1.1.2 弧度制(平行班
)
1.1.1 弧度制
【课题】:弧度制
【设计与执教者】:广州六中,张萍,weng-zhangping@163.com 【学情分析】:教学对象是高一的学生,在前面已经系统学习了任意角的概念,学生对用角度来
示角已经相当熟练,在此基础上引进角的另一种度量方式——弧度制。由于这种度量方式的定义较抽象,是以比值来定义角的大小,不像角度制那样可以看得见,能体会得到,而高一学生的抽象思维水平发展有限,因此应多结合具体实例来说明弧度制的合理性和必要性,从具体实例出发,慢慢抽象概括,最后得角的弧度制定义,这符合学生的认知规律。
【教学三维目标】:
一、知识与技能
1、1弧度的角的定义;
2、弧度制的定义;
3、角度与弧度的换算;
4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式;
5、角的集合与实数集之间建立的一一对应关系; R
二、过程与方法
1、理解1弧度的角、弧度制的定义;
2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算;
3、熟记特殊角的弧度数;
4、理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系;
5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题; 三、情感态度与价值观
使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的
,二者虽单位不同,但是互相联系、辩证统一的,进一步加强对辩证统一思想的理解,使学生通过总结引入弧度制的好处,学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习,都会为我们解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣、求知欲望,培养良好的学习品质.
【教学重点】:理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 【教学难点】:理解弧度制定义,弧度制的运用.
【课前准备】:计算器、投影机、三角板
【教学过程设计】:
教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引【创设情境】 为探索新知识做准入 有人问:海口到三亚有多远时,有人回答约250公里,但也有人回答备.
约160英里,请问那一种回答是正确的,(已知1英里=1.6公里)
显然,两种回答都是正确的,但为什么会有不同的数值呢,那是因为
所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制.他们的长度单位是
不同的,但是,他们之间可以换算:1英里=1.6公里.
在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制,我们已经不再
陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 二、探究新【探究新知】 知 1(角度制规定:将一个圆周分成360份,每一份叫做1度,故一周
等于360度,平角等于180度,直角等于90度等等.
弧度制是什么呢,1弧度是什么意思,一周是多少弧度,半周呢,
直角等于多少弧度,弧度制与角度制之间如何换算,请看课本PP,,67鼓励学生自己看
自行解决上述问题. 书,积极用自己的
2.弧度制的定义 语言概括,引导学
[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作生对弧度制的探索
1,或1弧度,或1(单位可以省略不写). rad
3.探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的r ,x
正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格. AB
y
B
,A xO
旋转的方向 的弧度数 的度数 弧的长 OB,AOB,AOBAB
,r逆时针方向
逆时针方向 2,r r 1
2r,2
,,
0
: 180
: 180
我们知道,角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如
-π,-2π等等,一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一
个负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是,那么,al
的弧度数是多少?
l角,的弧度数的绝对值是:,其中,l是圆心角所对的弧长,,, r
r是半径.
:5.根据探究中填空: 180,,rad
:,度 1___rad,1___,rad
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
:'教师出示例题:例1.按照下列
,把化成弧度: 6730
(1) 精确值;
例1、例2都是角度(2) 精确到0.001的近似值.
与弧度的换算,在0135,,:'教学时,“度”的单解:(1)因为, 6730,,,2,,位“?,′,″”
不能省略。刚开始,1353:'所以 ,,,rad6730rad,“弧度”的单位18024
“”暂不要省rad(2)略
教师出示例题:例2.将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 略,并且不要用rad
”的中文名“rad:注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算180,,rad称“弧度”作单位
器计算非特殊角的方法. 写在数据的后面。
教师出示练习:填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
:::::::度 03045120120120120
,,3, , 弧度 322
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一R
一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对
应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的
角)与它对应.
:教师出示例题:例3.利用计算器比较和的大小. sin1.5sin85
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
解:略.
,教师出示例题:例4. 计算和 sintan1.5 4
2,,,, sin,sin45,解:? ? ,45424
,,, 1.5rad,57.30,1.5,85.95,8557'
,? tan1.5,tan8557',14.12
教师出示例题:例5. 将下列各角化成0到的角加上的2k,(k,Z)2,
形式
19,? ? ,,315 3 ,19 解: ,,,6, 33 ,,,, ,315,45,360,,2, 4 教师出示例题:例6. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
由例6看出,采用弧112 (1); (2); (3). ,,lR,,SlR,SR度制时,弧长公式22和扇形面积公式简
R其中是半径,是弧长,,,,(02),,为圆心角,是扇形的面Sl单了.这正是引入
弧度制的原因之积.
