与三角形有关的线段
内容解析:
一、三角形主要线段及相关
示
1. 角平分线
(1)AD是?ABC的角平分线
(2)AD平分?BAC,交BC于点D,
(3)
2. 中线
(1)AM是?ABC的中线
(2)AM是?ABC中BC边的中线
(3)点M是BC边上中点
(4)
3. 高线
(1)AE是?ABC的高
(2)AE是?ABC中BC边上的高
(3)AE?BC,垂足为E
(4)?AEB=?AEC=90?
二、三角形的三条边的关系
1. 相关定理及其推论
(1)三角形两边之和大于第三边
(2)三角形两边之差小于第三边
2. 定理及其推论作用
(1)给出三条线段长度,判断它们能否构成三角形
?a+b,c,b+c,a,c+a,b均成立(一般不用)
?若c为最长线段,且a+b,c
(2)已知三角形两边的长,可确定第三边取值范围。
设三角形两边的长为a,b,则第三边的长c的取值范围为|a,b|,c,a+b
3. 经典结论
如图,两点之间凸外折线长于凸内折线。
证明见下页例3
典型例
:
1(以下列长度的三条线段为边,哪些可以构成一个三
角形,哪些不能,
(1)6cm,8cm,10cm
(2)3cm,8cm,11cm
(3)3cm,4cm,10cm
(4)三条线段之比为4:6:7
解:(1)?(6cm+8cm,10cm)
(2)×(3cm+8cm=11cm)
(3)×(3cm+4cm,11cm)
(4)?设三条线段为4k,6k,7k,则4k+6k,7k
2(?ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和6两部分,求这个
三角形的各边长。
解:中线BD将?ABC的周长分为AB+BD和BC+CD两部分
?有两种可能
(1)
再由AB=AC=2AD=2CD
可知(1)成立,(2)不成立
设AB=AC=2x
则AD=CD=x
(1)当时
2x+x=15
?x=5
2x=10
?AB=AC=10
BC=6,5=1
(2)当时
有2x+x=6
?x=2
2x=4
?CD=13
又?4+4,13
?不能组成三角形
答:三角形三边分别为10,10,1
3((1)如图,求证:AC+BC,AD+BD
(2) 如图,求证:AC+BC,AD+DE+BE
(1) (2)
证明:
(1)延长AD交BC于E
?ACE中AC+CE,AD+DE
?BDE中DE+BE,BD
将上面两个不等式相加得:AC+CE+DE+BE, AD+DE+ BD
化简得:AC+CE+BE,AD+BD
即: AC+BC,AD+BD
(2)延长AD交BC于F,延长BE交DF于G
?ACF中AC+CF,AD+DG+FG
?BFG中FG+BF,BE+EG
?DEG中DG+EG,DE
将上面三个不等式相加得:AC+CF+FG+BF+DG+EG, AD+DG+FG+ BE+EG+DE
化简得:AC+CF+BF,AD+BE+DE
即: AC+BC,AD+DE+BE
注:此例题可推广为“两点之间凸外折线长于凸内折线”。