正方形的典型例题

正方形·典型例题 能力素质 例1 如图4.6－2，已知正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠EBC交DC于F，求证：BE＝AE＋CF． 解析 证AE＋CF＝BE，可以把AE与CF相接，证其与BE相等． 证明 延长EA到G，使AG＝CF，连结BG． 在正方形ABCD中， AB＝BC，∠BAG＝∠C＝90°． ∴△GAB≌△FCB． ∴∠GBA＝∠FBC． ∠G＝∠BFC． 又∵AB∥CD． ∴∠BFC＝∠ABF＝∠EBA＋∠EBF． 又∵BF平分∠EBC， ∴∠EBF＝∠FBC． ∴∠GBA＝∠EBF． ∴∠G＝∠BFC＝∠EBA＋∠EBF ＝∠EBA＋∠GBA ＝∠EBG． ∴BE＝GE＝AG＋AE＝CF＋AE． 点击思维 例2 如图4.6－3，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证：(1)EC＝BG；(2)EC⊥BG． 解析 易证△EAC≌△BAG，可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG，于是可证∠EOB＝∠EAB 证明 (1)在正方形ABDE和正方形ACFG中， AE＝AB，AC＝AG， ∠EAB＝∠GAC＝90°， ∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC． 即∠EAC＝∠BAG， ∴△EAC≌△BAG． ∴EC＝BG． (2)由(1)知：△EAC≌△BAG， ∴∠AEC＝∠ABG． 又∵∠1＝∠2， ∴∠ABG＋∠2＝∠AEC＋∠1＝90°． ∴∠EOB＝∠EAB＝90°∴EC⊥BG． 点评 若把例题中，∠BAC为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之． 例3 如图4.6－4，以△ABC的边AB，AC为边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH⊥BC，交EG于M，垂足为H，求证：EM＝MG． 解析 (思路一)过E作AG的平行线交AM延长线于K，连接KG，证明四边形KEAG是平行四边形行即可． (思路二) 可证E，G到AM的距离相等即可 证法一 如图4.6－4 过E作EK∥AG，交AM的延长线于K，连结GK． ∴∠KEA＋∠EAG＝180°． 在正方形ABDE和正方形ACFG中， AE＝AB，∠EAB＝∠GAC＝90°． ∴∠EAG＋∠BAC＝180°． ∴∠KEA＝∠BAC． ∵AH⊥BC． ∴∠BAH＋∠ABC＝90°． 又∵∠EAK＋∠BAH＝90°． ∴∠EAK＝∠ABC． 又∵AB＝AE， ∴△KEA≌△ABC． ∴EK＝AC，又AC＝AG． ∴EK＝AG． ∴四边形EAGK是平行四边形． ∴EM＝MG． 证法二 分别过E，G作AM的垂线，垂足为P、Q， 在正方形GACF中， AG＝AC，∠GAC＝90°． ∴∠GAQ＋∠CAH＝90°． 又AH⊥BC． ∴∠CAH＋∠ACH＝90°． ∴∠GAQ＝∠ACH． 又∠GQA＝∠AHC＝90°． ∴△GQA≌△AHC． ∴GQ＝AH． 同理可证：EP＝AH． ∴EP＝GQ． 又∵∠PME＝∠GMQ． ∠EPM＝∠GQM＝Rt∠． ∴△EPM≌△GQM． ∴EM＝MG． 学科渗透 例4 如图4.6－6，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，CF平分∠DCG，求证：AE＝EF． 解析 可取AB中点M，连结ME，证△AME≌△ECF 证明 取AB中点M，连结ME 在正方形ABCD中， AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°． 又E为BC中点， ∴AM＝BM＝BE＝EC． ∴∠BME＝45°． ∴∠AME＝135°． 又CF平分∠DCG． ∴∠ECF＝135°． ∴∠AME＝∠ECF． 又∵AE⊥EF， ∴∠FEC＋∠AEB＝90°． 又∵∠BAE＋∠AEB＝90°． ∴∠FEC＝∠BAE． ∴△AME≌△ECF． ∴AE＝EF． 中考巡礼 例5 (2001年江苏扬州中考题)如图4.6－7，已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：AP＝EF． 证明 连结AC交BD于O，连结PC． 在正方形ABCD中， BD⊥AC，BD平分AC． ∴PA＝PC． 又∵PE⊥CD，PF⊥BC，∠DCB＝90°． ∴四边形PFCE是矩形． ∴EF＝PC． ∴PA＝EF． 考点 正方形性质，矩形性质和判定 例6 (2001年江苏泰州中考题)如图4.6－8已知，正方形ABCD的对角线交于O，过O点作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于 [ ] A．7 B．5 C．4 D．3 解 易证△AOE≌△BOF，△EOB≌△FOC． ∴AE＝BF，BE＝FC． ∴EF2＝BE2＋BF2＝32＋42． ∴EF＝5． 故选B． 考点 正方形性质，全等的判定和性质，勾股定理．