固定边界超临界轴向运动梁平面振动频率

固定边界超临界轴向运动梁平面振动频率 固定边界超临界轴向运动梁平面振动频率29 文章编号:1006.1355(2011)06—0029.04 固定边界超临界轴向运动梁平面振动频率 骆毅,丁虎. ,广州510330; f1.广州航海高等专科学校航务3-程系 2.上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海200072) 摘要:通过数值方法研究超临界速度下,两端固定边界的轴向运动梁平面耦合非线性振动固有频率.发展有限 差分法,确定在超临界范围轴向运动梁的径向与横向耦合平面内非平凡静平衡位形.基于非平凡静平衡位形,经坐标 变换,建立超临界轴向运动梁连续陀螺系统的标准控制方程.运用高阶Galerkin截断,研究超临界运动状态下梁平面 振动的固有频率;并研究Galerkin截断阶数对计算结果的影响. 关键词:振动与波;轴向运动梁;非线性;平面振动;固有频率;超临界 中图分类号:032文献识别码:ADOI编码:10.3969~.issn.1006.1355-2011.06.007 SupercriticalFrequenciesofPlanarVibrationofAxiallyMoving BearnswithFixedBoundaries LUOYi.DINGHu (1DepartmentofNavigationalFairsEngineering,GuangzhouMaritimeCollege, Guangzhou510330,China, 2.ShanghaiinstituteofAppliedMathematicsandMechanics,ShanghaiUniversity, Shanghai200072,China1 Abstract:Thenaturalfrequenciesofnonlinearplanarvibrationofaxiallymovingbeamsarenumericallyinvestigatedin thesupercriticalspeedrange.Thefinitedifferenceschemesarepresentedforthestaticequilibriumequationinthecoupled planeofthebeaminthesupercriticalrange,andthenon—trivial?solutionsare obtained.Basedonthenon—trivialstatically equilibriumconfiguration,atypicalgoverningequationofcontinuousgyroscopicsystemsisestablishedinthesupercritical rangeviaintroducingacoordinatetransform.Thenaturalfrequenciesareinvestigatedfortheplanarvibrationviathe8-term Galerkinmethodtotruncatethecorrespondinggc-verningequationsofthebeaminthesupercriticalstatewithoutnonlinear partsunderthefixedboundaryconditions.TheeffectofnumberofthetermsoftheGalerkintruncationmethodonthe solutionofthenaturalfrequenciesisalsostudiedbyanalyzingthenumericalresults. Keywords:vibrationandwave;axiallymovingbeam;nonlinearity;planarvi bration;naturalfrequency;supercritical 轴向运动连续体振动有着广泛的研究[1--7]但是 先前的成果主要集中在低速运动状态,而研究轴向 运动系统高速运动乃至超临界速度状态下的:丈献还 收稿日期:2011.04.06:修改日期:2011-05—04 基金项目:国家自然科学基金重点项目(10932006); 国家自然科学基金项目(10902064); 上海市青年科技启明星计~lJ(11QA1402300)资助 作者简介:骆毅(1961.)女,上海市人,副教授,研究方向: 一 般力学和工程力学. E-mail:dinghu3@shu.edu.cn 非常有限.随着科学技术的飞速发展,生成工艺中 要求的工程系统部件的运转速度越来越大,而梁的 平衡位置在轴向速度超过临界以后将失稳,且失 稳的现象已经常见于高速运转的工程装置中,从而 使得针对超临界速度运动状态的研究变得十分紧 迫.1998年,Ravindra和Zhu[91在研究超临界状态 下,因速度脉动引起的非线性动力学行为时,采用1 阶Galerkin截断识别了轴向运动梁的混沌性态. 