x届高考数学（文）年高考真题一轮备考试题库 数列求和

x届高考数学（文）年高考真题一轮备考库 数列求和 x~x年高考真题备选题库 第5章 数列 第4节 数列求和 1((xx，13分)已知{a} 是等差数列，满足a,3，a,x，数列{b} 满足b,4，b,n14n14 20，且 {b,a}是等比数列( nn (1)求数列{a}和{b} 的通项公式; nn (2)求数列{b}的前n 项和( n ,aa12,341解:(1)设等差数列{a}的公差为d～由题意得d,,,3. n33 *所以a,a，(n,1)d,3n(n?N)( n1 ,ab20,12443设等比数列{b,a}的公比为q～由题意得q,,,8～解得q,2. nnb,4a,311 n,1n,1所以b,a,(b,a)q,2. nn11 n,1*从而b,3n，2(n?N)( n n,1*(2)由(1)知b,3n，2(n?N)( n n1,23n,1n数列{3n}的前n项和为n(n，1)～数列{2}的前n项和为1×,1. ,221,2 3n所以～数列{b}的前n项和为n(n，1)，2,1. n2 2((x湖南，x分) 2n，n*已知数列{a} 的前n 项和S,，n?N . nn2 (1)求数列{a} 的通项公式; n n(2)设b,2a，(,1)a ，求数列{b} 的前2n 项和( nnnn 解:(1)当n,1时～a,S,1, 11 22，n，n,1，，，n,1，n2时～a,,n. 当n?,S,S,,nnn122 故数列{a}的通项公式为a,n. nn nn12(2)由(1)知～a,n～故b,2，(,1)n.记数列{b}的前2n项和为T～则T,(2，2nnn2n2n 2n，„，2)，(,1，2,3，4,„，2n)( 122n记A,2，2，„，2～B,,1，2,3，4,„，2n～则 2n2，1,2，2n，1A,,2,2～B,(,1，2)，(,3，4)，„，[,(2n,1)，2n],n. 1,2 2n，1故数列{b}的前2n项和T,A，B,2，n,2. n2n 3((xx，14分) 222设各项均为正数的数列{a} 的前n 项和为S ，且 S满足 S,(n，n,3)S,3(n，n),nnnnn *0，n?N. (1)求a 的值; 1 (2)求数列{a} 的通项公式; n 1111(3)证明:对一切正整数n ，有，，„，<. a，a，1，a，a，1，a，a，1，31122nn 222*解:(1)由题意知～S,(n，n,3)S,3(n，n),0～n?N. nn 2令n,1～有S,(x，1,3)S,3×(x，1),0～ 11 2可得S，S,6,0～解得S,,3或2～ 111 即a,,3或2～ 1 又a为正数～所以a,2. n1 222*22(2)由S,(n，n,3)S,3(n，n),0～n?N可得～(S，3)(S,n,n),0～则S,n，nnnnn n或S,,3～ n 又数列{a}的各项均为正数～ n 22,(n,1)，(n,1)～ 所以S,n，n～S,n1n 22所以当n?2时～a,S,S,n，n,[(n,1)，(n,1)],2n. ,nnn1 又a,2,2×1～所以a,2n. 1n 1111(3)当n,1时～,,<成立, a，a，1，2×36311 111111,,,当n?2时～～ ,<,,,2n,12n，1a，a，1，2n，2n，1，，2n,1，，2n，1，2nn 111所以，，„， a，a，1，a，a，1，a，a，1，1122nn 111111，,,，,,,<，,，„， ，,,,,，2n,12n，16235 1111111,,,,，<，,. ,,32n，162663 ～ 所以对一切正整数n 1111有，，„，<. a，a，1，a，a，1，a，a，1，31122nn4((x安徽，x分) *数列{a} 满足a,1，na,(n，1)a，n(n，1)，n?N. ，n1n1n a,,n,,(1)证明:数列是等差数列; ,,n n(2)设 b,3?a，求数列{b}的前 n项和 S. nnnn aa，，aan1n1nn解:(1)证明:由已知可得,，1～即,,1. n，1nn，1n a,,an1,,所以是以,1为首项～1为公差的等差数列( ,,n1 an2(2)由(1)得,n. ,1，(n,1)?1,n～所以ann n从而b,n?3. n 123nS,1?3，2?3，3?3，„，n?3～? n 23nn，13S,1?3，2?3，„，(n,1)?3，n?3.? n 12nn，1?,?得,2S,3，3，„，3,n?3 n n3?，1,3，n，1,,n?3 1,3 n，1，1,2n，?3,3,. 2 n，1，2，3n,1，?3所以S,. n4 x*5((xx，x分)设等差数列{a}的公差为d，点(a，b)在函数f(x),2的图象上(n?N)( nnn (1)证明:数列{b}为等比数列; n 1(2)若a,1，函数f(x)的图象在点(a，b)处的切线在x轴上的截距为2,，求数列122ln 2 2{ab}的前n项和S. nnn 解:(1)证明:由已知，b,2a,0. nn b，n1d当n?1时，,2a,a,2. ，n1nbn d所以～数列{b}是首项为2a，公比为2的等比数列( n1 x(2)函数f(x),2在(a，b)处的切线方程为 22 y,2a,(2aln 2)(x,a)， 222 1它在x轴上的截距为a,. 2ln 2 11由题意，a,,2,， 2ln 2ln 2 解得a,2. 2 n2n所以，d,a,a,1，a,n，b,2，ab,n?4. 