【doc】用Mises屈服条件求简支圆板在线性和均布荷载共同作用下的极限荷载

【doc】用Mises屈服条件求简支圆板在线性和均布荷载共同作用下的极限荷载 用Mises屈服条件求简支圆板在线性和均布 荷载共同作用下的极限荷载 辽宁大学 自然科学版 第31卷第4期2004年 JOURNALOFLIAONINGUNIVERSITY NaturalSciencesEdition V01.31No.42004 用Mises屈服条件求简支圆板在线性 和均布荷载共同作用下的极限荷载 陈钢,'洪媛 (辽宁大学数学系,辽宁沈阳110036) 摘要:应用Mises屈服条件分析简支圆板在线性荷载和均布荷载共同作用下的极限荷载,并选择不同的 试函数,给出极限荷载的变化范围. 关键词:Mises屈服条件;加权余量法;圆板;线性荷载;均布荷载;极限荷载. 中图分类号:0344.3文献标识码:A文章编号:1000—5846{2004}04—0302.04 塑性极限分析问题始终是人们非常关心的问 题,它在结构和机械中有着广泛的应用.对于 结构进行塑性极限分析,常用的屈服条件为 Tresca屈服条件和最大弯矩极限条件u叫J,很少 用Mises屈服条件.经前人多次实验已证明:Mis. es屈服条件比Tresca屈服条件更接近于实验结 果与实际问题….但由于Mises屈服条件是非线 性的;而Tresca屈服条件是线性的;最大弯矩极 限条件是简化的,屈服时M,或Mo均为常数;因 此在实际的塑性极限分析问题中,基本上都采用 Tresca屈服条件和最大弯矩极限条件,很少见到 采用Mises屈服条件. 对于圆板塑性极限分析问题,至今只见到在 均布荷载和环形集中力作用下的Mises屈服条件 解【2J,还没有见到在线性荷载作用下的Mises屈 服条件解,更没有见到在线性荷载和均布荷载共 同作用下的Mises屈服条件解.本文就是应用 Mises屈服条件分析简支圆板在线性荷载和均布 荷载共同作用下的塑性极限分析问题.考虑到荷 载的复杂性与Mises屈服条件的非线性,文中在 数学上应用加权余量法进行分析.并且,为了 给出的数值解更合理,文中选择了不同的试函数, 给出了极限荷载的变化范围. 1问题与基本方程 对于图1所示的承受线性分布荷载(最大集 度为qo)和均布荷载(集度为qo)共同作用下的简 支圆板(半径为a),试用Mises屈服条件求其极 限荷载. 图1简支圆板和荷载示意图 平衡方程为: (rM,)一M0=rQ,一(3口,2一r3)(1) 式中,M,,Mo分别为板内的径向与横向弯矩. Mises屈服条件为: M2一M , M口+M2=M2(2) 式中,M为塑性极限弯矩. 板屈服时弯矩的边界条件为: M,(0)=Mo(O)=M,M,(a)=0(3) ?作者简介:陈钢(1979.),男,沈阳人,硕士生,从事弹塑性理论研究 收稿日期:2004.07.05 第4期陈钢,等:用Mises屈服条件求简支圆板……的极限荷载303 2选择不同的试函数进行分析 ?根据弯矩M的边界条件(3)式,设试函数为 M:klr2(一r)+(一r)(4) 式中kl为待定系数.将M代入平衡方程(1)式, 求出弯矩: M口=(rM(3一r3) =是l(3ar2-4r3)+(n一2r)十q0(3 一r)(5) 显然,(4)式,(5)式中的M满足边界条件 (3)式. 将上述M,代入Mises屈服条件(2)式中,得 余量Rl: Rl=M;一M+M一M; :是}(72r4—19r5+13r6)十七l[(42r2— 14丑r3+12r4)+q—o(15丑2r4—26丑r5+7r6)]+ ? M_ 2 l p (,n 2— 3ar+3r2)+罢(9a2r4-6+r6) +(3r2-10ar3+3r4)一M;(6)j丑. 采用加权余量法中的子域法消除余量[引.考 虑到余量R1只是r的函数,故只需沿半径方向 消除余量: 胁adr_0.是}n(一吉qoaS)+ q5n4—3Mpq.n2一12=0(7) 因在(7)式中有两个待求量kl与qo,故还不 能直接求出极限荷载qo.为此,本文考虑极值条 件,在(7)式中对kl取极值,得: 6+一吉qoas=0 即得. , 35q049Mt, 走l一38 口 3(8) 将kl代入(7)式,消去kl,得到极限荷载qo所满 足的方程: qa--Mpqoa2-1483M;=0 (9) q:4.33982(10) ^r=是-r2c丑_二二.+c丑一r11【=k2ar2+(n_r).. R2=d(rM)一 +(3nr一r) (3ar2-4r3)一k2ar2-r+~(3ar2-r3) R3=M;一MrMo+M;一M; ,.)十七l(2,.2—2,.3+,.)十七2(,.2一 ,.)+M--~(2— 2,.+,.)一M;(13) faR2dr:0:4是2口3+6一3qoa2:0(14)J0. JI.aR3dr=0:101526+126一lkl+ 南- +是2一22 = 0(15) k~a6+是l(1Mpq2一lqoa')+q5n 8 3A 0 Moa2--163M;=0(16) 是1: 21 _ qo一 35M 3 t,(17)走l一8口3…J 123 qa--qoa2-103M;=0(18) q:4.7678 M 2 p 丑 (19) 304辽宁大学自然科学版2004矩 ?