应用Stokes公式计算有多个奇点的函数的积分

应用Stokes公式计算有多个奇点的函数的积分 应用Stokes公式计算有多个奇点的函数的 积分 第l6卷第1期 2007年3月 河南教育学院(自然科学版) JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScience) Vo1.16No.1 Mar.2007 应用Stokes公式计算有多个奇点的函数的积分 周高军,李文敏,郑宝洁 (河南教育学院数学系.河南郑州450014) 摘要:在数学物理中,带有奇点的函数积分是我们经常碰到的,它们计算往往比较复杂.但应用又比较广泛.本 文讨论有多个奇点的函数积分的一些理论及应用,给出这些奇点分别在积分曲线(区域)的内部,边界及外部的计 算方法. 关键词:Cauchy积分定理;Stokes公式;奇点 中图分类号:0172.2文献标识码:A文章编号:1007—0834(2007)01—0008—03 O引言 复周线的柯西积分定理…:设D是由周线c= C.+C+C;+…+C:所围成的有界乃+1连通区 域,函数,(=)在D内解析,在D=D+C上连续,则 I,(=)dz=0,或写成I厂(=)dz=I,(=)dz,I-…+JCJCOJC? , I,(=)出.JC 若c(i=1,2,…乃)内,都只有一个奇点,我们就可 以计算大范围积分.这就是Cauehy留数定理=) 在复周线c所围成的区域D内,除a.,a:,…a外解 析,在闭域D=D+C上除a.,a:,…a外连续,则 Jn I,(=)dz=.?Resf(=).JCt1zI 利用这个定理我们便可以计算周线内含有多个孤立 奇点的周线积分,进一步可以计算一些在分析里比 较难于计算的反常积分.本文讨论的是一般的 Stokes公式在带有奇点的实函数积分中的应用. 数学分析里几个很重要的定理:Newton— Leibniz公式,Green公式,奥一高公式,Stokes公式, 它们都分别给出了某个区域上的积分与沿该区域边 界上积分的关系式.实际上,我们用外微分的理论可 以把这些公式统一起来,表示成一般的Stokes公式: Idw=I,即k次微分形式的外微分在k+1J/,JaA 维区域?上的积分等于k次微分形式在k+1维 区域?的边界aa(它是k维区域)上的积分,特别注 意区域?及a?分别是乃维空间的k+1,k维区域. 因此一般的Stokes公式揭示了外微分运算与积分的 抵消作用,也就是外微分后在积分等于低一维区域 上低一次微分形式的积分. 利用Stokes公式,我们便可以计算所围区域内 有多个奇点的积分. 1周线积分 对于实函数的周线积分,若周线内部含有多个 奇点,我们可以通过Green公式来计算它的积分 值. 第一种情况:若周线外部有奇点,则函数在周线 内部可微.进一步若函数有二阶连续的偏导数,则利 用Green公式可证明此时的积分值为零.若在复变 函数里面直接棚Cauehy积分定理可得积分值 为零. 第二种情况:若周线上有奇点,此时要对奇点作 进一步的分类,分成光滑点与角点,然后函数还 要满足一些特殊的条件,这种反常积分才会存在,此 种情况十分复杂,本文不具体研究. 第三种情况:若周线内部有奇点,我们可利用 Green公式来计算它. 下面我们来看两个具体的例子: 例1若简单的周线C包围坐标原点,X= (,Y),Y=(,Y),它们在C内有二阶连续的偏 收稿日期:2006—09—10. 作者简介:周高军(1968一),男,河南荥阳人,河南教育学院数学系教师. - 8? 导数,而曲线【,),)=0和(,),)=0在周线C内 部有几个单交点,计算积分,=JXdY- + Y y2 dX的值. 解:设(,Y)=0和(,Y)=0在C内的交 点为P(,Y)(i=1,2,…,m),并且假定在各点 P(,),)(=1,2,…,m)处有暑=,一 ?0.容易算得 XdY—YdX=(一)dx+(,一,)dy, J=JXdY- + Y y2 dX = fP(,),)+Q(,),)d),,其中 ,),):,,),):.'+'''+,b2 :: a),a 璺:!!::!二 (+矿) ((,Y)?(,Y),(i=1,2,…,m)). 围绕点P.(,Y1)(i=1,2,…,m)作周线C:(, ),)+(,),):r2,即X+y2=r2,取r>0充分小, 使诸C互不相交且都位于C内,这是因为在各点 P,?.,从而由连续性知在P的某邻域内 等?.且保持定号,于是由隐函数存在定理知 变换X=(,),),Y=(,),)在点(,),.)邻近及 (X,Y)=(0,0)附近是双方单值双方连续的.将 Green公式应用于诸周线C,C一C之间的区域, 可得 IP(,Y)dx+Q(,Y)dyJC = . P()+Q()d), 这与复周线的Cauchy积分定理很类似,故 ,-i. 但 . = . 舢一Yd = Iff2<一,)dd), =捌,, 毒(ssn) .f捌,, (ssn)= 则…仃n) 下面是一个更简单的例子. 例2计算,=XdY~YdX ,若=口+6y, Y=c+ey且C为包围坐标原点的简单封闭周线 (口e—bc?0). 