21nnnn 23n,1n于是，S,1?4，2?4，3?4，„，(n,1)?4，n?4， n 23nn，14S,1?4，2?4，„，(n,1)?4，n?4. n n，1n，14,4，1,3n，4,42nn，1n，1因此，S,4S,4，4，„，4,n?4,,n?4,. nn33 n，1，4，3n,1，4所以S,. n9 6((xx，16分)设{a}是首项为a，公差为d的等差数列(d?0)，S是其前n项的nn nSn*和(记b,，其中 c为实数( ，n?Nn2n，c 2*(1)若c,0，且b，b，b成等比数列，证明:S,nS(k，n?N); 124nkk(2)若{b}是等差数列，证明:c,0. n 证明:本题考查等差、等比数列的定义～通项及前n项和～意在考查考生分析问题、 解决问题的能力与推理论证能力( n，n,1，由题设～S,na，d. n2 n,1Sdn22,,(1)由c,0～得b,～b～b成等比数列～所以b,bb～即a，,a，d.又bn124214,,n22 32,,,aa，d～化简得d,2ad,0.因为d?0～所以d,2a. ,,2 *2因此～对于所有的m?N～有S,ma. m *2222从而对于所有的k～n?N～有S,(nk)a,nka,nS. nkk nSn*(2)设数列{b}的公差是d～则b,b，(n,1)d～即，(n,1)d～n?N～代,bn1n11211n，c *入S的表达式～整理得～对于所有的n?N～有 n 1132,,,,d,dn，b,d,a，dn，cdn,c(d,b)( 111111,,,,22 11*32令A,d,d～B,b,d,a，d～D,c(d,b)～则对于所有的n?N～有An，Bn1111122 ，cdn,D.(*) 1 在(*)式中分别取n,1,2,3,4～得 A，B，cd,8A，4B，2cd,27A，9B，3cd,64A，16B，4cd～ 1111 7A，3B，cd,0～ ?1,,19A，5B，cd,0～ ?从而有 ,1 ,21A，5B，cd,0～ ?,1 由?～?得A,0～cd,,5B～代入方程?～得B,0～从而cd,0. 11 11即d,d,0～b,d,a，d,0～cd,0. 111122 1若d,0～则由d,d,0～得d,0～与题设矛盾～所以d?0. 1112 又cd,0～所以c,0. 1 7((xx，14分)在公差为d的等差数列{a}中，已知a,10，且a，2a，2,5a成等n1123 比数列( (1)求d，a; n (2) 若d<0，求|a|，|a|，|a|，„，|a|. 123n 解:本题主要考查等差数列、等比数列的概念～等差数列通项公式～求和公式等基础知识～同时考查运算求解能力( 2(1)由题意得5a?a,(2a，2)～ 312 2即d,3d,4,0. 故d,,1或d,4. **所以a,,n，x～n?N或a,4n，6～n?N. nn (2)设数列{a}的前n项和为S.因为d<0～由(1)得d,,1～a,,n，x.则 nnn 1212当n?x时～|a|，|a|，|a|，„，|a|,S,,n，n. 123nn22 1212当n?x时～|a|，|a|，|a|，„，|a|,,S，2S,n,n，x0. 123nnx22 综上所述～ 1212,n，n～n?11～,22|a|，|a|，|a|，„，|a|, 123n,1212 n,n，110～n?12.,22 3*8((x天津，14分)已知首项为的等比数列{a}的前n项和为S(n?N), 且,2S，nn22 S4S成等差数列( 3,4 (1)求数列{a}的通项公式; n 113* (2)证明S，?(n?N)( nS6n 解:本题主要考查等差数列的概念～等比数列的概念、通项公式、前n项和公式～数列的基本性质等基础知识(考查分类讨论的思想～考查运算能力、分析问题和解决问题的能力( (1)设等比数列{a}的公比为q～因为,2S～S4S成等差数列～所以S，2S,4S,S～n23,43243 a134即S,S,S,S～可得2a,,a～于是q,,,.又a,～所以等比数列{a}的通项4324431na223 313n,1n,1,,公式为a,×,,(,1)?. nn,,222 1111nn,,,,(2)证明:S,1,,～S，,1,,，,nn,,,,2S21nn,,1,,,,2 12，～n为奇数～nn,2，2，1， ,12， ～n为偶数.nn,2，2,1， 11113当n为奇数时～S，随n的增大而减小～所以S，?S，,, nn1SSS6nn1 11125当n为偶数时～S，随n的增大而减小～所以S，?S，,. nn2SSS12nn2 113*故对于n?N～有S，?. nS6n 9. (x陕西，x分)设S表示数列{a}的前n项和( nn (1)若{a}为等差数列，推导S的计算公式; nn n1,q(2)若a,1，q?0，且对所有正整数n，有S,}是否为等比数列，并证.判断{a1nn1,q 明你的结论( 解:本题主要考查等差数列前n项和公式推导所用的倒序相加法～考查等比数列的证 明方法和一般数列切入点的技巧～深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法( (1)法一:设{a}的公差为d～则 n S,a，a，„，a,a，(a，d)，„，[a，(n,1)d]～ n12n111 又S,a，(a,d)，„，[a,(n,1)d]～ nnnn ?2S,n(a，a)～ n1n ，a，n，a1n?S,. n2 法二:设{a}的公差为d～则 n S,a，a，„，a,a，(a，d)，„，[a，(n,1)d]～ n12n111 又S,a，a，„，a ,nnn11 ,[a，(n,1)d]，[a，(n,2)d]，„，a～ 111 ?2S,[2a，(n,1)d]，[2a，(n,1)d]，„，[2a，(n,1)d],2na，n(n,1)d～ n1111 n，n,1，?S,na，d. n12 (2){a}是等比数列(证明如下: n n1,q?S,～ n1,q n，1nn，1,q，1,q1,qqn?a,S,S,,q. ,,，，n1n1n1,q1,q1,q na，qn1?a,1～q?0～?