2011全国中考真题解析120考点汇编☆矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com (2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析 120考点汇编☆矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 一、选择题 1. （2011•南通）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2cm，点E在BC上，且AE=CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC=　4　cm． 考点：翻折变换（折叠问题）。 分析：根据题意推出AB= A=2，由AE=CE推出AB1=B1C，即AC=4． 解答：解：∵AB=2cm，A=AB，，∴A=2，∵矩形ABCD，AE=CE， ∴∠ABE=∠AB1E=90°，∵AE=CE，∴A=C，∴AC=4．故为4． 点评：本题主要考察翻折的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于推出AB= A． 2. （2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 考点：矩形的性质；菱形的性质。 专题：推理填空题。 分析：根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案． 解答：解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项错误； B、菱形和矩形的对角线都相等；故本选项正确； C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项正确； D、菱形对角相等，但不互补；故本选项正确； 故选A． 点评：此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等． 3. （2011•宁夏，2，3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AB的长是（　　） A、2 B、4 C、2 D、4 考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质。 分析：本题的关键是本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质即锐角三角函数关系求长度． 解答：解：∵在矩形ABCD中，AO= AC，DO= BD，AC=BD， ∴AO=DO， 又∵∠AOD=60°， ∴∠ADB=60°， ∴∠ABD=30°， ∴=tan30°， 即 =， ∴AB=2． 故选C． 点评：本题考查了矩形的性质和锐角三角函数关系，具有一定的综合性，难度不大属于基础性题目． 4. （2011台湾，29，4分）如图，长方形ABCD中，E为BC中点，作∠AEC的角平分线交AD于F点．若AB＝6，AD＝16，则FD的长度为何？（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 考点：矩形的性质；角平分线的性质；勾股定理。 专题：几何综合题。 分析：首先由矩形ABCD的性质，得BC＝AD＝16，已知E为BC中点，则BE＝BC÷2＝8，根据勾股定理在直角三角形ABE中可求出AE，再由∠AEC的角平分线交AD于F点，得∠AEF＝∠CEF，已知矩形ABCD，AD∥BC， 则∠AFE＝∠CEF，所以∠AEF＝∠AFE，所以AF＝AE，从而求出FD． 解答：解：已知矩形ABCD，∴BC＝AD＝16， 又E为BC中点， ∴BE＝ ×16＝8， •BC＝ 在直角三角形ABE中， AE2＝AB2＋BE2＝62＋82＝100， ∴AE＝10， 已知矩形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF， 又∠AEC的角平分线交AD于F点， ∴∠AEF＝∠CEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AF＝AE＝10， ∴FD＝AD－AF＝16－10＝6， 故选：C． 点评：此题考查的知识点是矩形的性质．角平分线的性质及勾股定理，解题的关键是由勾股定理求出AE，然后由已知推出AE＝AF． 5. （2011•贵港）如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（　　） A、 B、 C、1 D、1.5 考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。 专题：推理填空题。 分析：先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 解答：解：∵AB=，BC=2， ∴AC==， ∴AO=AC=， ∵EO⊥AC， ∴∠AOE=∠ADC=90°， 又∵∠EAO=∠CAD， ∴△AEO∽△ACD， ∴=， 即=， 解得AE=1.5． 故选D． 点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 6.（2011•临沂，11，3分）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（　　） A、2 C、4 D、4 B、3 考点：矩形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。 分析：因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积． 解答：解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点， ∴DF∥BC， ∴∠C=90°， ∴四边形BCDE是矩形． ∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，， ∴AB=4， ∴AC= =2 ． ∴DE= ． ∴四边形BCDE的面积为：2× ． =2 故选A． 点评：本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等． 7. （2011年四川省绵阳市，7，3分）下列关于矩形的说法，正确的是（　　） A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相平分的四边形是矩形 C、矩形的对角线互相垂直且平分 D、矩形的对角线相等且互相平分 考点：矩形的判定与性质． 专题：推理填空题． 分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：   1．矩形的四个角都是直角   2．矩形的对角线相等   3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等   4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．   5．对边平行且相等   6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可． 解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误； B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误； C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误； D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确． 故选D． 点评：本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握． 8. （2011杭州，10，3分）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题 ①若 SABCD/SBFDE= ，则 tan∠EDF= ；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD．则（　　） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 考点：解直角三角形；菱形的性质；矩形的性质． 