解:因为ae—bc?0,故只有原点(0,0)使X+ y2=0,又由于 XdY—YdX=(ae—bc)(xdy—ydx),故 hXdY-YdX = fP(,),)+Q(,),)d),,其中 Q=, 一 by)鼍ey).(口++(+ 容易算得,当(,Y)?(0,0)时, apaP—— 一=一= aa), (ae—bc)[(a+c)一(b+e)Y] [(ax+by)+(4-ey)]' 利用复周线的Green公式知 P(,y)d+Q(,y)dy = JP(,Y)dx+Q(,Y)dyJC 其中C为包围原点(0,0)的简单周线(o+ 6),)+(c+e),)=r,即(X+y2=r),并且C在 C内.于是 ,rXdY—ydXrXdY—YdX 一 JcX+y2一J:+y2:,:X+y2 :1fXdY—YdX = fd),一),dr上J2+y2:,2 = .f2d,, = 2儿:,l 由于…澈=. 于是 ,=2 : dXdY = 2~rsgn(rite一6c). 2高维积分 第一种情况:若积分曲面外部有奇点,内部无奇 点,直接利用Stokes公式进行计算,这种情况理论上 比较简单,我们不多讨论. 第二种情况:若积分曲面内部有奇点,我们作一 些小的简单围面分别把这些奇点挖去,从而做成一 个复连通区域,在此复连通区域上用Stokes公式便 可计算. 第三种情况:积分曲面上有奇点.此时我们围绕 此奇点作一些小球面,在小球面的外部与曲面的里面 围成无奇点的区域,在此区域的积分比较容易计算, 而那些小球面里部与包含有奇点曲面的积分,当小球 面的半径趋向于零时,也可以计算,从而有结论. 例3设S为一光滑曲面,,= '三ds ,其中cosa,co,cosy) 为s的外法线方向余弦,r=?+Y+z,试求: (1)当原点在S外部时的值.(2)当原点在s 内部时的值.(3)当原点在s上面时的值. 解:(1)当原点在.s外部时,由奥一高公式 ~Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = (+oQ,,+)捌dz知, ,s:xcosa+yco , sfl+zcosYdS r = {dydz+Ydzd+dyllr = (一等一等一等)捌y = …Odxdyd0. (其中是S围成的区域) (2)当原点在s内部时,我们知原点为奇点,围绕 原点作一个小球面+Y+z=6,它函在s内部.由 复连通区域上的Stokes公式(奥一高公式)可得, =ds S8 =圳dxdy =4~r.(其中是S围成的区域) (3)当原点在S上时,围绕此奇点作一个小球 面S半径是占,记S.是由S与Js右侧部分构成的封 闭曲面,S:是由S(含奇点的--d,部分)与S(在S中 的部分)构成的封闭曲面. 则,s=,s+,s,由(1)知:,s=0,从而,=,. 当占一0时,S:趋于S的右半平面. =ds =ydz+ydz+zdy :××3×.=4 不占 3 :2不.××3×了不占 若奇点是多个或奇点同时具有(1)(2)(3)的情形, 我们完全可以照此方法计算,只不过计算要复杂 一 些. 致谢:本文的写作过程中,受到"西北农林科技大学 人才引进基金"的资助和支持,同时感谢那些帮助 过我们的人们. 参考文献 [1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2003:116一 [2]费定晖,周学圣,郭大钧,等.吉米多维奇一数学分析习集 (6)[M].济南:山东科学技术出版社,1999:371—375. [3]华东师范大学数学系.数学分析()[M].上海:人民出版 社.1981:297—425. [4]路可见,钟寿国,刘士强.复变函数[M].武汉:武汉大学出版 社.1993:83—91. IntegralsofFunctionswithSeveralSingularitiesbyAid 0fStokesFormula,?t l-' ZHOUGaojun,LIWenmin,ZHENGBaojie (DepartmentofMathematics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450014,China) Abstract:Inmathandphysics,weoftenencountersomeintegralsoffunctionswithseveralsingularities.Although alwayscomputedcomplicatedly,theyareappliedwidely.Inthispaper,wewilldiscusssometheoriesandapplica— tionoftheintegralswithseveralsingularities.Thesesingularitieslieinner,exteriorandontheintegralcurves (domain)respectively. Keywords:Cauchy—integraltheorem;Stokesformula;singularity ? 10?