当n?1时～有,,q～ 1n,1aqn 因此～{a}是首项为1且公比为q的等比数列( n 10((x重庆，13分)设数列{a} 满足:a,1，a,3a，n?N. ，，n1n1n(1)求{a}的通项公式及前n项和S; nn (2)已知{b}是等差数列，T为其前n项和，且b,a，b,a，a，a，求T. nn12312320 解:本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和等基础知识～考查逻辑 思维能力( (1)由题设知{a}是首项为1～公比为3的等比数列～ n n1,31n,1n所以a,3～S,,1)( ,(3nn1,32 (2)b,a,3～b,a，a，a,1，3，9,13～b,b,10,2d～所以数列{b}的公差d12312331n ,5～ 20×19故T,20×3，×5,1 010. 202 *x((x湖南，13分)设S为数列{a}的前n项和，已知a?0,2a,a,S?S，n?N. nn1n11n (1)求a，a，并求数列{a}的通项公式; 12n (2)求数列{na}的前n项和( n 解:本题主要考查数列的通项公式和数列求和～结合转化思想～意在考查考生的运算 求解能力( 22(1)令n,1～得2a,a,a～即a,a. 11111 因为a?0～所以a,1. 11 令n,2～得2a,1,S,1，a～解得a,2. 2222 当n?2时～由2a,1,S2a,1,S两式相减得2a,2a,a～ ,,,nn,n1n1nn1n即a,2a. ,nn1 n,1于是数列{a}是首项为1～公比为2的等比数列(因此～a,2. nn n,1所以数列{a}的通项公式为a,2. nn n,1(2)由(1)知～na,n?2. n n,1记数列{n?2}的前n项和为B～于是 n 2n,1B,1，2×2，3×2，„，n×2～? n 23n2B,1×2，2×2，3×2，„，n×2.? n ?,?得 2n,1n,B,1，2，2，„，2,n?2 n nn,2,1,n?2. n从而B,1，(n,1)?2. n 2x((xx，14分)设各项均为正数的数列{a}的前n项和为S，满足4S,a,4n,1，，nnnn1 *n?N，且a，a，a构成等比数列( 2514 (1)证明:a, 4a，5; 21 (2)求数列{a}的通项公式; n 1111(3)证明:对一切正整数n，有，，„，,. aaa2aaa，1223nn1解:本题主要考查通过“a与S法”将递推数列转化为等差数列及裂项求和法～意在nn 考查考生运用化归与转化思想解决问题的能力( 22(1)证明:?a,0～令n,1～有4S,a,4,1～即4a,a,4,1～?a,4a，5. n121221 2222(2)当n?2时～4S,a,4n,1,4S,a,4(n,1),1～两式相减得4a,a,a,，,，nn1n1nnn1n 224～有a,(a，2)～即a,a，2～ ，，n1nn1n ?{a}从第2项起～是公差为2的等差数列～ n ?a,a，3×2,a，6～a,a，x×2,a，24～ 5221422 2又a～a～a构成等比数列～有a,a?a～ 25145214 2则(a，6),a(a，24)～解得a,3～ 2222 由(1)得a,1～又a,a，2(n?2)( ，1n1n ?{a}是首项为1～公差为2的等差数列～ n 即a,1，(n,1)×2,2n,1. n 111(3)证明:由(2)得，，„， aaaaaa，1223nn1 111,，，„， 1×33×5，2n,1，，2n，1， 111111，,,，,,,,,,1,，,，„， ，,,,,,,，2n,12n，12335 111,,1,,,. ,,2n，122 13((xx，x分)已知等差数列{a}的前5项和为105，且a,2a. n105(1)求数列{a}的通项公式; n *2m(2)对任意m?N，将数列{a}中不大于7的项的个数记为b，求数列{b}的前m项nmm 和S. m 解:(1)设数列{a}的公差为d～前n项和为T. nn 由T,105～a,2a～ 5105 5×，5,1，,,5a，d,105～12得到 , ,,a，9d,2，a，4d，～11 解得a,7～d,7. 1 *因此a,a，(n,1)d,7，7(n,1),7n(n?N)( n1 *2m2m,1(2)对m?N～若a,7n?7～则n?7. n 2m,1因此b,7～ m 所以数列{b}是首项为7公比为49的等比数列( m mm2m2m，1，1,q，7×，1,49，7×，7,1，7,7b1故S,,,,. m1,q1,494848 2*14((xx，14分)已知数列{a}的前n项和为S，且S,2n，n，n?N，数列{b}满nnnn *足a,4logb，3，n?N. n2n (1)求a，b; nn (2)求数列{a?b}的前n项和T. nnn 2解:(1)由S,2n，n～得当n,1时～a,S,3, n11 当n?2时～a,S,S,4n,1～易知当n,1时也满足通式a,4n,1～ ,nnn1n *所以a,4n,1～n?N. n n,*1由4n,1,a,4logb，3～得b,2～n?N. n2nn n,1*(2)由(1)知a?b,(4n,1)?2～n?N～ nn 2n,1,2n,1所以T,3，7×2，x×2，„，(4n,1)?22T,3×2，7×2，„，(4n,5)?2，(4nnn n,1)?2～ n2n,1n所以2T,T,(4n,1)2,[3，4(2，2，…，2)],(4n,5)2，5. nn n*故T,(4n,5)2，5～n?N. n n15((x新课标全国，5分)数列{a}满足a，(,1)a,2n,1，则{a}的前60项和，nn1nn为( ) A(3 690 B(3 660 C(1 845 D(1 830 解析:不妨令a,1～根据题意～得a,2～a,a,a,„,1～a,6～a,10～„～1235746所以当n为奇数时～a,1～当n为偶数时构成以a,2为首项～以4为公差的等差数n2列(所以前60项和为 30×，30,1，S,30，2×30，×4,1 830. 