,同时使用这两种数系,就可以在这个平面上把所 有的数都表示出来。例如(,2),(,3i)或
(,3),(,2i)。这些数就是“复数”。
数学家和物理学家发现,把一个平面上的所有各点同数 字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数,他 们就无法做到这一点了。