2024年浙江省苍南县金乡卫城中学高三上数学期末统考模拟试题含解析

2024年浙江省苍南县金乡卫城中学高三上数学期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．2．函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．3．的展开式中有理项有（）A．项B．项C．项D．项4．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．1C．D．5．函数在的图像大致为A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形，则该几何体的体积为A．B．C．D．7．如图，矩形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BE折起至，记二面角的平面角为，直线与平面BCDE所成的角为，与BC所成的角为，有如下两个命题：①对满足题意的任意的的位置，；②对满足题意的任意的的位置，，则()A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立8．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．2D．9．已知抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为（）A．1B．C．2D．310．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为A．B．C．D．12．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个坐位的宽度()，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某高校开展活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排有________种.14．已知集合，，则__________．15．的展开式中的常数项为__________.16．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A＝(k≠0)的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.（Ⅰ）证明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20．（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为，选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）21．（12分）已知动点到定点的距离比到轴的距离多.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设，是轨迹在上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.22．（10分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.（1）求和的方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】，函数是奇函数，排除，时，，时，，排除，当时，，时，，排除，符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.2、B【解析】判断函数的奇偶性，可排除A、C，再判断函数在区间上函数值与的大小，即可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以函数是奇函数，可排除A、C；又当，，可排除D；故选：B.【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.3、B【解析】由二项展开式定理求出通项，求出的指数为整数时的个数，即可求解.【详解】，，当，，，时，为有理项，共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.4、C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.5、B【解析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．6、C【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为的等边三角形，三棱锥的高为，所以该几何体的体积，故选C．7、A【解析】作出二面角的补角、线面角、线线角的补角，由此判断出两个命题的正确性.【详解】①如图所示，过作平面，垂足为，连接，作，连接.由图可知，，所以，所以①正确.②由于，所以与所成角，所以，所以②正确.综上所述，①②都正确.故选：A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8、A【解析】由已知得，，由已知比值得，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．【详解】.又，可令，则.设，得，即，解得，∴,,由得，，，该双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来，从而再由勾股定理建立的关系．9、B【解析】设直线的方程为代入抛物线方程，利用韦达定理可得,,由可知所以可得代入化简求得参数,即可求得结果.【详解】设，（，）.易知直线l的斜率存在且不为0，设为，则直线l的方程为.与抛物线方程联立得，所以，.因为，所以，得，所以，即，，所以.故选:B.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题.10、A【解析】由的最小正周期是，得，即，因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．考点：函数的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：11、C【解析】由题可得，解得，则，，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．12、B【解析】为弯管，为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧所在圆的半径为，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示，为弯管，为6个座位的宽度，则设弧所在圆的半径为，则解得可以近似地认为，即于是，长所以是最接近的，其中选项A的长度比还小，不可能，因此只能选B，260或者由，所以弧长.故选：B【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、156【解析】先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数.【详解】安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有种，刘老师和王老师分配到一个班，共有种，所以种.故答案为：.【点睛】本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过“正难则反”的思想进行分析.14、【解析】解一元二次不等式化简集合，再进行集合的交运算，即可得到答案.【详解】，，.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.15、31【解析】由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为的展开式得通项为，则的展开式中的常数项为：，得解.【详解】解：，则的展开式中的常数项为：.故答案为：31.【点睛】本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.16、【解析】试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是考点：函数单调性三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、解：设特征向量为α＝对应的特征值为λ，则＝λ，即因为k≠0，所以a＝2．5分因为，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝2．综上，a＝2，k＝2．20分【解析】试题分析：由特征向量求矩阵A,由逆矩阵求k考点：特征向量,逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．18、（1）（2）（3）直线平面，证明见解析【解析】取中点，连接，则，再由已知证明平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量．（1）求出的坐标，由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值；（2）求出平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）求出的坐标，由，结合平面，可得直线平面．【详解】底面是边长为2的菱形，，为等边三角形．取中点，连接，则，为等边三角形，，又平面平面，且平面平面，平面．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，1，，，0，，，，，，0，，，，，，，．，，设平面的一个法向量为．由，取，得．（1）证明：设直线与平面所成角为，，则，即直线与平面所成角的正弦值为；（2）设平面的一个法向量为，由，得二面角的余弦值为；（3），，又平面，直线平面．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)先证明 ，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；(Ⅱ)根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【详解】(Ⅰ)证：由已知得又平面，平面，，而故，平面平面，平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，有，又，故所以相似，故有，即所以，以为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则令，则，是平面的一个法向量设平面的一个法向量为令，则是平面的一个法向量=又二面角为钝二面角，其余弦值为.【点睛】本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.20、（1）0.4；（2）；（3）应选择方案，理由见解析【解析】（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择.【详解】（1）设事件为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为，∵，∴估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”，设事件，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有人选择方案”，则，所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案的概率为.（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，方案的日工资，方案的日工资，所以随机变量的分布列为1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05；同理，随机变量的分布列为1501802302803300.30.30.20.150.05.∵，∴建议骑手应选择方案.【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21、（1）或；（2）证明见解析，定点【解析】（1）设，由题意可知，对的正负分情况讨论，从而求得动点的轨迹的方程；（2）设其方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，所以，所以直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点．【详解】（1）设，动点到定点的距离比到轴的距离多，，时，解得，时，解得.动点的轨迹的方程为或（2）证明：如图，设，，由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，设其方程为，将与联立消去，得，由韦达定理知，，①显然，，，，将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点.【点睛】本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题．22、（1）,；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为．半径，则的标准方程为．（2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得．联立直线与抛物线的方程有．设，利用韦达定理结合弦长公式可得．则．即．详解：（1）设的标准方程为，则．已知在直线上，故可设．因为关于对称，所以解得所以的标准方程为．因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．（2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以．由消去并整理得：．设，则，那么．所以．所以，即．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．