602 答案:D 16((xx，5分)设1,a?a?„?a，其中a，a，a，a成公比为q的等比数列，a，12713572 a，a成公差为1的等差数列，则q的最小值是________( 46 23解析:设a,t～则1?t?q?t，1?q?t，2?q～由于t?1～所以q?max{t～t，1～2 33t，2}～故q的最小值是3. 3答案:3 nba,n117((xx，14分)设b,0，数列{a}满足a,b，a,(n?2)( n1na，n,1,n1(1)求数列{a}的通项公式; n n，1(2)证明:对于一切正整数n,2a?b，1. n nban,1,n11n11n1(1)由a,,，?，令c,，有c,，c，当b联想到取倒数得,nnnn1bbaabba，n,1a,,n1nn1n 11,1时，{c}为等差数列，当b?1时，设c，k,(c，k)，展开对比得k,，构造等,nnn1b1,b 1比数列{c，}，求得c后再求a;(2)当b,1时，易验证，当b?1时，先用分析法将nnn1,b n2n，1,b，bn，1n，1nnn,1n,2n,12a?b，1转化为?b，1，利用公式a,b,(a,b)(a，ab，„，b)，nn1,b nn，12n,1再转化为2nb?(b，1)(1，b，b，„，b)，然后将右边乘开，再利用基本不等式即可 得证( nba,n1解:(1)?a,b,0～a,～ 1na，n,1,n1 n,1n11?,，?～ abba,nn1 n11令c,～则c,，c～ ,nnn1abbn 11?当b,1时～c,1，c～且c,,,1 ,nn11ab1 ?{c}是首项为1～公差为1的等差数列～ n n?c,1，(n,1)×1,n～于是c,,n～这时a,1, nnnan 1111111?当b?1时～c，,(c，)～且c，,，,～ ,nn11,bbb,bb,b，1,b，11,11b 111{c，}是首项为～公比为的等比数列～ n1,bb，1,b，b nn，1,b，b111n11n,1?c，,?()～由，,得a,～ nnnn1,bb，1,b，ba1,b，1,b，b1,bn 1～ b,1,,n?a,. ,n，1,b，bn～b?1n ,1,b, n，1(2)证明:由(1)得～当b,1时～a,1,2a?b，1?2?2成立～ nn nnn，1,b，b2n，1,b，bn，1n，1当b?1时～a,～2a?b，1??b，1～ nnnn1,b1,b n2n,1而1,b,(1,b)(1，b，b，„，b)～ 又b,0～ nn，12n,1故只需证:2nb?(b，1)(1，b，b，„，b)～(※) n，12n,2n,12n2n,1n，1n,1n,2而(b，1)(1，b，b，„，b，b),(b，b，„，b)，(b，b，„b，1) 2n2n,1n，1n,1nnnn,(b，1)，(b，b)，„，(b，b)?2b，2b，„，2b,2nb～?(※)式成立～原不 等式成立( *18((x天津，14分)在数列{a}中，a,0，且对任意k?N，a，a，a成等差,，n12k12k2k1 数列，其公差为2k. (1)证明:a，a，a成等比数列; 456 (2)求数列{a}的通项公式; n 22223n3(3)记T,，，„，，证明:,2n,T?2(n?2)( nnaaa223n 解:(1)证明:由题设可知～a,a，2,2～a,a，2,4～a,a，4,8～a,a，4,21324354 x～a,a，6,18. 65 aa365从而,,.所以a～a～a成等比数列( 456aa254 *(2)由题设～可得a,a,4k～k?N. ，,2k12k1 所以a,a,(a,a)，(a,a)，„，(a,a),4k，4(k,1)，„，4×1，，,,,2k112k12k12k12k331 *,2k(k，1)～k?N. 2由a,0～得a,2k(k，1)～从而a,a,2k,2k. ，，12k12k2k1 2n,1～n为奇数～,2所以数列{a}的通项公式为a, nn,2n ～n为偶数,2 n2,1，,1，n*或写为a,～n?N. ，n24 2(3)证明:由(2)可知a,2k(k，1)～a,2k. ，2k12k以下分两种情况进行讨论: *?当n为偶数时～设n,2m(m?N)( 2nk若m,1～则2n, ,2. ,akk,2 若m?2～则 222,1mnm，2k，1，k，2k， , ， , ,,,aaa，k2k2k1k,2k,1k,1 222,,,m1m1m1m4k，4k，14k，4k4k1111 ， ,2m，[，],2m，[2，(,)],2m，,,,,22k2k，k，1，2k，k，1，2k，k，1，2kk，1k,1k,1k,1k,1 1311(1,),2n,,. 2(m,1)，2m2n 2nk313所以2n, ,，～从而,2n,T,2～n,4,6,8～„～ ,na2n2kk,2 *?当n为奇数时～设n,2m，1(m?N) 2222n2m，2m，1，，2m，1，kk311131 , ，,4m,,，,4m，,,2n,,～ ,,aaa22m2m，m，1，22，m，1，2n，1，kk2m1k,2k,2 2nk313所以2n, ,，～从而,2n,T,2～n,3,5,7～„. ,na2n，12kk,2 3*综合?和?