专题：几何综合题． 分析：①由已知先求出sin∠EDF，再求出tan∠EDF，确定是否真假命题．②由已知根据矩形、菱形的性质用面积法得出结论． 解答：解：①设CF=x，DF=y，BC=h，则由已知菱形BFDE，BF=DF=y 由已知得： (x+y)h/yh= ， 得： = ，即cos∠BFC= ， ∴∠BFC=30°， 由已知 ∴∠EDF=30° ∴tan∠EDF= ， 所以①是真命题． ②已知菱形BFDE，∴DF=DE 由已知△DEF的面积为：DF•AD， 也可示为： 12BD•EF， 又DE2=BD•EF， ∴△DEF的面积可表示为： 12DE2即： 12DF2， ∴DF•AD= 12DF2， ∴DF=2AD， 所以②是真命题． 故选：A． 点评：此题考查的知识点是解直角三角形、矩形的性质及菱形的性质，解题的关键是①先求出∠EDF的正弦确定其度数，再求出其正切．②用面积法确定． 9. （2011福建莆田，19，8分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF//AB交AE的延长线于点F，连接BF. (1)(4分)求证:DB=CF (2)(4分)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论. 考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定． 专题：证明题． 分析：（1）根据CF∥AB，可知∠DAE=∠CFE，得出△ADE≌△FCE，再根据等量代换可知DB=CF， （2）根据DB=CF，DB∥CF，可知四边形BDCF为平行四边形，再根据AC=BC，AD=DB，得出四边形BDCF是矩形． 解答：（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠DAE=∠CFE， ∵DE=CE，∠AED=∠FEC， ∴△ADE≌△FCE， ∴AD=CF， ∵AD=DB， ∴DB=CF； （2）四边形BDCF是矩形， 证明：∵DB=CF，DB∥CF， ∴四边形BDCF为平行四边形， ∵AC=BC，AD=DB， ∴CD⊥AB， ∴四边形BDCF是矩形． 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及矩形的判定，难度适中． 10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交与点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（　　） A、2条 B、4条 C、5条 D、6条 【答案】D 【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】几何题． 【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO，已知∠AOB=60°，所以AB=AO，从而CD=AB=AO．从而可求出线段为8的线段． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AC=16，∴AO=BO=CO=DO= ×16=8． ∵AO=BO，∠AOB=60°，∴AB=AO=8， ∴CD=AB=8，∴共有6条线段为8．故选D． 【点评】本题考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，以及等边三角形的判定与性质． 11. （2011天水，10，4）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为（　　） A、6 B、4 C、2 D、1 考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。 分析：由矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．根据矩形与折叠的性质，即可得在第三个图中：AB=AD﹣BD=6﹣2=4，AD∥EC，BC=6，即可得△ABF∽△ECF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CF的长． 解答：解：由四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=6． 根据题意得：BD=AB﹣AD=8﹣6=2，四边形BDEC是矩形， ∴EC=BD=2， ∴在第三个图中：AB=AD﹣BD=6﹣2=4，AD∥EC，BC=6， ∴△ABF∽△ECF， ∴, 设CF=x，则BF=6﹣x， ∴, 解得：x=2， ∴CF=2． 故选C． 点评：此题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 12.（2011辽宁阜新,8,3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 考点：轴对称-最短路线问题；矩形的性质。 专题：探究型。 分析：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长． 解答：解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F， ∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点， ∴BE=CE=CE′=4， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴△CEF∽△BEA，即 ，即 ，解得CF=2， ∴DF=CD﹣CF=6﹣2=4． 故选D． 点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E点关于直线CD的对称点，再根据轴对称的性质求出CE′的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 13.（2011辽宁沈阳，7，3分）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 考点：等腰三角形的判定；矩形的性质。 分析：本题需先根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，从而得出图中等腰三角形中的个数，即可得出正确答案． 解答：解：∵矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O， ∴OA=OB=OC=OD， ∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四个． 故选B． 点评：本题主要考查了等腰三角形的判定，在解题时要把等腰三角形的判定与矩形的性质相结合是本题的关键． 二、填空题 1. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可) 考点：矩形的判定。 专题：开放型。 分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形． 解答：解：若四边形ABCD的对角线相等， 则由AB=DC，AD=BC可得． △ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD， 所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角， 所以四边形ABCD是矩形， 故答案为：对角线相等． 点评：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角． 2. （2011江苏南京，21，7分）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF≌△ECF； （2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形． 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定。 专题：证明题。 分析：（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB=DC，⇒∠ABF=∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF； （2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证． 