2011年,Ding和Chen嘲分别采用有限差分法研究了 简支边界下超临界轴向运动梁的非平凡静平衡位 形,并验证了有限差分方法在处理超临界轴向运动 2011年l2月噪声与振动控制第6期 梁时的算法稳定性和数值误差.2010年,Ding和 ChenDol通过结合微分求积法和Galerkin截断方法研 究了超临界速度下简支边界轴向运动梁的固有频 率.固定边界是一种理论研究中常见的对工程中轴 向运动连续系统边界的简化】,但是在超临界状态 的研究中还没有涉及到. 另外,在轴向运动连续体非线性振动的研究中, 大都是针对系统的横向振动的研究[1--3,,.针对径 向与横向平面内耦合振动的文献还相对有限,,. 为了补充以上两个方面的研究,本文针对两端 固定边界下,超临界轴向运动梁径向与横向耦合平 面内的非线性振动,通过有限差分法结合高阶 Galerkin截断研究梁的振动频率. 1平面耦合模型及平衡位形 图1轴向运动梁示意图 Fig.1Diagramofaxiallymovingbeam 如图1所示,考虑速度为常数g的轴向运动梁, 以梁左侧边界为坐标原点,在径向空间坐标处,t 时刻横向位移为v(x,0,轴向位移为u(x,0,对于细长 梁,平面耦合动力学方程的无量纲形式为 ,, +27u,+),,一是l,=(志l一1),. ,, ]厂(1+,)+,刁一 ,,r +27v,f+),.,一k12v, +. ,一 = (1) (1-k)(1+,)’ ,, ]广(1+,)+,刁一 式中逗号后的x,Dt9别表示对x,D的偏导数, 为表征非线性的系数,为表征梁刚度的系数.通 Taylor系数展开,引入如下近似形式 3 广(1+,)+,一1一量(2,+,;+,)(2) 将(2)式代入(1)式,得到 , +2),,,+y2U,上r = kl,+ (是一l,[(1+,),一,,] ,+ - + ~ y ( : 2u , ,x + + 岛 u,xZ , +V 27v ‘ ,一 3 , +,f+y.,船+岛,=1,一 一 1)(1+,)[(1+v,一,,]’ [1一量(2,+,+,2)] 这里仅考虑梁的两端由带有扭转弹簧的光滑套 u(o,t)=(1,t):0; v(O,t)=(1,t)=0; 7J,(0,t)=,(1,t)=0 超临界轴向运动梁的零平衡位置失稳以后,梁 会在新的非平凡平衡位置上运动[81,.因此,研究超 临界现象,必须先确定轴向运动梁超临界时新的静 平衡位置.对应于(3)式的非平凡静平衡解0(Iz)和 磊(z),结合边界条件(4),可以通过有限差分法发展 迭代格式嘲 (y一kle)(+1+一1). 一 2(y.一kle)h+6 (z一4一一4+++z) 一 2(7.一klOh+6. 一 4(),一k1)+12ks (y一kl2)(+1+一).— + (kl.一1)(+一一)—一 = 『4(+一2+一)(2++一一)一 4(奶+一2奶+)(+一)]’{4一(6) 3r4(彩+一一)+(苟+一彩一)+(+一一)} 计算得到一组对称的非平凡静平衡位形. 2计算方法 为了得到超临界下的轴向运动梁的标准控制方 程,对非平凡静平衡位形做坐标变换,将 (z,t)—(z)+(z,t) 和u(z,t)一萨(z)+(z,t)代/M3)式,并忽略 其中的非线性项,得到 固定边界超临界轴向运动梁平面振动频率31 0,+27u,”+ [(一志.)+(尼z-1)G2],一 (k-1)GG.0,一(k一1)’(7) (G0一3GzG39),一 (k,1)(GG.一G一3).?, ,+27v,+ )+(kl2--1)GGz+ . ,一一 (kl.一1)G1G20,+(8) (kl2—1)(GG3—3G3Gz2+G1Gz),+ (k.-0(一3GzGs一GGzTJ,=o G1:1一号(2磊+磊.+0); G.:1+zi:(9) G3=B0.一0磊 选择两端固定边界下静态梁的模态函数为试函 数和权函数,即假设(7)和(8)式的解为 (z,)=?(), (z,)=?(f), c.sh(flj.z)--COS(z)(1o) +~)[sin(fljx)一sinh(~jx)], 白=si1I2….18nhf一一sinf’’’…’ 其中qy(t)和()为与梁上空间坐标无关的位移 函数,通过数值计算可以确定上式中对应于前8阶 模态的参数值,即b1=4.73,62=7.8532,b3=lO.9956, = 14.1372,=17.2788,b620.4204,67=23.56l9, 68=26.7035.对比文献[10]中两端简支边界,可以 发现,本文固定边界梁的计算更加复杂. 引入 ()=,()=(11) 将(10)和(11)式代入(7)和(8)式,通过Galerkin截 断方法即可推导出一组关于固有频率的线性方程 组.通过系数矩阵为零,可计算得到超临界轴向运 动梁非线性平面振动的固有频率. 