可知～对任意n?2～n?N～有,2n,T?2. n2 19((xx，13分)已知{a}为等差数列，且a,,6，a,0. n36(1)求{a}的通项公式; n (2)若等比数列{b}满足b,,8，b,a，a，a，求{b}的前n项和公式( n12123n解:(1)设等差数列{a}的公差为d. n 因为a,,6～a,0～ 36 ,a，2d,,6～1,,所以 a，5,d,0.,1 解得a,,10～d,2. 1 所以a,,10，(n,1)?2,2n,x. n (2)设等比数列{b}的公比为q. n 因为b,a，a，a,,24～b,,8～ 21231 所以,8q,,24～即q,3. n，b，1,q1n所以{b}的前n项和公式为S,,4(1,3)( nn1,q x~x年高考真题备选题库 第5章 数列 第5节 数列的综合应用 1((x新课标全国?，5分)等差数列{a}的公差为2，若 a，a，a 成等比数列，则{a}n248n 的前n项和S ,( ) n A(n(n，1) B. n(n,1) n，n，1，n，n,1，C. D. 22 22解析:因为a～a～a成等比数列～所以a,a?a～所以(a，6),(a，2)?(a，14)～248428111 n，n,1，解得a,2.所以S,na，d,n(n，1)(故选A. 1n12 答案:A 2((x天津，5分)设{a} 是首项为a ，公差为,1 的等差数列，S为其前n项和(若 n1n S，S，S成等比数列，则a,( ) 1241 A(2 B(,2 11C. D(, 22 2解析:由S,a～S,2a,1～S,4a,6成等比数列可得(2a,1),a(4a,6)～解112141111 1得a,,. 12 答案:D 3. (xx，x分) 在等差数列{a}中，已知公差d,2, a是a 与a 的等比中项( n214(1)求数列 {a}的通项公式; n n，n，1，n(2)设 b,a，记 T,,b，b,b，b,„，(,1)b，求T . nn1234nn2 2解:(1)由题意知(a，d),a(a，3d)～ 111 2即(a，2),a(a，6)～ 111 解得a,2. 1 所以数列{a}的通项公式为a,2n. nn n，n，1，(2)由题意知b,a,n(n，1)( n2 n所以T,,1×2，2×3,3×4，„，(,1)n×(n，1)( n 因为b,b,2(n，1)～ ，n1n 可得当n为偶数时～ T,(,b，b)，(,b，b)，„，(,b，b) ,n1234n1n,4，8，x，„，2n n，4，2n，2, 2 n，n，2，,～ 2 当n为奇数时～ T,T，(,b) ,nn1n ，n,1，，n，1，,,n(n，1) 2 2，n，1，,,. 2 2，n，1，,～n为奇数～,2所以T, n,n，n，2， ～n为偶数.,2 4((x重庆，13分) 已知{a}是首项为1，公差为2的等差数列，S表示{a}的前n项和( nnn(1)求a及S; nn 2(2)设{b}是首项为2的等比数列，公比q满足q,(a，1)q，S,0，求{b}的通项公n44n 式及其前n项和T. n 解:(1)因为{a}是首项a,1～公差d,2的等差数列～所以a,a，(n,1)d,2n,1. n1n1 n，a，a，n，1，2n,1，1n2故S,1，3，„，(2n,1),,,n. n22 22(2)由(1)得a,7～S,16.因为q,(a，1)q，S,0～即q,8q，16,0～ 4444 2所以(q,4),0～从而q,4. 又因b,2～{b}是公比q,4的等比数列～所以 1n n,1n,12n,1b,bq,2?4,2. n1 n，b，1,q21n,(4,1)( 从而{b}的前n项和T,nn1,q3 5((x湖北，x分) 已知等差数列{a}满足:a,2，且 a，a ，a 成等比数列( n1125(1)求数列{a}的通项公式; n (2)记 S为数列{a}的前 n项和，是否存在正整数n，使得 S>60n，800,若存在，求n nnn的最小值;若不存在，说明理由. 2解:(1)设数列{a}的公差为d～依题意～2,2，d,2，4d成等比数列～故有(2，d),2(2n 2，4d)～化简得d,4d,0～解得d,0或d,4. 当d,0时～a,2, n 当d,4时～a,2，(n,1)?4,4n,2～ n 从而得数列{a}的通项公式为a,2或a,4n,2. nnn (2)当a,2时～S,2n.显然2n<60n，800～此时不存在正整数n～使得S>60n，800成nnn 立( n[2，，4n,2，]2当a,4n,2时～S,,2n. nn2 22令2n>60n，800～即n,30n,400>0～解得n>40或n<,10(舍去)～此时存在正整数n～ 使得S>60n，800成立～n的最小值为41. n 综上～当a,2时～不存在满足题意的n,当a,4n,2时～存在满足题意的n～其最nn小值为41. 6((x天津，14分) 已知 q和 n均为给定的大于1的自然数，设集合M,{0,1,2，„，q,1}，集合A,{x|x n,1,x，xq，„，xq，x?M，i,1,2，„，n}( 12ni (1)当q,2，n,3时，用列举法表示集合A; 11n,n,(2)设s，t?，，其中a，b?M，i,A，s,a，aq，„，aqt,b，bq，„，bqii12n12n 1,2，„，n.证明:若ay B. sin x>sin y 1122C(ln(x，1)>ln(y，1) D. > 22x，1y，1 22解析:根据指数函数的性质得x,y～此时～x～y的大小不确定～故选项C～D中的 不等式不恒成立,根据三角函数的性质知选项B中的不等式不恒成立,根据不等式的性质 知选项A中的不等式恒成立( 答案:A 2((xx，5分)若a>b>0，c,d,0，则一定有( ) ababA.