随机信号分析(第3版)习题及答案

PAGEPAGE36有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。问所选零件为次品的概率是多少？发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用示第批的所有零件组成的事件，用表示所有次品零件组成的事件。（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，设随机试验的分布律为123求的概率密度和分布函数，并给出图形。解：设随机变量的概率密度函数为，求:(1)系数；（2）其分布函数。解：（1）由所以（2）所以的分布函数为若随机变量与的联合分布律为YX-10100.070.180.1510.080.320.20求：（1）与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）的分布律；（4）与的相关系数。（北P181,T3）解：（1）（2）的分布律为的分布律为（3）的分布律为（4）因为则与的相关系数，可见它们无关。设随机变量，且相互独立，。随机变量的联合概率密度；随机变量与是否相互独立？解：（1）随机变量的联合概率密度为由反函数，，（2）由于,所以随机变量与相互独立。已知对随机变量与，有，，，，，又设，，试求，，，和。解：首先，，。又因为。于是，已知随机变量服从上的均匀分布。随机变量服从上的均匀分布，试求；解：（1）对有，（2）设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目服从泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。（北P101,T10）解：每个粒子是否造成损坏用表示造成损坏的粒子数，于是可合理地认为和是独立的，于是随机变量彼此独立；且特征函数分别为，求下列随机变量的特征函数：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）（2）同（1），（3）（4）随机变量X具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）（2）（3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，。（4），利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，,,。利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。解：由于是宽度为，高度为，中心在处的矩形函数。其傅立叶变换为设有高斯随机变量，试利用随机变量的矩发生特性证明：解：特征函数为，由矩发生性质，掷一枚硬币定义一个随机过程：设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：（1）的一维分布函数，；（2）的二维分布函数；（3）画出上述分布函数的图形。2.3解：（1）X(0.5)01P0.50.5X(1)-12P0.50.5一维分布为:(2)X(1)X(0.5)-1200.50100.5二维分布函数为假定二进制数据序列{B(n),n=1,2,3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。试问，（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4解：解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有：（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1,2,3,….其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。所以有：串（4bit数据）为：，其矩特性为：因为随机变量的矩为：均值：方差：所以随机变量的矩为：均值：方差：如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：串方差：（3）因为有P[B(n)=0]=0.2，P[B(n)=1]=0.8，P[B(n)=1]>P[B(n)=0]可知出现概率最大的二进制数据为B(n)=1，又由独立性可得，概率达到最大的串为（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。所以如果见到1010后，下一位仍为0或1，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。设质点运动的位置如直线过程，其中与，并彼此独立。试问：t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？它是可预测的随机信号吗？2.7解：（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布所以它的一维概率密度函数为:(2)此信号是可预测随机信号假定（-1,+1）的伯努利序列的取值具有等概特性。试问：它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？它是可预测的随机信号吗？2.8解：(1)(2)该随机信号不可预测给定随机过程和常数，试以的自相关函数来表示差信号的自相关函数。2.10解：由题意可得：两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A与B为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，（1）两个随机信号的互相关函数；（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；题2.11解：（1）因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以，上式；（2）①如果E[A]或E[B]为0，则，随机信号X(t)与Y(t)正交；②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有，，，如果E[A]或E[B]为0，则，X(t)与Y(t)互不相关；如果E[A]与E[B]均不为0，则，X(t)与Y(t)相关；综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。假定正弦电压信号，其中，服从均匀分布，服从均匀分布，它们彼此独立。如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。题2.13解：由电路原理的相关知识可知：总电流I为，则零均值高斯信号的自相关函数为，求的一维和二维概率密度。题2.15解：(1)因为，，所以一维概率密度函数为：(2)高斯信号X(t)的二维概率密度函数为：，t，，，为协方差，则某高斯的均值，协方差，写出当、和时的三维概率密度。题2.18解：由定义得：又因为设，t，，则设随机变量，其中，，求的概率密度和特征函数。题2.19解：因为与，，而。于是，。则(X，Y)的概率密度函数为其特征函数为随机电压信号在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数、和，k为任意整数；（2）的平稳性。3.1解：(1)(2)由于任意k阶概率密度函数与t无关，因此它是严平稳的。已知随机信号和相互独立且各自平稳，证明新的随机信号也是平稳的。3.4解：与各自平稳，设=，=，，，为常数仅与有关，故也是平稳过程。随机信号，为确定常数，在上均匀分布的随机变量。若通过平方律器件，得到，试求：（1）的均值；（2）的相关函数；（3）的广义平稳性。3.5解：(1)仅与有关，且均值为常数，故是平稳过程。给定随机过程，其中是常数，和是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为。证明是广义平稳而不是严格平稳的。3.6证明：由于均值是常数，且相关函数只与有关，故是广义平稳过程。是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值和相关函数，试求：（1），；（2），；（3）。3.7解：两个统计独立的平稳随机过程和，其均值都为0，自相关函数分别为，，试求：（1）的自相关函数；（2）的自相关函数；（3）互相关函数。3.9解：广义平稳随机过程的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：C=对于两个零均值广义平稳随机过程和，已知，，问下述函数可否作为自相关函数，为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。（6）；（7）。解：根据平稳随机信号相关函数的性质，(1)否，非偶函数(2)否，非偶函数(3)否，(4)否，在原点不是非负(5)是(6)是(7)是(8)是已知随机过程和独立且各自平稳，自相关函数为与。令随机过程，其中A是均值为2，方差为9的随机变量，且与和相互独立。求过程的均值、方差和自相关函数。解：平稳信号X(t)的功率谱密度为（1）（2）求它们的自相关函数和均方值。解：(1)(2)根据傅立叶变换的对称性，有:下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.21判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。(1)是。　　　　　　　　　　　　　(2)是。(3)不是，时值为负数。　　　(4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。(5)是。　　　　　　　　　　　　　(6)不是，因为它不是偶函数。是平稳随机过程，证明过程的功率谱是3.22设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为求互谱密度与。3.24设随机过程,式中是一组实常数。而随机过程为平稳的和彼此正交的。试证明：3.253.31假定周期为T高为A的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在时刻以后出现的第一个零值时刻是均匀分布的随机变量。试说明的一阶密度函数为题图3.313.31随机信号与的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。（b）题图4.1解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a）不可能是均值各态历经信号；（b）很可能是均值各态历经信号随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为，又根据充分条件为：，且，因此，它是均值各态历经信号。随机信号与是联合广义各态历经的，试分析信号的各态历经性，其中a与b是常数。解：由题意，均方意义下有，因此，是均值各态历经信号随机过程，式中，A和B为零均值随机变量。求证是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。解：由题意，首先，而显然，，但。求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。题图5.1解根据电路分析、信号与系统的知识，第一个图中系统的传输函数第二个图中系统地传输函数第三个图中系统地传输函数若平稳随机信号的自相关函数，其中，A和B都是正常数。又若某系统冲击响应为。当输入时，求该系统输出的均值。解：因为所以。若输入信号作用于正文图5.2所示RC电路，其中为[0,1]上均匀分布的随机变量，为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且与彼此独立。求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。解：首先我们求系统的频率响应。根据电路分析、信号与系统的知识，然后，计算的均值与自相关函数，可见是广义平稳的。考虑系统稳态时的解，可利用推论得出于是，设某积分电路输入输出之间满足以下关系式中，T为积分时间。并设输入输出都是平稳过程。求证输出功率谱密度为（提示：，而，是矩形方波。）解：因为所以而所以所以若线性时不变系统的输入信号是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数为，输出信号为。试问系统要具备什么条件，才能使随机变量与互相独立。解：由于输入信号是均值为零的平稳高斯随机信号，所以通过线性时不变系统后仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且和是高斯联合平稳过程。如果与相互独立，则。而因此，要满足。若功率谱为5W/Hz的平稳白噪声作用到冲击响应为的系统上，求系统的均方值与功率谱密度。解：由题知：，所以而输出过程的自相关函数。于是，功率谱为的白噪声作用到的低通网络上，网络的等效噪声带宽为2MHz。若噪声输出平均功率是0.1瓦，求的值。解：由得，（瓦/Hz）已知平稳随机信号的相关函数为（2）求它们的矩形等效带宽。解：（1）因为是三角函数，所以，由几何图形易知，（2）所以6.1复随机过程，式中为常数，是在上均匀分布的随机变量。求：（1）和；（2）信号的功率谱。解：(1)(2)6.26.36.4已知的频谱为实函数，假定时，，且满足，试比较：和的傅立叶变换。和的傅立叶变换。和的傅立叶变换。解：由傅立叶变换的定义可以得到：（1）的傅立叶变换是的傅立叶变换的正频率部分。（2）的傅立叶变换是的傅立叶变换的正频率部分。（3）和的傅立叶变换是希尔伯特变换对。6.66.7若零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度如题图6.7试写出此随机信号的一维概率密度函数；写出的两个正交分量的联合概率密度函数。题图6.7解：零均值平稳窄带高斯信号的正交表达式为基于功率谱计算功率得为0均值的高斯随机信号,所以所以一维概率密度,又因为的功率谱关于中心频率偶对称由（6.37）得即所以彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以,6.8对于窄带平稳随机过程，若其均值为零，功率谱密度为式中都是正实常数。试求x(t)的平均功率；i(t)的功率谱密度；互相关函数或互谱密度；i(t)与q(t)是否正交或不相关？解：（1）的平均功率：（2）是零均值平稳窄带随机信号，所以有：（3）互相关函数或互谱密度因为是零均值平稳窄带随机信号，并且是关于偶对称，有9.3的性质，定理可知，互谱密度为0，互相关函数也为0（4）由，所以与任意时刻正交。因为与是零均值的，所以与是不相关的。6.96.106.11已知零均值窄带平稳噪声的功率谱密度如题图6.11所示。画出下列情况下随机过程，各自的功率谱密度：（1）（2）（3）判断上述各种情况下，过程，是否互不相关。题图6.11解：因为是零均值平稳窄带随机信号,所以有：功率谱图形如下：（1）（2）（3）由于的功率谱不以中心频率偶对称，所以互功率谱密度在三种情况下都不为0,所以A(t),B(t)相关.6.126.13同步检波器如下题图6.13所示，输入为窄带平稳噪声，它的自相关函数为，。若另一输入，其中A为常数，服从上的均匀分布，且与独立。求检波器输出的平均功率。题图6.13解：由题意知所以也是平稳的.设由于独立,不难得:,所以经过低通滤波器后，由于其中高频成分：被滤掉，所以所以的平均功率的双极性二进制传输信号的码元符号概率为。将送入码元幅度取样累加器，累加器输出为，简记为。试求：（1）画出的状态图；（2）的状态概率和，假定初始分布为等概的；（3）状态转移概率和。解（1）将U(t)送入码元幅度取样累加器，则相当于（2）（3）设是相互独立随机变量序列，令：，是任意的整数，试证明：随机序列是马氏链。解令则与7.1一样，所以是马氏链微小粒子在相距的反射板之间做随机游动。粒子的初始位置在中线0位置上，每隔T时间粒子游动一步，每步跨距为。随机游动在第n步后的质点位置记为，状态为，设的状态转移概率矩阵为：试求：（1）随机游动的状态图；（2）最可能的样本波形（设）；（3）求的极限分布和平稳分布。解自己画（2）最可能的波形，即是说按转移概率最大的状态进行转移。设，则（3）在差分编码系统中，将输入的二进制数据序列进行差分编码，输出为序列，讨论输出的状态分类。其中编码规则为与。解则不难画出状态转移图若明日是否降雨仅与今日是否有雨有关，而与以往的天气无关，并设今有雨而明日有雨的概率为0.7；今日无雨明日有雨的概率为0.2，设表示今日的天气状态，表示第日的天气状态。“”表示第日有雨；“”表示第日无雨。是一个齐次马氏链。写出的状态转移概率矩阵求今日有雨而后第2日仍有雨的概率求有雨的平稳概率解（1）（2）（3）独立增量随机信号的增量信号为，对于时刻编序，，若增量信号的一阶特征函数为。试求：（1）与；（2）与。解（1）(2)求与。某电话交换台在时间（单位：min）内转接的电话呼叫次数为，其平均呼叫次数为次/min，试求：15分钟内电话呼叫次数为次的概率，分别为3和5；概率；时的平均呼叫次数与呼叫次数的方差。解：（1）某二极管发射电子到阳极的平均发射率为，到达阳极的电子数为，试求：；转移概率与。解:(1)某器件中载流子到达集电极的数目服从泊松统计规律，其平均变化率为，载流子在时刻到达集电极形成的电流冲击响应为：试求：集电极电流（散弹噪声）表达式与。解：（1）集电极电流为：