解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC， ∴∠ABF=∠ECF， ∵EC=DC，∴AB=EC， 在△ABF和△ECF中， ∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC， ∴△ABF≌△ECF． （2）∵AB=EC，AB∥EC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴FA=FE，FB=FC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠D， 又∵∠AFC=2∠D， ∴∠AFC=2∠ABC， ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF， ∴∠ABF=∠BAF， ∴FA=FB， ∴FA=FE=FB=FC， ∴AE=BC， ∴四边形ABEC是矩形． 点评：此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及举行的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形． 3. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=　5　cm． 考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线。 专题：几何图形问题。 分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半． 解答：解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线， ∴CD= AB， 又∵EF是△ABC的中位线， ∴AB=2CD=2×5=10cm， ∴EF= ×10=5cm． 故答案为：5 点评：用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半． 4. （2011盐城，16，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为　 　． 考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质. 专题：几何图形问题. 分析：根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC=10；最后由等腰三角形ABC的两腰AB=AC，求得AB=10． 解答：解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=5，AB=AC， ∴AB=10；故答案为：10． 点评：本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质．此题是一道基础题，只要同学们在做题过程中多一份细心，就会多一份收获的． 5. （2011山西，14，3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：___________ _______________________，可使它成为矩形． SHAPE \* MERGEFORMAT 考点：矩形的判定 专题：四边形 分析：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°； 由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD． 解答：∠ABC＝90°（或AC＝BD等） 点评：本题是一道开放题，只要掌握矩形的判定方法：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”或“对角线相等的平行四边形是矩形”，就不难得到正确答案（共有五个即四个内角中任意一个角为直角、对角线相等）． 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CD、AC． （1）求证：四边形ABFC是平行四边形； （2）如果DE2=BE•CE，求证四边形ABFC是矩形． 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形； （2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形． 解答：证明：（1）连接BD， ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC， ∴AC=BD，∠ACB=∠DBC ∵DE⊥BC，EF=DE， ∴BD=BF，∠DBC=∠FBC， ∴AC=BF，∠ACB=∠CBF ∴AC∥BF， ∴四边形ABFC是平行四边形； （2）∵DE2=BE•CE ∴ ， ∵∠DEB=∠DEC=90°， ∴△BDE∽△DEC ∴∠BDC=∠BFC=90°， ∴四边形ABFC是矩形． 点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大． 7. （2011•贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于　18cm2． 考点：菱形的判定与性质；矩形的性质。 专题：数形结合。 分析：易得该四边形是一个菱形，作出高，求出高，即可求得相应的面积． 解答：解：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵纸条等宽， ∴AB=BC， ∴该四边形是菱形， 作AE⊥BC于E． ∴BE=3cm， AE=3cm． ∴四边形ABCD的面积=6×3=18cm2， 故答案为18． 点评：考查菱形的判定与性质的应用；判断出图形的形状是解决本题的关键． 8. （2011•贺州）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，则∠DEF的度数是　60　°． 考点：翻折变换（折叠问题）。 专题：计算题。 分析：根据折叠的性质得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC=30°，则∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2，然后利用两直线平行内错角相等得到∠DEF的度数． 解答：解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF， ∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE， 在Rt△DFC中，FC=2，DF=4， ∴∠FDC=30°， ∴∠DFC=60°， ∴∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2=60°， ∴∠DEF=∠BFE=60°． 故答案为60． 点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系． 9.（2011•安顺）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为　（2，4）或（3，4）或（8，4）　． 考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质。 专题：数形结合。 分析：分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可． 解答：解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示： 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=OA=5， 根据勾股定理得：DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）； 当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示： 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5， 根据勾股定理得：QD=3，故OQ=OD﹣QD=5﹣3=2，则P2（2，4）； 当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示： 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4， 根据勾股定理得：OQ=3，则P3（3，4）， 综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）． 