与三角形有关的线段

与三角形有关的线段 内容解析: 一、三角形主要线段及相关示 1. 角平分线 (1)AD是?ABC的角平分线 (2)AD平分?BAC，交BC于点D， (3) 2. 中线 (1)AM是?ABC的中线 (2)AM是?ABC中BC边的中线 (3)点M是BC边上中点 (4) 3. 高线 (1)AE是?ABC的高 (2)AE是?ABC中BC边上的高 (3)AE?BC，垂足为E (4)?AEB=?AEC=90? 二、三角形的三条边的关系 1. 相关定理及其推论 (1)三角形两边之和大于第三边 (2)三角形两边之差小于第三边 2. 定理及其推论作用 (1)给出三条线段长度，判断它们能否构成三角形 ?a+b,c，b+c,a，c+a,b均成立(一般不用) ?若c为最长线段，且a+b,c (2)已知三角形两边的长，可确定第三边取值范围。 设三角形两边的长为a，b，则第三边的长c的取值范围为|a,b|,c,a+b 3. 经典结论 如图，两点之间凸外折线长于凸内折线。 证明见下页例3 典型例: 1(以下列长度的三条线段为边，哪些可以构成一个三 角形，哪些不能, (1)6cm，8cm，10cm (2)3cm，8cm，11cm (3)3cm，4cm，10cm (4)三条线段之比为4:6:7 解:(1)?(6cm+8cm,10cm) (2)×(3cm+8cm=11cm) (3)×(3cm+4cm,11cm) (4)?设三条线段为4k，6k，7k，则4k+6k,7k 2(?ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和6两部分，求这个 三角形的各边长。 解:中线BD将?ABC的周长分为AB+BD和BC+CD两部分 ?有两种可能 (1) 再由AB=AC=2AD=2CD 可知(1)成立，(2)不成立 设AB=AC=2x 则AD=CD=x (1)当时 2x+x=15 ?x=5 2x=10 ?AB=AC=10 BC=6,5=1 (2)当时 有2x+x=6 ?x=2 2x=4 ?CD=13 又?4+4,13 ?不能组成三角形 答:三角形三边分别为10，10，1 3((1)如图，求证:AC+BC,AD+BD (2) 如图，求证:AC+BC,AD+DE+BE (1) (2) 证明: (1)延长AD交BC于E ?ACE中AC+CE,AD+DE ?BDE中DE+BE,BD 将上面两个不等式相加得:AC+CE+DE+BE, AD+DE+ BD 化简得:AC+CE+BE,AD+BD 即: AC+BC,AD+BD (2)延长AD交BC于F，延长BE交DF于G ?ACF中AC+CF,AD+DG+FG ?BFG中FG+BF,BE+EG ?DEG中DG+EG,DE 将上面三个不等式相加得:AC+CF+FG+BF+DG+EG, AD+DG+FG+ BE+EG+DE 化简得:AC+CF+BF,AD+BE+DE 即: AC+BC,AD+DE+BE 注:此例题可推广为“两点之间凸外折线长于凸内折线”。