尝试以形助数获得解题思路

示点A(a，b)与B(一1，一 1 1)的距离的平方；又点A(a，b)在直线a—b=l上，且B到直线a—b=1的距离为d=号而lABl≥d it 即(a+1)2+(b+1)2≥—} 例4：已知，1≤a—b≤2且2≤a+b≤4，求4a一2b的范围 分析：对这道题，不少同学采用了一种错误的解法(这里略)。如果仔细分析题目中所给条件的几何背景， 我们不难得到一种直观而又简捷的解法。 在坐标平面aob上，作出四条直线：a+b=2，a+b=4，a—b=1，a—b=2，则条件表示平面上阴影部分(包 括边界)如图3所示，令4a一2b：m，则b：2a一导，显然m为直线系4a一2b=In在b轴上截距2倍的相反数； 2 1 易看出，直线4a一2b=m过阴影最左边的点A(号，专)时，‰。=5，过阴影最右边的点B(3，1)时，rnn。=10。 故5≤4a一2b≤10。 例5：集合A=／(x，yJI戈=n，Y=僦+6，z∈zl，B=，r戈，yJI茗=m，Y=3x2+15，菇∈g，，G=，f石，yJ 矿+y2≤144}，问是否存在实数对(a，b)，使AIB≠甲且(a，b)∈C 分析：本题若用常规解法来解有一定的难度，若转换视角，将a、b看成主元，以形助数，问题很快得到解 决。 解：‘．。A IB≠9．’．ax+b=3f+15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①有解 又(a，b)∈c．·． a2+b2≤144⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯② ．·．①、②同时成立铸在aob坐标系中，直线ax+b=3x2+15与圆 a2+b2=144相交所以糌鲫．·．(阳)2<。 这与x∈z相矛盾，故这样的a、b不存在 『戈+)，+z=o 例6：设实数x、y、z满足1石。+，qt：z+。：：譬，其中。>or’i。J．，--_H．⋯n＼¨ 求证：o≤x≤等，o≤y≤等，o≤z≤等 苍 ＼鞣．、 口夕捧6一／／ _， 图3 分析：先探求o≤z≤孚的证法，考虑从已知等式中消去x、y，建立 只含有a、z的关系式。若从代数角度着眼，不易找到着手点。但若从题设方程组的几何意义着眼，则从直线x+ y=a—z与圆x2+y2：芋一z有公共点这一位置关系不难想到，圆心到直线之距离不大于圆的半径，于是可得： 峥≤∥周。≤z≤争同理可证另夕卜两个不等式o 138 参考文献 [1]黄兆金．构造解析几何模型解代数问题的几种思考途径【J]．中学数学教学参考，1996，(12)． 【2】杨富生．运用构造法巧解三角题[J】．中学数学教学参考．1997，(3)． ■ ● (责任编辑：唐仁献) 万方数据 尝试"以形助数"获得解题思路 作者： 周冬林 作者单位： 湖南省永州市三中,湖南,永州,425006 刊名： 零陵师范高等专科学校学报 英文刊名： JOURNAL OF LINGLING TEACHERS' COLLEGE 年，卷(期)： 2001，22(3) 被引用次数： 0次 参考文献(2条) 1.黄兆金 构造解析几何模型解代数问题的几种思考途径 1996(12) 2.杨富生 运用构造法巧解三角题 1997(03) 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_llxyxb200103059.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：f235e611-4f31-4b4e-9bb6-9dc90135bfe5 下载时间：2010年8月5日