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4） 点评：这是一道代数与几何知识综合的开放型题，综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用，属于策略和结果的开放，这类问题的解决方法是：数形结合，依理构图解决问题 10. （2011山东省潍坊， 17，3分）已知长方形ABCD．AB=3cm．,AD=4cm．过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线 EF，分别交AD、BC于点E、F．则AE的长为________________． 【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4-x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可． 【解答】解：连接EB， ∵BD垂直平分EF， ∴ED=EB， 设AE=xcm，则DE=EB=（4-x）cm， 在Rt△AEB中， AE2+AB2=BE2， 即：x2+32=（4-x）2， 解得：x= 故答案为： cm． 【点评】本题考查了勾股定理的，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程． 11. （2011•山西14，3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件　　，可使它成为矩形． 考点：矩形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。 分析：根据矩形的的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可． 解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形 故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD． 故答案为：∠ABC=90°或AC=BD． 点评：此题主要考查了矩形的的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键． 12. （2011四川泸州，15，3分）矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=4cm，∠AOB=60°，则矩形的面积为 cm2． 考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理． 分析：根据矩形的性质得出AC=BD，OA=OC，OD=OB，∠ABC=90°，推出OA=OB，得到等边三角形ABO，求出AC，由勾股定理求出BC，计算即可． 解答：解：∵矩形ABCD，∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，∠ABC=90°， ∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AC=2OA=2AB=10， 由勾股定理得：BC= 5 ，矩形的面积是BC•AB=5 ×5=25 ．故答案为：25 ． 点评：本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AC、BC的长是解此题的关键． 13. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 . SHAPE \* MERGEFORMAT 考点：矩形的性质；菱形的性质. 分析：易得第二个矩形的面积为 ，第三个矩形的面积为 ，依次类推，第n个矩形的面积为 ． 解答：解：已知第一个矩形的面积为1； 第二个矩形的面积为原来的（ QUOTE ； 第三个矩形的面积是（ QUOTE ； … 故第n个矩形的面积为：（ 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 14. （2010广东佛山，6，3分）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 考点矩形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质。 分析先连接AC、BD，由于E、H是AB、AD中点，利用三角形中位线定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易证四边形EFGH是平行四边形，而四边形ABCD是菱形，利用其性质有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用 EF∥AC以及EH∥BD，两次利用平行线的性质可得∠HEF=∠BME=90°，即可得证． 解答证明：如右图所示，四边形ABCD是菱形，顺次连接个边中点E、F、G、H，连接AC、BD， ∵E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，同理有FG∥BD，∴EH∥FG， 同理EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∴∠AOB=90°，又∵EF∥AC，∴∠BME=90， ∵EH∥BD，∴∠HEF=∠BME=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选A． 点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质、菱形的性质．解题的关键是证明四边形EFGH是平行四边形以及∠HEF=∠BME=90°． 15. （2010广东佛山，13，3分）在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB=OB=4，则AD=4 ； 考点解直角三角形；等边三角形的判定与性质；矩形的性质 分析矩形的对角线相等且互相平分，可得到△AOB是等边三角形，那么即可求得BD长，进而利用勾股定理可求得AD长． 分析矩形的对角线相等且互相平分，可得到△AOB是等边三角形，那么即可求得BD长，进而利用勾股定理可求得AD长． 解答解：∵四边形ABCD为矩形． ∴OA=OB=OD=OC=4cm． ∴BD=OB+OD=4+4=8cm． 在直角三角形ABD中，AB=4，BD=8cm． 由勾股定理可知AD2=BD2﹣AB2=82﹣42=48cm． ∴AD=4 ． cm．故答案为4 点评本题考查矩形的性质及勾股定理的运用．用的知识点为：矩形的对角线相等且互相平分． 三、解答题 1.（2011，四川乐山，20,10分）如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF．求证：BE=CF． 考点：全等三角形的判定与性质；矩形的性质。 专题：证明题。 分析：根据矩形对角线的性质，矩形对角线互相平分且相等，可知EO=FO，BO=CO，∠BOE=∠COF，可知△BOE≌△COF，即可得出BE=CF． 解答：证明：∵E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，AE=DF， ∴EO=FO，BO=CO，∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF， ∴BE=CF． 点评：本题考查了矩形对角线互相平分且相等，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中． 2. （2011新疆乌鲁木齐，20，？）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G． （1）求证：四边形DEBF是菱形； （2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明． 考点：矩形的判定；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质；菱形的判定。 