考虑该问题的剪力边界条件: )=一詈q0a(20) aQ,((=【 设试函数为: fM,:kir2(一,.)+(.一,.) {M口=一kla2,.一k2,.a一,.)(21) 【+cn+知n,.a.)一 此时,M,,Mo同时满足弯矩边界条件(3)式 和剪力边界条件(20)式. 将试函数(21)式分别代入平衡方程(1)式和 Mises屈服条件(3)式,得相应余量为: R4=(,.MMo+(3一,.) =愚l(口,.+3口,.一4r3)+足2,.(口一,.)一qo (2a,.一3ar+,.)(22) R5=M;一M,Mo+M;一M; =愚}(口4,.2+口,.一2ar5+r6)+ki(口2,.4—2ar5 +,.)+klk2(r6—2a,.一口,.+2a3r3)+kl[ (4一一,.)一号(2+ar3--,.)卜 (a2r2-4ar3+3,.)+4q0?r3(n—r)]+ 警,.+3r)+号q0(一3,.z)+号口J' q8口,.一M;(23) 消除余量: j'.aR4d,.=0:6愚l口+足2口一q.=0(24) .『.ar-0.口6+志; 一 知+ 愚:(M一q.n)+q3n4一-~M,q.n2一 1 ? 2 p=0(25) 由(24),(25)式中消去k2,得 愚}n6+足-11一26qoa5)+q3n4一 4M.n2一 1 ? 2 p=0(26) 在(26)式中对k.取极值.得: , 364qo7M 一 (27) 将kl再代,N(26)式,得到极限荷载q0所满足的 方程: 0.069328293(qZa)一0.17037037(Mpq0口)一0. 606944444(M之):0(28) 由(28)式求出极限荷载为: qM .432536021?4.4325(29) aa 3结果分析与结束语 ?本文应用Mises屈服条件和加权余量法求 出简支圆板在图1所示的线性分布荷载和均布荷 载共同作用下的极限荷载,并选择了不同的试函 数(4)式,(11)式,(21)式,分别求出相应 的极限荷载q为4.3398Mpa.4.7678Mp/口, 4.4325Mp7n2. ?对于本文所研究的问题,可用Tresca屈服 条件和最大弯矩极限条件求出其极限荷载.如文 献[6]中的特例,用Tresca屈服条件求出极限荷 载为: q:(30) a一 由本文结果与(30)式比较看出:本文给出的三个 结果均稍高于Tresca屈服条件的结果q,显然是 合理的. ?因Mises屈服条件是非线性的,故只能给 出数值解.文中为了给出更合理的结果,选择了不 同的试函数:试函数(4),(11)式只满足弯矩的边 界条件,而试函数(21)式不仅满足弯矩边界条件 而且还满足简力边界条件,这也是本文所研究问 题的三种可能选择的试函数.由计算结果看出,虽 然试函数不同,但计算结果均较合理. ?加权余量法从静力平衡方程出发,求得的 是极限荷载下限解的近似值.又由于文中采用了 对参数kl取极值,所以求出的是极限荷载的最大 的下限解.由本文结果看出,只要试函数满足弯矩 边界条件,应用加权余量法求得的极限荷载均很 理想. ?根据本文给出的计算结果可知:简支圆板 在图1所示的线性荷载和均布荷载共同作用下的 第4期陈钢,等:用Mises屈服条件求简支圆板……的极限荷载305 极限荷载的变化范围为: 4.33,4.77(Mp/a) 或4.3,4.8(/a) [3] (31) (32)[4] 参考文献: [i]王仁,熊祝华,黄文彬.塑性力学基础[M].北京: 科学出版社,1982. [2]徐秉业,刘信声.结构塑性极限分析[M].北京:中国 建筑工业出版社,1985. [5] [6] 薛大为板壳理论[M].北京:北京工业大学出版社, 1988. 诺曼?琼斯.结构冲击[M].蒋平译.成都:四JII教育 出版社,1994. 徐次达.固体力学加权残值法[M].上海:同济大学 出版社,1987. 李鸿都.用广义阶梯函数简化计算简支圆板在复杂 荷载作用下的极限荷载[J].计算结构力学及其应 用.1994. EvaluationofUltimateLoadofCircularPlateswithSimply SupportedEdgesunderLinearLoadandUniformLoad BasedonMisesYieldCondition CHENGang,HONGYuan (DepartmentofMathematics,LiaoningUniversity,Shenyang110036,China) Abstract:Inthispaper,Misesyieldconditionisappliedtoanalyzetheultimateloadofcircularp lates withsimplysupportededgesunderlinearloadanduniformload,differenttrialfunctionsarese lectedandthe rangeofchangeofultimateloadisgivenout. Keywords:Misesyieldcondition;methodofweightedresiduals;circularplate;linearload;u niform load:ultimateload. (责任编辑郑绥乾)