空间直线方程
【一般式】
,Ax,By,Cz,D,01111, AxByCzD,,,,02222,
M(x,y,z) 【对称式】经过已知点,且平行于已知向量 0000
S =(m,n,p), 动点为M(x,y,z)的直线方程
x,xy,yz,z000,, mnp
【参数式】 s=(m,n,p) 为直线L的方向向量
x,x,mt,0
,y,y,nt,,,,t,,,0,
,z,z,pt0,
两直线之间关系.
?两直线的夹角
mm,nn,pp121212cos,, ,θ取锐角 222222m,n,pm,n,p111222
?两直线平行的充要条件:
mnp111L//L,, 12:mnp222
?两直线垂直的充要条件:
L,Lmm,nn,pp,0 12121212:
直线L与平面π的关系:
【直线与平面的夹角】
设已知平面方程为Ax+By+Cz+D=0 直线为L ;其方向向量为 s=(m,n.p) 直线在平面上投影直线与直线的夹角为φ
直线与平面的夹角:
Am,Bn,Cp,
sin,,cos(,,), 2222222A,B,Cm,n,p
x,2y,7,0,
,【例1】求直线与平面x+y+2z-3=0的夹角 y,z,5,0,
ijk
1,2,1,1,2,11s,120,(2,,1,1),sin,,解: ,n=(1,1,2), 21,1,44,1,1011
,,,? 6
?直线与平面垂直的充要条件:
mnp
L,,,, :ABC
?直线与平面平行的充要条件:
L//Am,,Bn,Cp,0 ( s?n=0 ) :
?例题?
1.求满足下列条件的对称式方程:
P(2,,3,1),方向向量为s=(3,-1,4) (1).通过点
x,2y,3z,1,, 解: 3,14
P(3,2,5)和P(5,,1,7) ? (2).通过两点 12
x,5y,1z,7x,3y,2z,5,,,, 解: 或 2,322,32
x,3y,2z,5,0 (3).通过点且垂直平面 ,,P,2,,1,4
x,2y,1z,4,, 解: ?s=(m,n,p)=(1,3,-2), ? 13,2
2x,3y,5z,5,0, (4).通过点且平行于直线 ,,P,2,,2,3,3x,2y,4z,6,0,
ijk
,,,,m,n,p,2,35,2,23,13 解: ?
32,4
x,2y,2z,3,, ? 22313
2.改变下列直线方程形式:
x,1y,2z,3,, (1).将 变为参数式和一般式方程. 235
x,1y,2z,3,,,t 解: 令 235
x,1,2t,
,y,,2,3t, 则参数字式为:
,z,3,5t,
x,1y,2,,3x,2y,7,0,,23,,, 一般式即写出三元一次方程组: x,1z,35x,2z,1,0,,,
25,
x,1y,2,,3x,2y,7,0,,23,,, 或: y,2z,35y,3z,19,0,,,
35,
x,1,2t,
,y,,2,3t, (2).将变为对称式和一般式.
,z,3,t,
x,1y,2z,3,, 解: 对称式为 231
x,1y,2,,3x,2y,7,0,,23,,, 一般式为 y,2y,3z,11,0,,,z,3
3,
3x,2y,z,2,0,
,? (3).将 变为参数式和对称式. x,2y,z,2,0,
ijk
,,,,m,n,p,3,21,,4,,2,8 解: ?
