关于广义二次高斯和的四次均值公式

第13卷纂2搜 纺缓离投罄礁辩学学摄 Ⅷ。13，N。．2 窑000年6月BASIcScⅡ科C牺JOURNALoF愀TⅡ8UN差、|腿Sr翔晤JIlne，。000 关于广义二次高斯和的四次均值公式 窳文鹈 (西北犬学数学系．陕西蕊安710069) 摘要：#l八广义二次高斯和，蒡给出了其四次均值的一个糟确的计算公式。 关键调：广义=次商新和；均值；计算公式 枣霪分类警：Ols6+4交献拣嫒码：A文章编号：100l一8勰5(2∞o)02一009s～05 l 引言及撼论 设q≥3为艇数，x示模叮的DⅢcMet特征，则高斯和G(州，z)及二次高斯和G(m；口)的 定黑为： ∞州卜∑踟)e{詈}． ㈨ 秘 ∞嘲，。蚤q等j’ ㈣ 箕串ef∞一“p(2而，。+这两个鞴式程解析数论研究中占有菲常特殊酌位置，弼掰受到不爹 解析数论专家们的重视和兴趣．率文中引入一个广义二状高斯栩 鼬幽沪萎肌)文等j， 并姘究冀巍莰均照静计算问题。美予遮一巍容至今翔之稷步，甚至也不翔遘它豹商次均氆魏 否鸯一定的趣昝性?显然G(n，Z；神的搂长举如G妇，如鞠Gfn；妒邵么褰易计算，其德分带缀 不规则．栅阁初等方法可以得到估计式lG“．z；却1≤2／声，熟中产为奇素数．从速一估计 起，在某稚意义上(X”，X；p的均壤黩滚具蠢良好的壬}书键爨．搴文圣#藿还利用特镊秘镀诗 及其三角和方法了下面的两个结论： 定理l 设≯≥3为素数“为强塞与p互囊之整数，测毒计算公式 *枝甍冀期；20。0一。3—03 基金项目；默馘省自然科学基盎错助项目；馔蕊省教簧专项科研基盘资助项目一 撵者燕舟：强义辩(19j8一)，雾，蒺褥密耗采萎^，秀建失学数学系教授．姨事簿辑鼓论方瓣魏辫寇万方数据万方数据万方数据 96 纺织高校基础科学学报 第13卷 ∑|G(。，z；弦}；。I‘p一”[3妒一6声一1+4i暑』v厂歹]，如果户5l‘rnod4)； 辫却 l(声一1)(3扩一6声一1)， 如果声三3(檄棚4)． 其中lj』为勒让德簿号，∑表示对模户的所有特征求和． 定理2 设≯≥3为素数且户∞3(rmd4)．则当(”，力一1时，有计算公式 ∑|(x≈，羔；翻i6糌(声一1)(1e芦一25爹一连≯一1)， 另外，对于整数^≥3，是否存在2^状均值∑|G(n，z；∞14的计算公式是一个没有解决的数 论问题1 2 足令g!理 引理1 设Ⅲ琶N+，则有计算公式 f而， 如果m21(删4)， G(1；m，：妻vr磊(1一1)[1+exp(～蠢蟛2)]；I玑一 如果”52‘“od4)’ ‘ ll、，Ⅸ， 如果mi3(m瞳4，， 一L(1+i)v，m，如果mi0(mod4)． 其证明参阅文献：胡中定理9．16． gl理2设≯为奇素数，z为摸p辩非主偶特挺(鄂烈一1)=1)，剿￥与声露索的整数 目，露恒等式 I(=_!“，x：力l?=2p+f；)G(1；砧霎z(n)f生i-)， 其中{专I为勒让德静号． 鼗明 蓄尚诞冁当掰”对，番 G(H；凹一{{1G(1；∞． (3’ 事实上，当料H时，若n为模p舶=二次剩余，则墨c∈z且“，∞一1，使得，詈H(m。d力． 予楚番 。c吲。一娄e{等j一娄e(孚j一砉e(引=f考)联，；廖 即(3)式成立．当”为模p的二次非剩余对，则有 G妇；扮一：砉。|；j～薯s|筹j—Ge，；毋一{毒3驭，；芦， 于怒(3)式也成立。可觅，(3)式V辩”或立． 由(3)式知，当z为模p的非主偶特征时，有 旧n出桫{2黜薹茎拙承执【壁亏堡3勰霎霎zc幽e(半)JG(n出桫{k∑∑拙)i渤ei!!_=i竺j一∑∑z(葫)ef坐半j 一霎霎黜c塑≯一∑∑胁)叫璧i等型卜雾拙，[封些≯}一∑拙)|∑“型等型f ⋯ o^=lL ，万方数据万方数据万方数据 第2期 关予广义二次高凝鞘鳇理次坶燕公式 97 —2尹十∑x(口)G妇(岔一1)：如一∑芝(。) 锄+㈡G㈦必争n《与!F 于魁完成了引．理2的证明． 引理3设户为毒素数且声i3(mod4)，则寿憾等式 薹茎⋯，茎。(等)(孚卜(熟乒)=。， 其中(暑)为勒让德符号． 证明 由于p。3‘“痢4’，所戳I7j一一l，注意到当8通过模户的简化掰余系时∞ 的邀二也通过模p的旋化剩余系，出勒让德符号的性质，有 善争兰，(孚)c字j-__(挈) =茎茎⋯。鐾，(塑冬业l(学)-_．(4i=】气‘j％+{‘t‘ 。 。‘ 。 、 亏亏’‘甄i—l