> B.< dcdc ababC.> D.< cdcd 1111aba解析:?c ,d ,0～? , ,0～?,,,,0～而a,b,0～?,,,,0～?dcdcdcdb,～故选B. c 答案:B 3((xx，5分)若α?R，则“α,0”是“sin α,a～bSSa，ba，b2b2ab，ab 即a1～故不能保sinxsinx 证xsinx<1. 答案:B 10((x陕西，5分)“a,0”是“|a|,0”的( ) A(充分不必要条件 B(必要不充分条件 C(充要条件 D(既不充分也不必要条件 解析:因为|a|,0?a,0或a,0～所以a,0?|a|,0～但|a|,0?/a,0～所以a,0是|a| ,0的充分不必要条件( 答案:A xy，x((xx，5分)已知x，y?R，且满足，,1，则xy的最大值为________( 34 xyxyxyxyxy3解析:因为1,，?2?,2,～所以xy?3～当且仅当,～即x,～3434123342 y,2时取等号～故xy的最大值为3. 答案:3 23xx2((xx，5分)设x，y为实数，满足3?xyx?8,4??9，则的最大值是________( 4yy 解析:由题设知～实数x～y均为正实数～则条件可化为lg3?lgx，2lgy?lg8～ 3,lg3?a，2b?3lg2,x,～又设t,lg4?2lgx,lgy?lg9～令lgx,a～lgy,b～则有～则lgt,4 y2lg2?2a,b?2lg3,, 3lgx,4lgy,3a,4b～令3a,4b,m(a，2b)，n(2a,b)～解得m,,1～n,2～即lgt,,(a 3x2(2a,b)?,lg3，4lg3,lg27～?，2b)，的最大值是27. 4y 24xx另解:将4??81～? ?9两边分别平方得～16?2yy 1112又由3?xy?8可得～??～? 28xy3 33xx由?×?得～2??27～即的最大值是27. 44yy 答案:27 13((x安徽，x分)若a,0，b,0，a，b,2，则下列不等式对一切满足条件的a，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)( 112233?ab?1;?a，b?2;?a，b?2;?a，b?3;?，?2. ab 2，a，b，解析:两个正数～和为定值～积有最大值～即ab?,1～当且仅当a,b时取等4 2号～故?正确,(a，b),a，b，2ab,2，2ab?4～当且仅当a,b时取等号～得a 222a，b，a，b，2233，b?2～故?错误,由于，b?2成立～故?正确, a，b,(a?,1～故a24 2222，b)(a，b,ab),2(a，b,ab)～?ab?1～ 2222?,ab?,1～又a，b?2～?a，b,ab?1～ a，b1111ab33?a，b?2～故?错误,，,(，),1，，?1，1,2～当且仅当a,b时abab22b2a取等号～故?正确( 答案:??? x~x年高考真题备选题库 第6章 不等式、推理与证明 第2节 一元二次不等式及其解法 21((xx，5分)已知函数f(x),x，mx,1，若对于任意x?[m，m，1]，都有f(x)<0成立， 则实数m的取值范围是________( 2,f，m，,2m,1<0～,,解析:由题可得f(x)<0对于x?[m～m，1]恒成立～即解得,2 f，m，1，,2m，3m<0～,,20)的解集为(x，x)，且x,x,122115，则a,( ) 57A. B. 22 1515C. D. 42 2解析:本题主要考查二次不等式与二次方程的关系(由条件知x～x为方程x,2ax,12222228a,0的两根～则x，x,2a～xx,,8a～故(x,x),(x，x),4xx,(2a),4×(,1212211212 52228a),36a,15～得a,～故选A. 2 答案:A 23((xx，5分)不等式x，x,2<0的解集为________( 解析:本题考查一元二次不等式的解集～考查考生的运算能力及数形 2结合思想的领悟能力(令f(x),x，x,2,(x，2)?(x,1)～画出函数图象可 2知～当,20时，f(x),x,4x，则不等式 f(x)>x的解集用区间表示为________( 解析:本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法～意在考查学生的化归能力及 运算能力( 由于f(x)为R上的奇函数～所以当x,0时～f(0),0,当x<0时～,x>0～所以f(,x), 2x,4x～x>0～,,220～x,0～x，4x,,f(x)～即f(x),,x,4x～所以f(x), , 2 ,,x,4x～x<0., 22,,x,4x>x～,x,4x>x～,,,由f(x)>x～可得或 ,x>0x<0～,, 解得x>5或,5f(2x)的x的取值 1，x<0,, 范围是________( 22,,1,x>01,x>2x,,,解析:由题意有或～ ,2x<02x?0,, 解得,10～,,且即a>0～b>0～ ab>0～,, 43所以，,1(a>0～b>0)～ ab 434b3a4b3a4b3a,,a，b,(a，b)?，,7，，?7，2?,7，43～当且仅当,时取等号～,,abababa4选D. 2223((xx，5分)已知实数 a，b，c满足 a，b，c,0，a，b，c,1，则a的最大值是________( 解析:由a，b，c,0得～a,,b,c～ 2222222222则a,(,b,c),b，c，2bc?b，c，b，c,2(b，c)～ 662222，c,1～所以3a?2～解得,?a?～ 又a，b33 6故a的最大值为. 