3数值结果 通过发展有限差分法的迭代格式以计算超临界 运动状态下,对应轴向运动梁的控制方程(3)式的静 态方程,迭代格式参见文献[8],迭代次数为1000000 次,计算得到超临界轴向运动梁的非平凡静平衡解 0()和t2(x),进而通过Galerkin截断方法计算超临 界速度轴向运动梁的横向振动频率.本文的物理量 都经过无量纲化.因此,文中表征梁的各个参数不 含有量纲.图2给出了两端固定的轴向运动梁,4 阶,6阶以及8阶Galerkin截断计算的梁前2阶固有 频率值比较.图中,点划线表示4阶Galerkin截断结 果,实线表示6阶结果,点代表8阶结果.计算中,无 量纲化非线性系数岛=100,弯曲刚度kf=0.8.观察 发现,4阶截断与6阶以及8阶截断的结果差别较大, 而6阶和8阶截断的结果吻合的较好.这说明4阶 Galerkin截断结果对于两端固定边界的超临界轴向 运动梁的问题不够精确.对比文献[101,发现本文 对固定边界梁平面振动频率的计算要求比简支边界 更高. 图3给出了梁的无量纲弯曲刚度岛取不同值时, 通过6阶Galerkin截断计算得到的系统前四阶固有 频率.图中非线性系数k,=100.经观察发现,对应 于不同无量纲弯曲刚度值的第1阶固有频率,随着 速度的增大会出现交叉.这种现象在亚临界轴向运 动梁中不曾出现. (a)第1阶固有频率(b)第2阶固有频率 (a)Thefirstnaturalfrequency(b)Thesecondnaturalfrequency 图2不同阶数截断的系统固有频率随速度的变化 Fig.2Comparisonbetween4.-term,6-termand8-termGalerkintruncationre sults 2011年l2月噪声与振动控制第6期 3456789 1 (a)第1阶固有频率 (a)Thefirstnaturalfrequency 4结语 (b)第2阶固有频率 (b)Thesecondnaturalfrequency )1y (C)第3阶固有频率(d)第4阶固有频率 (C)Thethirdnaturalfrequency(d)Thefourthnaturalfrequency 图36阶Galerkin截断的系统固有频率随速度的变化 Fig-3Naturalfrequenciesversusaxialspeedandflexuralstiffnessof6-termG alerkintruncation 研究了超临界运动速度下,轴向运动梁横向与 径向耦合平面非线性振动固有频率.在梁两端固定 边界下,基于有限差分法计算耦合平面非平凡静平 衡位形,通过6阶Galerkin截断计算得到超临界运动 的固有频率.数值结果表明,在超临界范围内,对于 两端固定边界,4阶Galerkin截断的计算结果精确性 不足,对于平面振动固有频率的计算,需要更高阶的 截断.通过6阶Galerkin截断对固有频率的计算,超 临界轴向运动梁的振动现象比亚临界更复杂. 参考文献: [1]1陈立群,JeanwZu.轴向运动弦线的纵向振动及其控制 [J].力学进展,2001,3l(4):535—546. [2】李映辉,高庆,蹇开林,殷学纲.黏弹性带动力响应分 析[J].应用数学和力学,2003,24:1191-1196. [3]刘伟,张劲夫.粘弹性传送带的分岔特性和混沌振动 『J].动力学与控制,2005,3(3):63—67. [4]高美娟,张伟,姚明辉,姚志刚.压电复合层合板 的混沌动力学研究[J】_振动与冲击,2009,28(6):82—85. [5]丁虎,陈立群,戈新生.黏弹性轴向运动梁非线性受 迫振动稳态幅频响应[J].力学季刊,2008,29(3):502—505. [6]王波,陈立群.变速轴向运动三参数模型黏弹性梁的 稳定性[J].力学季刊,2009,30(1):49—54. [7]Sze,K.Y.,Chen,S.H.andHuang,J.L.Theincremental harmonicbalancemethodfornonlinearvibrationof axiallymovingbeams[J],JournalofSoundandVibration, 2005,281:611-626. [8】Ding,H.andChen,L.Q.Equilibriaofaxiallymoving beamsinthesupercriticalregime,ArchiveofApplied Mechanics,2011,81:51-64. [9]Ravindra,B.andZhu,WD.Low-dimensionalchaotic responseofaxiallyacceleratingcontinuuminthe supercriticalregime.ArchiveofAppliedMechanics,1998, 68:195—205. [10]Ding,H.andChenL.Q.Galerkinmethodsfornatural frequenciesofhigh—speedaxiallymovingbeams[J1. JournalofSoundandVration.2010,329:3484—3494.