专题：证明题。 分析：（1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE＝BE，问题得证； （2）利用平行四边形的性质证得∠ADB＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形． 解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD且AB＝CD，AD∥BC且AD＝BC ∵E，F分别为AB，CD的中点，∴BE＝ CD， AB，DF＝ ∴四边形DEBF是平行四边形 在△ABD中，E是AB的中点，∴AE＝BE＝ AB＝AD，而∠DAB＝60° ∴△AED是等边三角形，即DE＝AE＝AD，故DE＝BE ∴平行四边形DEBF是菱形． （2）四边形AGBD是矩形，理由如下： ∵AD∥BC且AG∥DB ∴四边形AGBD是平行四边形 由（1）的证明知AD＝DE＝AE＝BE，∴∠ADE＝∠DEA＝60°， ∠EDB＝∠DBE＝30° 故∠ADB＝90° ∴平行四边形AGBD是矩形． 点评：本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是弄清菱形及矩形的判定方法． 3. （2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC的长． （2）求∠AOB的度数． （3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积． 考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。 专题：综合题。 分析：（1）根据AB的长结合三角函数的关系可得出AC的长度． （2）根据矩形的对角线互相平分可得出△OBC为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出∠AOB的度数． （3）分别求出△OBC和△BCE的面积，从而可求出菱形OBEC的面积． 解答：解（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∴Rt△ABC中，∠ACB=30°， ∴AC=2AB=4． （2）在矩形ABCD中， ∴AO=OA=2， 又∵AB=2， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°． （3）由勾股定理，得BC=， ． ， 所以菱形OBEC的面积是2． 点评：本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识的掌握是关键． 4. （2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是　矩形　． 考点：菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定。 专题：证明题。 分析：（2）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可； （2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可． 解答：解：（1）证明：∵矩形ABCD， ∴OA=OC，OD=OB，AC=BD， ∴OA=OD， ∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∴四边形AODE是菱形． （2）∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， ∴平行四边形AODE是矩形． 故答案为：矩形． 点评：本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和正出∠AOD=90°、OA=OD是解此题的关键． 5. （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。 【考点】矩形的判定． 【专题】证明题． 【分析】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分∠BAC，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形． 【解答】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形． 证明：∵CE平分∠BCA， ∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴EO=CO， 同理，FO=CO， ∴EO=FO， 又∵OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵∠1=∠2，∠4=∠5， ∴∠1+∠5=∠2+∠4， 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠4=90°， ∴四边形AECF是矩形． 【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定．解题的关键是利用对角线互相平分的四边形是平行四边形开证明四边形AECF是平行四边形，并证明∠ECF是90°． 6. （2011山东青岛，21，8分）在▱ABCD中，E、F分别是AB．CD的中点，连接AF、CE． （1）求证：△BEC≌△DFA； （2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论． 考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质。 专题：证明题。 分析：（1）根据平行四边形的性质推出BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，求出BE=DF，根据SAS即可推出答案； （2）证AE∥CF，AE=CF得到平行四边形AECF，根据等腰三角形的性质求出∠AEC=90°，根据矩形的判定即可推出答案． 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD，∠B=∠D，AB=CD， ∵E、F分别是AB．CD的中点， ∴BE=DF=AE=CF， 在△BEC和△DFA中， BE=DF，∠B=∠D，BC=AD， ∴△BEC≌△DFA． （2）答：四边形AECF是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC=BC，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，矩形的判定等知识点的理解和掌握，能求出BE=DF和平行四边形AECF是解此题的关键． 7. （2011年山东省威海市，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK． （1）若∠1=70°，求∠MKN的度数； （2）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； （3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值． 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质． 专题：综合题；分类讨论． 分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解； （2）过M点作ME⊥DN，垂足为E，通过证明NK≥1，由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于 ； （3）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解． 解答：解：（1）∵ABCD是矩形， ∴AM∥DN． ∴∠KNM=∠1． ∵∠1=70°， ∴∠KNM=∠KMN=70°， ∴∠MKN=40°． （2）不能． 过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1． ∵∠KNM=∠KMN， ∴MK=NK， 又MK≥ME， ∴NK≥1． ∴△MNK的面积= NK•ME≥ ． ∴△MNK的面积不可能小于 ． （3）分两种情况： 情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合． MK=MD=x，则AM=5–x． 