3 6答案: 3 ((x湖北，5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时4 间内经过测量点的车辆数，单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位: 76 000v米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关，其公式为F, . 2v，18v，20l (1)如果不限定车型，l,6.05，则最大车流量为________辆/小时; (2)如果限定车型，l,5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时( 76 00076 000解析:(1)F,?,1 900～当且仅当v,x时等号成立( 20×6.052121，18v，，18v 76 00076 000(2)F,?,2 000～当且仅当v,10时等号成立～2 000,1 90020×52100，18v，，18v ,100. 答案:1 900 100 2x,y,2?0，,,x，2y,1?0，5((xx，5分)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的, ,3x，y,8?0,区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( ) A(2 B(1 11C(, D(, 32 解析:本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域～考查两点间斜率的几何意义等基础知识～考查数形结合思想～考查运算求解能力(已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示～显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小～由直线方程x，2y,1,0和3x，y,8,0～ 1解得A(3～,1)～故OM斜率的最小值为,. 3 答案:C 2x，3y,6?0，,,x，y,2?0，6((xx，4分)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的, ,y?0,区域上一动点，则|OM|的最小值是________( 解析:本题主要考查线性规划下的最值求法～考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力(作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示～因此|OM|的最小值为点O到直线x，y,2,0的距离～所以 2||,|OM|,,2. min2 答案:2 x?0，,,2x,y?0，7((xx，5分)设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与, ,x，y,3?0, 点(1,0)之间的距离的最小值为________( 解析:本题主要考查线性规划的简单应用～意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想(作出可行域～如图中阴影部分所示～则根据图形可知～点B(1,0)到直线2x,y,0的距离最小～d,|2×1,0|2525,～故最小距离为. 2552，1 25答案: 5 x,y，1?0，,,x，y,1?0，8((x新课标全国?，5分)设x，y满足约束条件则z,2x,3y的最, ,x?3，,小值是( ) A(,7 B(,6 C(,5 D(,3 解析:本题主要考查线性规划的相关知识～意在考查考生的基本运算能力与数形结合思想的应用(由约束条件作出可行域如图中阴影区 2z2域(将z,2x,3y化为y,x,～作出直线y,x并平移使之经过可行333 域～易知直线经过点C(3,4)时～z取得最小值～故z,2×3,3×4,,6. min 答案:B x，y?2，,,x?1，9((x福建，5分)若变量x，y满足约束条件则z,2x，y的最大值和最, ,y?0，, 小值分别为( ) 4和3 B(4和2 A( C(3和2 D(2和0 解析:本题主要考查线性规划问题中求目标函数的最值～意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力(画出可行域(如图中阴影部分)～由图像可得～当y,,2x，z经过点B(2,0)时～z,4,当y,,2x，z经max 过点A(1,0)时～z,2～故选B. min 答案:B 10((x陕西，5分)若点(x，y)位于曲线y , |x|与y , 2所围成的封闭区域， 则2x,y 的最小值是( ) A(,6 B(,2 C(0 D(2 解析:本题主要考查分段函数的图像和性质以及求解线性规划最优解的思维方法( ,x，x?0，,,作出函数y,|x|,和y,2围成的等腰直角三角形的 ,,x，x,0，, 可行域(如图阴影部分所示)～则可得过交点A(,2～2)时～2x,y取得最小值,6. 答案:A x((x湖北，5分)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两 种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆(则租金最少为( ) A(31 200元 B(36 000元 C(36 800元 D(38 400元 解析:本题主要考查用二元一次不等式组解决实际问题的能力～考查线性规划问题～考查考生的作图、运算求解能力(设租A型车x辆～B型车y辆～租金为z～则 36x，60y?900～,,y,x?7～画出可行域(图中阴影区域中的整数点)～,y，x?21～ ,,x～y?N～ 则目标函数z,1 600x，2 400y在点N(5,x)处取得最小值36 800. 