第22卷第3期 零陵师范高等专科学校学报
V。l·22N。·3
2001年8月
一
!!:竺!!兰兰!生兰!!!竺!!!!!!翌 竺!二—三竺!.————————————————————————————_—————————————————————————————————————一一一
尝试“以形助数"获得解题思路
周冬林
(湖南省永州市三中 湖南永州425006)
摘要:数形结合,不仅是数学研究的重要手段,也是数学解题的重要技巧。本文从两方面举例说明“以形助教”会使问题直
观形象、解法灵活简便、思路清晰。
关健词:联想、构造、主元、同理可证
中圈分类号:G622.479文献标识码:D 文章编号:1008—1720(2001)03—0137—02
“数形结合”是~种数学思想,是一种数学意识,有很多问题,如果仅从代数角度考虑,往往难以理解,不易
人手,但把问题与“形”结合起来,则思路容易理顺,问题变得清晰。以形助数与以数辅形是数形结合的两个方
面,但是在开辟解题思路时用得较多的是以形助数,它虽不能保证问题总能得到解决,但它能保证在大多数的
情况下使问题得到较好的解决,而不需要花大量的运算时间,尤其是在许多复杂情况中能起到良好的启发作
用,给解带来意想不到的成功。本文仅以两个方面举例阐述。
1借助于几何形(体)以形助数
如果问题的条件有某种方式可与几何形(体)建立联系,那么可设法构造几何形(体),将题设条件的数量
关系直接在形(体)中实现,借助几何形(体)寻求所解、证的结论。
例1、 已知锐角a、p、7满足条件cos2a+cos2p+cos27=1,
求妇tga.ctght滕牟
证明:由已知条件中的数量关系,联想到构造长方体,如图I,使其
对角线与交于一点的三条棱的夹角分别为a、p、7。设长方体的棱长分
别为a、b、c,则
.
’
口 b C abcdg¨mg"吐g弘丽。而‘丽≤瓦万i
死
。—7一
例2.两组正数al、bl、Cl;a2、b2、Q满足条件:ai+a2=bI+b2=Cl+
ca=k,求证:alb2+blc2+eIa2
表示点A(a,b)与B(一1,一
1
1)的距离的平方;又点A(a,b)在直线a—b=l上,且B到直线a—b=1的距离为d=号而lABl≥d
it
即(a+1)2+(b+1)2≥—}
例4:已知,1≤a—b≤2且2≤a+b≤4,求4a一2b的范围
分析:对这道题,不少同学采用了一种错误的解法(这里略)。如果仔细分析题目中所给条件的几何背景,
我们不难得到一种直观而又简捷的解法。
在坐标平面aob上,作出四条直线:a+b=2,a+b=4,a—b=1,a—b=2,则条件表示平面上阴影部分(包
括边界)如图3所示,令4a一2b:m,则b:2a一导,显然m为直线系4a一2b=In在b轴上截距2倍的相反数;
2 1
易看出,直线4a一2b=m过阴影最左边的点A(号,专)时,‰。=5,过阴影最右边的点B(3,1)时,rnn。=10。
故5≤4a一2b≤10。
例5:集合A=/(x,yJI戈=n,Y=僦+6,z∈zl,B=,r戈,yJI茗=m,Y=3x2+15,菇∈g,,G=,f石,yJ
矿+y2≤144},问是否存在实数对(a,b),使AIB≠甲且(a,b)∈C
分析:本题若用常规解法来解有一定的难度,若转换视角,将a、b看成主元,以形助数,问题很快得到解
决。
解:‘.。A IB≠9.’.ax+b=3f+15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①有解
又(a,b)∈c.·. a2+b2≤144⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
.·.①、②同时成立铸在aob坐标系中,直线ax+b=3x2+15与圆
a2+b2=144相交所以糌鲫.·.(阳)2<。
这与x∈z相矛盾,故这样的a、b不存在
『戈+),+z=o
例6:设实数x、y、z满足1石。+,qt:z+。::譬,其中。>or’i。J.,--_H.⋯n\¨
求证:o≤x≤等,o≤y≤等,o≤z≤等
苍
\鞣.、
口夕捧6一//
_,
图3
分析:先探求o≤z≤孚的证法,考虑从已知等式中消去x、y,建立
只含有a、z的关系式。若从代数角度着眼,不易找到着手点。但若从题设方程组的几何意义着眼,则从直线x+
y=a—z与圆x2+y2:芋一z有公共点这一位置关系不难想到,圆心到直线之距离不大于圆的半径,于是可得:
峥≤∥周。≤z≤争同理可证另夕卜两个不等式o
138
参考文献
[1]黄兆金.构造解析几何模型解代数问题的几种思考途径【J].中学数学教学参考,1996,(12).
【2】杨富生.运用构造法巧解三角题[J】.中学数学教学参考.1997,(3).
■ ●
(责任编辑:唐仁献)
万方数据
尝试"以形助数"获得解题思路
作者: 周冬林
作者单位: 湖南省永州市三中,湖南,永州,425006
刊名: 零陵师范高等专科学校学报
英文刊名: JOURNAL OF LINGLING TEACHERS' COLLEGE
年,卷(期): 2001,22(3)
被引用次数: 0次
参考文献(2条)
1.黄兆金 构造解析几何模型解代数问题的几种思考途径 1996(12)
2.杨富生 运用构造法巧解三角题 1997(03)
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_llxyxb200103059.aspx
授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:f235e611-4f31-4b4e-9bb6-9dc90135bfe5
下载时间:2010年8月5日