一. l解:(1)由公式 立即可得 ,,lR,, r 0R下面证明(2)、(3).由于半径为,圆心角为的扇形的弧长公式和面n
2nRnR,, 积公式分别是:,, Sl,,360180
n, 0将转换为弧度,得 , ,n, 180
1 2于是 . ,,SR 2
1 将代入上式,即得. lR,,SlR, 2
教师出示例题:例7(求图中公路弯道处弧AB的长熟悉弧长公式 (精确到1m)图中长度单位为:m l
, ,解: ? 60, 3
?
, l,,R,,45,3.14,15,47(m), 3
A B 教师出示例题:例8(已知扇形的周长是6cm, AOB
新疆王新敞奎屯该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积 加深弧长公式的使
o 解:设扇形的半径为r,弧长为,则有 用。 l
2r,l,6,r,2,,l , ,,,1l,2,,r,
1 2 ? 扇形的面积 S,rl,2(cm) 2
教师出示例题:例9. 直径为20cm的圆中,求下列各圆心所对的弧长 ? 4, , ? 165 3
440,, 解: ? l,,r,,10,(cm)r,10cm, 33
11,, , (2) 165,,165(rad),rad 18012
1155,, ? l,,10,(cm) 126
教师出示例题:例10. 已知扇形周长为10cm,面积为6cm2,求扇形中 心角的弧度数(
解:设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π),弧长为l,半径为r,
l,2r,10,,21由题意: ,r,5r,6,0 ,l,r,6,2,
r,2r,3,,l4? 或 ? =3 或 ,, ,,l,6l,43r,, 教师出示例题:例11.一扇形周长为20cm,问扇形的半径和圆心角各取什 么值时,才能使扇形面积最大, 分析:最值问题途径有二:一是利用几何意义,从图中直接找到(本例不 好找);二是利用函数求解,即设出未知量,建立函数关系式,然后用函
数的方法解决。 解:设扇形中心角为,半径为,则 r熟悉面积公式 ,
202,r , ,220rr,,,, r
11202,r 222 ,Srrrrrr,,,,,,,,1010,,扇形 22r
10当时,,此时 . S,25,,2r,,,5 扇形最大21,,,, 小结:研究实际应用问题的最值问题,往往是将其转化为二次函数的最值 问题,这是经常运用的数学思想方法。 教师出示例题:例12.一条弦的长度等于半径r,求(1)这条弦所对的 劣弧长;(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积。
,加深面积公式的使分析:由已知可知圆心角的大小为,用。 3
然后用公式求解 解:(1)如图1-2-6所示,半径为r的
中弦ABr,,则为等边三角O,ABC
, 形,所以AOB,则弦所对的AB,, 3
, 劣弧长为。 3
132 (2) SOAOBAOBr,,,,,,sin,AOB24
11,, 222 Srrr,,,,,,扇形AOB 2236
,,,,33222 SSSrrr?,,,,,,,,,AOB弓形扇形AOB,,6464,,
小结:图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一,本例把弓形看成是扇形与三角形的差组成的,即可运用已知知识解决所要求解的问题。
三、练习巩1( 把下列角度化成弧度: 巩固知识,培养技
固 能. 0'00(1);(2);(3). 2230,2101200
2. 把下列弧度化成度:
,4,3,(1);(2);(3). ,12103
3.利用计算机比较下列各对值的大小(精确到0.001):
00(1)和; (2)和; cos0.75cos0.75tan1.2tan1.2
04(分别利用角度制\弧度制下的弧长公式,计算半径为1的圆中,的m60圆心角所对的弧的长度(可用计数器).
5.已知半径为120的圆上,有一条弧长144,求该弧所对的圆心角mmmm
的弧度数.
,7,20,答案: 1((1);(2);(3). ,836
000 2. (1);(2);(3). 15,24054
003.(1)>; (2)<; cos0.75cos0.75tan1.2tan1.2
,4(. m3
5.. 1.2
四、拓展与1(已知集合,,,α,2,π?α?π,2,π,,?,,,B,,α,,4加深弧度制概念的提高 ?α?4,,求A?B. 理解.进一步巩固
知识,培养技能. 12(圆的半径变为原来的,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来 2
的 倍.
答案:
1. A?B,,α,,4?α?,π或0?α?π,
2. 2
五、小结 1(你知道角弧度制是怎样规定的吗? 反思归纳,培养学
2(弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗? 生反思数学思想方
3(弧长公式的灵活应用。 法的习惯。 六、作业 巩固新知。 课本P11 7,8,9,10