答案:C x，y?8，,,2y,x?4， x.(xx，5分)若变量x，y满足约束条件且z,5y,x的最大值为a，,x?0， ,,0，y? 最小值为b，则a,b的值是( ) A(48 B(30 C(24 D(16 解析:本题主要考查线性规划的应用～意在考查考生对基础知识的掌握(约束条件x，y?8～,,2y,x?4～表示以(0,0)～(0,2)～(4,4)～(8,0)为顶点的四边形区域～检验四个顶点的坐,x?0～ ,,y?0 标可知～当x,4～y,4时～a,z,5×4,4,16,当x,8～y,0时～b,z,5×0,8maxmin,,8～?a,b,24. 答案:C ,1?x?3，,,13((x新课标全国?，5分)设x，y满足约束条件则z,2x,y的最 ,,1?x,y?0，, 大值为________( 解析:本题主要考查简单的线性规划问题(作出可行域如图中阴影部分所示～将目标函数z,2x,y整理为y,2x,z～将y,2x向下平移至过点(3,3)时～z取得最大值～为z,2×3,3,3. max 答案:3 x，2y?2，,,2x，y?4，14((xx，5分)设变量x，y满足约束条件则目标函数z,3x,y的取, ,4x,y?,1，,值范围是( ) 33A([,，6] B([,，,1] 22 3C([,1,6] D([,6，] 2 解析:不等式组表示的平面区域如图所示～目标函数的几何意义是 直线在y轴上截距的相反数～其最大值在点A(2,0)处取得～最小值在点 13B(～3)处取得～即最大值为6～最小值为,. 22 答案:A 15((x福建，5分)若直线y,2x上存在点(x，y)满足约束条件 x，y,3?0，,,y,3?0，x,2则实数m的最大值为( ) , ,x?m，, A(,1 B(1 3C. D(2 2 解析:可行域如图阴影所示～由 ,y,2x～,,得交点A(1,2)～当直线x,m经过点A(1,2)时～m ,x，y,3,0, 取到最大值为1. 答案:B x,y?10，,,0?x，y?20，16((x辽宁，5分)设变量x，y满足则2x，3y的最大值为( ) , ,0?y?15，, A(20 B(35 C(45 D(55 解析:作出不等式组对应的平面区域(如图所示)～平移直线y 2,,x～易知直线经过可行域上的点A(5,15)时～2x，3y取得最大3 值55. 答案:D 2x，y,2?0，,,x,2y，4?0，17((x天津，5分)设变量x，y满足约束条件则目标函数z,3x,, ,x,1?0，, 2y的最小值为( ) A(,5 B(,4 C(,2 D(3 解析:不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分～作辅助线l:3x,2y,0～结合0图形可知～当直线3x,2y,z平移到过点(0,2)时～z,3x,2y的值最小～最小值为,4. 答案:B 18((x湖北，5分)若变量x，y满足约束条件 x,y?,1，,,x，y?1，则目标函数z,2x，3y的最小值是________( , ,3x,y?3，, 解析:作出不等式组表示的平面区域(如图)～再平移目标函数得最小值(当目标函数经过点(1,0)时～z取得最小值2. 答案:2 0?x?2, y?219((xx，5分)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给, ,x?2y ,,,,,,,,, OMOA(2，1)，则z,定(若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为?的最大值为( ) A(3 B(4 C(32 D(42 ,,,,,,,,, OMOA解析:画出区域D如图所示～而z,?,2x，y～?y,,2x，z～令l:y,,2x～平移直线l～相应直线过点(2～2)时～截距00 z有最大值～故z,2×2，2,4. max 答案:B y?x，,,y?mx，20((x湖南，5分)设m,1，在约束条件下，目标函数z,x，5y的最大, ,x，y?1, 值为4，则m的值为________( 解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影所示～把目标函数化为y 1z1z,,x，～显然只有y,,x，在y轴上的截距最大时z值最大～根据图5555 ,y,mx～,1m,形～目标函数在点A处取得最大值～由得A(～)～代入目标函数～即 1，m1，mx，y,1,, 15m，,4～解得m,3. 1，m1，m 答案:3 21((x陕西，5分)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x,y的最小值为________( 解析:设目标函数为z,2x,y～借助平移～显然点(1,1)满足题意～则2x,y的最小值为1. 答案:1 22((xx，5分)若点P(m,3)到直线4x,3y，1,0的距离为4，且点P在不等式2x，y ,3表示的平面区域内，则m,________. |4m,9，1|,,,45解析:由题意可得～解得m,,3. , ,,2m，3,3 答案:,3 2x，y,6?0，,,x，2y,6?0，23((x安徽，5分)设x，y满足约束条件则目标函数z,x，y的最, ,y?0，, 大值是( ) A(3 B(4 C(6 D(8 解析:不等式组表示的平面区域如图所示的阴影部分(当直线z,x，y过直线x，2y,6,0与x轴的交点(6,0)时～目标函数z,x，y取得最大值6. 答案:C