121
3x,2y,0,,3
,?x,,1,y,, 令z=2 则 x,2y,,42,
3
y,x,1z,22,, 对称式为 ,2,14
注: 对x,y,z可令任一亇未知量为一个值,雖然其结果形式
不一样,但结果是等价
例如: 令 x=0, 解方程组后得: y=-1 ,z=0 其对称式为
xy,1z
,, ,2,14
,x,,1,2t
,3
y,,,t, 参数字式为: 2,
z,2,4t,
2.求满足下列条件的平面方程:
4x,y,z,1,0,P(2,1,3) (1).通过点,且与直线L: 垂直. ,x,2y,z,2,0,
ijk,
,,,41,1,3,,5,7 解(一): ?平面方程为 n
121
3(x-2)-5(y-1)+7(z-3)=0 即 3x-5y+7z-22=0
解(二):设平面的法向量为 n={A,B,C} ,则
n?{4,1,-1}={A,B,C}?{4,1,-1}=4A+B-C=0
n?{1,2,1}={A,B,C}?{1,2,1}=A+2B+C=0
? 5A+3B=0 ,A=-3B/5 ,C=-7B/5
即n={-3B/5,B,-7B/5}
得平面方程:
-3B(x-2)/5+B(y-1)-7B(z-3)/5=0, 3x-5y+7z-22=0
P(2,1,3)(2).通过点,且与两条直线
xyz,2,,1,0,2x,y,z,0,L:,L:, 和都平行. ,1,2xyz,,,1,0xyz,,,1,0,,
ijk
,,,,L:l,m,n,1,21,,1,0,11111 解:
1,11
ijk
,,,,L:l,m,n,2,11,0,,1,,12222
1,11
ijk
,,,,n,A,B,C,,101,1,,1,1
0,1,1
?平面方程为 x-2-(y-1)+z-3=0 即 x-y+z-4=0
x,4y,3z,,P(2,1,3) (3).通过点,及直线 L: 521
解: 在直线上任取一点 如: Q(4,-3,0)
则 PQ={2,-4,-3}
ijk,
nPQ,,,,,,5,2,1,2,4,3,2,,17,24
521
?平面方程为 2(x-2)-17(y-1)+24(z-3)=0
即 2x-17y+24z-59=0
, 3.求直线与直线的夹角 LL21
xyz2,2,,23,0xyz5,3,3,9,0,,
L:L:,,21 (1). xyz3,8,,18,0xyz3,2,,1,0,,
ijk
,,,,m,n,p,5,33,3,4,,1111 解: ,
3,21
ijk
,,,,m,n,p,22,1,10,,5,10222
381
3,10,4,(,5),(,1),10,cos,,,0,, , 9,16,1100,25,1002
x5,y3,z3,9,0,x,y,z,322L:L,,:,2 (2). 1xyz3,2,,1,0431,
3,4,4,3,(,1),12323,cos,,,,arccos 解: , 269,16,116,9,126
x,y,z,232x,y,z,322L,,:L,,: (3). 21523431
4,5,3,2,1,32929
cos,,,,,0.92 解: 31.4316,9,125,4,92638
,,arccos0.92
x,y,3z,0,
, 4.求直线与平面x-y—z+1=0的夹角φ x,y,z,0,
ijk
,,,,m,n,p,113,2,4,,2 (1). 解:
1,1,1
2,1,4,(,1),(,2),(,1)sin,,,0,,,0 4,16,41,1,1
x,3y,2z,1,, (2). 求直线与平面x-2y-3z+1=0的夹角φ 231
,,,,,,,213(2)1(3),71,,,,sin,,, 解: 1426,,,,491149
5.求直线与平面的交点
2x,y,z,0,L: (1). 与平面 x+3y+z-1=0 ,x,2y,2z,3,0,
1,2,2:,3,,1,2,2:,3,,,,,,2,1,1:0,033:6,,,, 解:
,,,,131:1053:4,,,,
1,2,2:,3,,100:1,,,,,,,011:2,011:2,,,,
,,,,053:400,2:,6,,,,
100:1,,100:1,,,,,,,010:,1,011:2,,,,
,,,,001:3001:3,,,,
?交点 x=1 ,y=-1 ,z=3
x,2y,3z,4L:,, (2). 与平面 2x+y+z-6=0 112
解: ? x=t+2 ,y=t+3 ,z=2t+4 代入平面方程
得 2(t+2)+t+3+2t+4=6 ,5t=-5 ,t=-1
? 交点 x=1 ,y=2 ,z=2
设是直线L外一点,M是直线上任意一点,且直线的方向 M0
向量为s,试证:
MM,s0点到直线L的距离为 d, M 0s证:平行四边形面积 b= MM×S =d S 0
MM,s0d,? s
x,y,z,1,0,
,【例】求点P(3,-1,2)到直线的距离. 2x,y,z,4,0,
ijk
11,1解:直线方向向量s==(0,-3,-3),在直线上任取一点,
2,11设x=1,由方程:
y,z,,2同一,
,,若 z=0,则y= -2,任一点为M(1,-2,0), 方程 ,y,z,2,
MM=(-2,-1,-2) 0
ijkMM,s320d,MM×S==(-3,-6,6), = ,2,1,20s20,3,3
[若z=1则解方程组可得 x=1 ,y=-1 ,M(1,-1,1) ]