由勾股定理得12+（5–x）2=x2， 解得x=2.6． ∴MD=ND=2.6． S△MNK=S△MND= =1.3． 情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC． MK=AK=CK=x，则DK=5–x． 同理可得MK=NK=2.6． ∵MD=1 ∴S△MNK=S△MND= =1.3． △MNK的面积最大值为1.3． 点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度． 8. （2011山东省潍坊， 18，8分） 已知正方形ABCD的边长为 ，两条对角线AC、BD交于点O，P是射线AB上任意一点．过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F。 （1）如图l．当P点在线段AB上时．求PE+PF的值。 {2) 如图2．当P点在线段AB的延长线上时．求PE+PF的值。 【考点】正方形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形． 【专题】几何图形问题． 【分析】（1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解． （2）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解． 【解答】解：（1）∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD， ∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF． 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF． ∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°= a． （2）∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD， ∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF． 又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF． ∴PE-PF=OF-BF=OB=acos45°= a． 【点评】本题考查正方形的性质，正方形的对角线互相垂直且平分每一组对角，四边相等，四个角都是直角，以及矩形的判定和性质解直角三角形等． 9. （2011•南充，19，8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上． （1）求证：△ABF∽△DFE （2）若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值． 考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形。 专题：应用题；证明题。 分析：（1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可证明△ABE∽△DFE， （2）sin∠DFE= ，设DE=a，EF=3a，DF= =2 a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABE∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF= = ． 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠D=∠C=90°， ∵△BCE沿BE折叠为△BFE， ∴∠BFE=∠C=90°， ∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°， 又∠AFB+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠DFE， ∴△ABF∽△DFE， （2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE= = ， ∴设DE=a，EF=3a，DF= =2 a， ∵△BCE沿BE折叠为△BFE， ∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF， 又由（1）△ABE∽△DFE， ∴ = = = ， ∴tan∠EBF= QUOTE =， tan∠EBC=tan∠EBF= ． 点评：本题考查了矩形的性质以及相似三角形的证明方法，以及直角三角形中角的函数值，难度适中． 10.2011福建厦门，20）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点． 求证：∠EBC=∠ECB． 考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：要证出∠EBC=∠ECB，只需证明△BEC是等腰三角形，一般采用证边或证角相等，由此考虑到用三角形全等进行证明． 解答：证明：∵ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=CD． ∵E是AD中点， ∴AE=DE． ∴△ABE≌△DCE． ∴BE=CE． ∴△BEC是等腰三角形， ∴∠EBC=∠ECB． 点评：此题主要利用矩形的性质及三角形全等的判定来证明△BEC为等腰三角形，从而证明∠EBC=∠ECB． 11. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。 （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由. SHAPE \* MERGEFORMAT 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）. 分析：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明； 解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO， ∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形； （2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm， 设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2， ∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196， ∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去）， ∴△ABF的周长为14+10=24cm； （3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点； 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP， ∴△AOE∽△AEP，∴ QUOTE ，∴AE2=AO•AP， ∵四边形AECF是菱形，∴AO= QUOTE AC•AP，∴2AE2=AC•AP． QUOTE AC，∴AE2= 点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力． （第14题）� � A � � B � � C � � D � � o � � …… A B C D E F O 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网 _1234567921.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567953.unknown _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567967.unknown _1234567969.unknown _1234567970.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown