小学数学疑难问题研究

《小学数学疑难问研究》 第一章 有关“数与代数”的疑难问题 第一节 数的认识与大小比较 A1—1 自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？ 【自然数】 “数”（shù）起源于数（shǔ），一个、一个地数东西。由此而产生的用来示物体个数的数 一，二，三，…… 就叫自然数。零表示没有东西可数，零也是一个自然数。“一”是自然数的单位。任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。 【自然数的产生】 自然数概念的产生，经过了漫长的岁月。首先，产生的是“有”、“无”的概念。原始人在打猎、捕鱼或采集果实时，对于猎物或果实的有、无是最为关心的。然后，“有”的概念进一步分化为“多”和“少”。为了比较多少而使用一一对应的方法时，必然会遇到“同样多”的物体集合（即等价集合）。等价集合被归入一类，并且从中选出一个大家熟悉的集合来表示这类集合的共同性质。其实质就是用具体的集合形象地表示数目的多少。例如，用一个人的耳朵的集合作为一类等价集合的代表。逐渐地，这类等价集合被称为“耳”。最后，脱离具体的事物集合，用专门术语表示一类等价集合的共同性质。于是，“耳”就演化为“二”。自然数“二”的概念就这样产生了。（图1—1） 图1—1 表示自然数的名词，许多都是从常见的实物演变而来的。如藏文“二”有“翼”的意思，梵文的“五”与波斯语的“手”相近。南美洲有些地方干脆把“五”叫做“手”，“六”叫做“手一”，“七”叫做“手二”等等。这些事实都说明自然数的概念来源于实践。 【弗莱格—罗素的自然数定义】 1884年，德国数学家、逻辑学家弗莱格（F.L.G.Frege 1848—1925）在他的著作《算术基础》中，最先给出了自然数的定义。但这个成果当时少为人知。直至1902年，英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素（B.A.W.Russell 1872—1970）重新给出这个定义。在他们作出的被后人称之为“弗莱格—罗素的自然数定义”中，将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集。” 能和有限集A建立一一对应的（即和A等价的）所有集组成的集称为“集A的基数”。记为 。即 ={B│B~A} 其中，~表示集的等价关系。为了使自然数的这个定义通俗易懂，有些用于教师教育的《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”。以往的人教版小学数学教科书在教学“5的认识”时，首先引导小学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪，以及五根小棒、五粒算珠、五颗五角星等不同的物体集合。然后，引导小学生寻求这些物体集合的共同点：“它们都是五个”。“五”就是这些物体集合的共同性质。从而初步形成自然数“五”的概念。可见，小学生对自然数的基数意义的 认识，和弗莱格-罗素的自然数定义实质上是一致的。 【皮亚诺公理】 为了建立自然数的公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺（G .Peano 1858—1932）在1891年给出了关于自然数的五条公理： ①0是一个自然数。 ②0不是任何其它自然数的继数。 ③每一个自然数a都有一个继数。 ④如果自然数a与b的继数相等，则a、b也相等。 ⑤（数学归纳法公理）如果一个由自然数组成的集合S包含0，并且当S包含某一个自然数a时，它一定也含有a的继数，那么S就包含全体自然数。 皮亚诺的这一公理系统被称之为“皮亚诺公理”，它标志着数学分析算术化运动的终结。 参考书 [1]《中国大百科全书 数学》中国大百科全书出版社1988年11月第1版，P220；321—322； 461；510。 [2]《中学数学教师手册》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—331。 [3]《逻辑与小学数学教学》金成梁著，北京师范大学出版社2001年9月第1版，P19—20。 A1—2 自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？ 【基数】 当自然数0，1，2，……用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”这里的“5”就是基数。 【序数】 当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。 上体育课时排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，那么这个“35”既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。 在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境（即上下文）来判定。 A1—3 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？ 【正整数】 一个、一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，……也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称自然数。 【负整数】 为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引用了正数与负数。如“盈利5元”用“+5元”表示，“亏损5元”就用“－5元”表示。 这种在一个数前添加的表示它的“正”、“负”的符号叫做“性质符号”。添加了性质符号“+”或“－”的数分别称为“正数”与“负数”。“0”既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负号“－”的正整数叫做负整数。 【整数】 正整数、零与负整数统称“整数”。（如图1-2） 负整数 正整数 正整数 ……，－3，－2，－1，0，+1，+2，+3，…… 整数 零 自然数 负整数 整数 图1—2 【皮亚诺的整数系】 皮亚诺在构造了自然数系的公理后，又构造了整数系。 首先，用自然数偶（m，n）表示整数： 用（m+n，m）表示正整数n； 用(m，m)表示数0； 用（m，m+n）表示负整数－n。 第二步，定义数偶的加法、乘法与大小关系： （m,n）+(k,l)=(m+k,n+l); (m,n) · (k,l)=(mk+nl,ml+nk); (m,n)＜(k,l)当且仅当m+l＜n+k. 可以证明：经过这样定义的整数集满足加法与乘法的结合律、交换律和乘法对加法的分配律。它包含有数0，对任何整数n，有 0+n=n 还包含了单位元素1，对任何整数n，有 1·n=n 对于任何整数m、n，方程m+x=n总有唯一解。并且整数集关于“＜”构成一个有序集。 参考书 《中学数学教师手册》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—309。 A1—4 为什么以前规定“零不是自然数”，现在又规定“零是自然数”？ 1891年，意大利数学家G·皮亚诺在建立自然数的公理化体系时，给出的第一个公理就是“0是一个自然数”。可见，在欧美各国的学术界，这样的观点处于主导地位。 1949年中华人民共和国成立后，欧美的一些主要国家联合起来，对我国实行经济封锁。导致我国与原苏联订立“中苏友好互助同盟条约”，并且提出“向苏联学习”的口号。许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本编译的。M·K格列本卡著高等学校教学用书。《算术》P6中明确指出：数（shǔ）树上的苹果时，可能某一棵树上一只苹果也没有。这时我们就说这棵树上的苹果数目为零。零就是没有东西可数。零作为一个数，不属于自然数。 于是，“零不是自然数”的判断在中小学数学课程中广为传播。 20世纪80年代以来，为了实行对外开放，便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-29）第311页，规定：自然数包括零。随后，在进行中小学数学教材的修订时，根据上述国家标准进行了修改。数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。0也是自然数。 1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准，物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N=｛0，1，2，3，…｝。而将原自然数集称为非零自然数集 N+（或N*）=｛1，2，3，…｝ 自然数集扩充后，自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之发生变化，如自然数加法与乘法的定义中要去掉原有的“非空”二字，对于与自然数有关的命题的论证，应随自然数扩充后作相应调整。如数学归纳法证明的步骤应是： 1°验证n=0时，命题成立； 2°假设n=k－1时命题成立，证明n=k时命题仍然成立。 从而与G·皮亚诺1891年给出的关于自然数的公理⑤一致。 科学概念的定义，它的内涵与外延的明确界定，本来就是一种人为的规定。它可以随着科学、技术的发展而由权威科学家的群体重新定义。不久前，天文学家对“行星”的重新定义使得冥王星不再是我们这个太阳系的九大行星之一。 【自然数的分类】 规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也将发生变化（如图1—3）： 质数（有且只有2个约数） 合数（有3个或3个以上的约数） 1（只有1个约数） 0（0以外的任何数都是它的约数） 参考书 高等学校教学用书《算术》，M·K·格列来卡著，商务印书馆，1957年4月5日版 A1—5 “自然数集”、“自然数列”和“扩大的自然数列”有哪些区别和联系？自然数列有哪些基本性质？ 【自然数集】 所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。 【集合概念】与【非集合概念】“自然数”和“自然数集”是两个不同的概念。我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。“自然数”则是非集合概念。 作为练习，试区分下面的概念中，哪些是集合概念，哪些是非集合概念： （1）到A、B两点距离相等的点； （2）到A、B两点距离相等的点的轨迹； （3）中国数学家； （4）中国数学协会。 【自然数列】 将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列， 0，1，2，3，… 这样的一列数叫做自然数列。“自然数列”和“自然数集”都必须包括所有的自然数，但它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。只要有一处违反了这样的顺序，如0，2，1，3，……，它就不是自然数列。当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。 【自然数列的性质】 自然数列有以下性质： （1）有始。自然数列是从0开始的。0不是任何其它自然数的继数； （2）有序。每一个自然数都有且只有一个继数；除了0，每个自然数都有且只有一个先行的数； （3）无限。自然数列是一个无限数列。没有最后的（或者说最大的）自然数。 【扩大的自然数列】 这是一个应该消亡的数学名词。当我们认为“0不是自然数”时，把 1，2，3，…… 叫做“自然数列”。而将 0，1，2，3，…… 称为“扩大的自然数列”。现在，国家标准重新规定“0是自然数”，因此，后者顺理成章地应该称之为“自然数列”。“扩大的自然数列”作为一个数学名词已经不再需要。 A1—6 “计数”、“记数”、“数数”、“写数”、“读数”各指什么？什么是计数的基本原理？为什么我们的计数制和记数制都是十进制？ 【计数（count）】【数数】 “计数”就是“数数”。指的是把一些事物与非负自然数列里的数1，2，3，……建立一一对应的过程。 【计数原理（counting principle）】 计数的基本原理如下： 只要不遗漏、不重复，计数的结果与计数的顺序无关。 【十进制计数法】 计数时，可以一个，一个地数，也可以几个、几个地数。如二个、二个地数；五个、五个地数；十个、十个地数等。二、五、十等都是计数单位。用一（个）、十、百、千、万、……等作为计数单位的计数方法叫做十进制计数法。这时，每十个较低的计数单位等于一个较高的单位。 实际运用十进制计数法时，要从尽可能大的计数单位数起。如数一盘草莓，先十个、十个地数，剩下不足十个时，再一个、一个地数。最后弄清这盘草莓的个数是几个十、几个一。（这里的“几”应该是不大于9的自然数。）运用十进制计数法，我们就可以弄清一个自然数N是由几个一、几个十、几个百、几个千、……组成的。这里的“几”都是不大于9的自然数。用符号表示就是 ， 其中，0＜ ≤9，0≤ ，…， ≤9。 【记数】【写数】 “记数”就是“写数”。指的是如何用数字符号将一个数N（或者计数的结果）记录下来。 【十进制记数法】 当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进位记数制用数字符号0，1，2，…，9把这个数记录下来。 由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。现在国际上通用的记数方法是用 0，1，2，…，9 分别表示自然数列里的前十个数。其它自然数则用这些数字按“位值原则”表示出来。即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。每个数位表示一种计数单位。同一个（0以外的）数字在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。 在所记的数里，从右向左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，……。个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百，……。如果一个数是由八个百、三个十和五个一组成的。就把它写作835。一般地，如果一个自然数 ， 其中，0＜ ≤9，0≤ ，…， ≤9。则此自然数就写作 。因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制记数法。 A1—7 “数”和“数字”的区别和联系是什么？ 【数字（numerals）】用来记数的符号叫做“数字”。 数和数字是两个不同的概念。数或为单数、或为双数，或为质数、或为合数。数字或为罗马数字、或为阿拉伯数字，或为手写的数字、或为印刷的数字。事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。数是数字所表达的而不是数字本身。 中国是世界上的文明古国之一。用文字记数在我国已有悠久的历史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。一、十、百、千、万各有专名。特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制记数法”是一致的。 A1—8 说“43”是数而不是数字对吗？ 表示数的符号叫做数字。因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是一个数字。是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。此外，在许多上下文中，43也确实可以表示一个数，由四个十与三个一组成的数。 另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。在这里，因为出现了数字“4”，所以k≥5。 总之，“43”既是一个数，也是一个数字。当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。 A1—9 “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？ 【数的组成】 我们在引导学生认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。如认识一个千以内的数，要弄清它是由几个百、几个十与几个一组成的。可以先用计数单位“百”一百、一百地数。剩下的不足一百个时，再用计数单位“十”十个、十个地数。最后，如果剩下的不足十个，再一个、一个地数。即用十进制计数法弄清数的组成。 【数的名称】 每一个自然数的名称都是根据它的组成规定的。为此，制定了根据自然数的组成来为它命名的规则。同时，也制定了按十进制位值原则用数字符号0，1，2，…，9来表示一个自然数的规则（“写数规则”），也就是“十进制记数法”。 所谓“读”，就是根据一个数的符号，说出它的名称；所谓“写”，就是根据一个数的名称写出表示这个数的数字符号。“自然数的读写”就是一个数用自然语言和用符号语言的两种表述之间的相互改写。如图（1—4）所示： 图1—4 总之，数的组成是用十进制计数法计数的结果，数的组成是给这个数命名的依据，也是用数字符号表示这个数的依据。因而也是数的读写的基础。可见，数的组成是认数教学的核心问题。 A1—10 “十进制”和“二进制”的相同点和不同点有哪些？ 【进位制】 如果在所用的一系列计数单位中，每十个某单位都组成一个和它相邻的较高的单位，即所谓“满十进一”，那么这种计数制就是“十进制”。如果是“满二进一”，就是“二进制”，十进制和二进制都是“进位制”。十和二分别是这两种进位制的基数。进位制的基数可以是大于1的任何自然数。 运用十进制计数法，我们可以将任何一个自然数N 表为 其中，0＜a0≤9；0≤a1，…，an≤9。 运用二进制计数法，可将自然数表为 其中，a0=1，0≤a1，…，an≤1。 可见，十进制和二进制都可以将一个自然数分解为不同底数的幂的和。 在十进制记数法中，我们用十种不同的数字0，1，2，…，9按照位值计数法来表示不同的自然数。在二进制记数法中，只用两个不同的数字0，1就能表示任何自然数。表示自然数列中前几个数的二进制数字与十进制数字的对应关系如下表： 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 … 因此，作为记数法，他们运用的不同数字的个数不同；表示同一个自然数时，所需数位的个数也不同。 A1—11 “精确数”和“近似数”、“相对误差”和“绝对误差”以及“有效数字”和“可靠数字”有什么区别？什么是科学记数法？（李同贤） 【准确数与近似数】 在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这些数叫准确数，如某校的数学教师有15人、6×1.2=7.2等等，但在生产、生活和计算中得到的某些数，往往只是接近于准确数，这种数叫近似数。如“某市人口有75万，”75万就是一个近似数。因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁入和迁出，出生和死亡，人口的数目随时都在变化，很难得出准确的人口数。在计算圆周长的公式里，圆周率 可以用3.14代入计算，3.14也是 的近似数。 可见，准确数与近似数主要区别在于是否与实际情况完全相符。 【不足近似值与过剩近似值】 小于准确数的近似值，叫不足近似值；大于准确数的近似值，叫过剩近似值。例如，3.14、3.142分别是圆周率 的不足近似值和过剩近似值。 【误差、绝对误差和相对误差】 准确数A与它的近似值a之差A－a叫做这个近似数的误差，误差的绝对值 叫绝对误差。 近似数的绝对误差除以准确数的绝对值所得的商叫做这个近似数的相对误差。 实际计算时，由于准确数往往不得而知，所以只能用近似数的绝对值代替准确数的绝对值来 计算相对误差。 例如，甲、乙两人量边长为1米的正方形的对角线的长度。甲量得的结果是1.41米，乙量得的结果是1.42米。则两人的测量结果的绝对误差分别是： （米）； （米） 相对误差分别是： %和 % 绝对误差一般用来比较同一个数量的两个不同近似数的精确度，而相对误差则往往用来比较两个不同数量的近似数的精确度。 【有效数字与可靠数字】 一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的半个单位，则从左端开头的第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字。 例如，取 ≈3.14，因为 ＜0.01÷2，所以圆周率的近似值3.14有三个有效数字；如果取 ≈3.1416，则 ＜0.0001÷2，所以近似值3.1416有5个有效数字。 一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的一个单位，则从左端开头的第一个非零数字起到末位数字止，所有数字都叫这个近似数的可靠数字。 1、用四舍五入法截得的近似数，从它的左面第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是有效数字。也都是可靠数字。 2、用进一法或去尾法截得的近似数，从它的左面第一个不是零的数字起到末位止，所有的数字都是可靠数字。在这些可靠数字中，除末位外，都是有效数字。 【科学计数法】 当近似数是整十、整百、整千、……的数时，如果不加说明，我们就无法确定它们的有效数字和可靠数字。例如，近似数5700，如无说明，我们就不能确定它是用什么方法截取到那个数位得到的，它可能是精确数5698用四舍五入法截取到百位得到的，也可能是5698截取到十位得到的，如果是前一种情况，那么它有两个有效数字（5、7），如果是后一种情况，那么它有三个有效数字（5、7、0），如果它是某个精确数用四舍五入法保留到个位得来的。那么它就有四个有效数字（5、7、0、0）。 为了解决上述矛盾，我们规定：当一个近似数a是整十、整百、整千、……的数时，就把他写成 的形式，其中 是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1≤ ＜10，k是正整数。例如用四舍五入法把799.7分别截取到个位、十位、百位的近似数分别是： 精确到个位：799.7≈8.00×102，有3个有效数字； 精确到十位：799.7≈8.0×102，有2个有效数字； 精确到百位：799.7≈8×102，有1个有效数字。 又如，近似数3.6×106有两个有效数字，9.81×105有三个有效数字。 事实上，任何一个近似数都可以写成 的形式，其中 是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1≤ ＜10，k是整数，这种记数法叫做科学记数法。 参考书 [1] 《小学数学教材教法》第一册．人民教育出版社1994年12月第一版，P201、227． [2] 《中国中学教学百科全书》（数学卷），沈阳出版社，曹才翰主编．P14． A1—12 截取近似数时，“去尾法”、“进一法”与“四舍五入法”的主要区别是什么？为什么常用“四舍五入法”？ 【四舍五入法】 在截取近似数时，通常规定： ·如果去掉的尾数中，最高位数是5或比5大，那么就在留下的数的最低位加一； ·如果去掉的尾数中，最高位数小于5（即是4或比4小），那么留下的数不变。 像这样的截取近似数的方法，叫做四舍五入法。 如圆周率 ，用四舍五入法截取两位小数的近似值时，得 ；截取四位小数的近似值时，得 。 【去尾法】 如果为截取近似数而去掉尾数时，不论去掉的尾数的最高位数是否小于5，留下的数都不变，那么这样的截取近似数的方法叫做去尾法。 【进一法】 截取近似数时，如果不论去掉的尾数的最高位数是否小于5，留下的数的最低位都加一，那么这样的截取近似数的方法叫做进一法。 在截取近似数的具体问题中，一般用四舍五入法。但有时要根据具体问题的不同情况运用去尾法或进一法。 例如，做一套服装要用4m布，50m布能做多少套服装。50÷4=12.5 ≈12（套）。在这里，因为服装的套数只能是自然数，所以商12.5必须用去尾法截取成自然数12。在这个问题中，用整数范围内的有余数除法50÷4=12……2更为合适。则是“能做12套，还余布料2m”。 又如，3840kg的粮食用每袋可装100kg的口袋来装，需要用多少口袋？3840÷100=38.4≈39（个），尽管最后只剩下了40kg粮食，还得用一个口袋来装。 截取近似数的以上三种方法的主要区别在于所得近似数的误差不同，列表说明如下： 截取的方法 所得近似数 原精确数的范围 近似数和原数的 绝对误差不超过 四舍五入法 3.14 3.1350…~3.1449… 0.005 去 尾 法 3.14 3.1400…~3.1499… 0.01 进 一 法 3.14 3.1301…~3.1399… 0.01 可见，用四舍五入法截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的半个单位；而用去尾法或进一法截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的一个单位。 A1—13 在截取一个数的近似数时，为什么不宜连续两次运用“四舍五入法”？ 例如，要把724600四舍五入到万位，下面的两种做法得数为什么不同？ 方法一 724600≈720000 方法二 724600≈725000≈730000 方法一符合“四舍五入法”的操作规范的要求，所得近似数的误差不会超过保留部分的末位的半个单位。 方法二连续两次运用了“四舍五入”，不符合操作规范，所得近似数的误差已超过保留的末位的半个单位。事实上，730000并不是724600的四舍五入到万位的近似数，而是725000的四舍五入到万位的近似数。 因此，在实际操作中，不允许像上面那样对于一个数连续两次运用四舍五入法。 A1—14 “小数”概念如何定义和分类？ 【小数】【十进分数】 把单位“1”平均分成10份、100份、1000份、……，这样的1份或几份，可以用分母是10、100、1000、……的分数来表示。如 、 、 、……。这种分母是10的正整数次幂的分数叫做十进分数。这些分数的单位分别是 、 、 、……，每两个相邻的单位间的进率都是10。从 到整数个位的计数单位1，进率也是10。所以这些分数可以仿照整数的写法，写在整数个位的右面，并用小圆点“·”隔开，写成0.1、0.07、0.329、……。用这种形式写出的用来表示十分之几、百分之几、千分之几、……的数叫做小数。 【小数点】 在小数中，用来将个位与十分位隔开的小圆点叫做小数点。小数点左边的部分称为这个小数的整数部分；小数点右边的部分称为小数的小数部分。 小数的整数部分可以是0，也可以不是0。 【纯小数与带小数】 根据一个小数的整数部分是不是0可以把小数分为纯小数和带小数。如果小数的整数部分是0，那么这个小数就称为纯小数。如果小数的整数部分不是0，那么这个小数就称为带小数。 如0.1、0.07、0.329等都是纯小娄；1.5、3.14、12.06等都是带小数。 【有限小数与无限小数】 小数还可以根据它的小数部分的位数是不是有限分为有限小数和无限小数。小数部分的位数是有限的这样的小数叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。 由十进分数改写成的小数都是有限小数。 以及圆周率 等则是无限小数。 【无限循环小数和无限不循环小数】 一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，有一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数。（简称循环小数）如果在无限小数的小数部分中，没有依次不断重复出现的数字，那么这样的小数就叫无限不循环小数。如3.33……和0.2727……都是循环小数。圆周率3.14159265……就是一个无限不循环小数。 【循环节】 在循环小数的小数部分中，依次不断地重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 如3.33……的循环节是“3”，0.2727……的循环节是“27”。 为了简便，写循环小数时，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各记一个小圆点。如循环小数3.33……写作 ，0.2727……写作 ，6.2416416……写作 . 【纯循环小数和混循环小数】 如果循环小数的循环节是从小数部分的第一位开始的，那么这种循环小数就叫纯循环小数。如果循环小数的循环节不是从小数部分的第一位开始的，就叫混循环小数。 如 和 都是纯循环小数。 则是混循环小数。 【小数的分类】 按照小数部分的位数是有限还是无限，可以把小数分为有限小数和无限小数。 按照无限小数的小数部分是否有一个或几个数字依次不断地重复出现，可以把无限小数分为（无限）循环小数和无限不循环小数。 按照循环小数的循环节是否从小数部分的第一位开始，又可以把循环小数分为纯循环小数和混循环小数。如下表所示。 有限小数 纯循环小数 （无限）循环小数 无限小数 混循环小数 无限不循环小数 其中，有限小数就是十进分数以及分母不含2、5以外的质因数的最简分数改写成的小数；循环小数是分母含有2、5以外的质因数的最简分数改写成的小数。无限不循环小数就是无理数。 以上是根据小数的小数部分的不同特点所作的分类。此外，根据一个小数的整数部分是不是0，还可以把小数分为纯小数与带小数。 纯小数 小数 带小数 正的纯小数大于0而小于1，正的带小数大于1。 A1—15 整数、小数的计数单位有哪些？其中有没有最小的和最大的？为什么“整数的数位顺序表”与“小数的小数部分的数位顺序表”可以统一起来？ 在十进制中，整数的数位有个位、十位、百位、千位、万位、……，它们的计数单位分别是一、十、百、千、万、……。10个一是十，10个十是百，10个百是千，10个千是万，……。最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。越是向左，数位越高，计数单位越大。每个数位上的10个单位，就是相邻高位上的一个单位。 在十进制小数中，小数点右边的数位依次是十分位、百分位、千分位……，它们的计数单位分别是十分之一、百分之一、千分之一，……。其中，最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。它们也是十进制的，即10个百分之一是1个十分之一，10个千分之一是1个百分之一，……。也是“满十进一”。 因为10个十分之一是一，所以小数点右边的十分位的计数单位与小数点左边的个位的计数单位之间也是“满十进一”的关系。因此，整数的数位顺序表和小数的小数部分的数位顺序表可以统一起来，如下表所示： 数位顺序表 整 数 部 分 小数点 小 数 部 分 数 位 … 千 万 位 百 万 位 十 万 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 · 十 分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 … 计 数 单 位 … 千 万 百 万 十 万 万 千 百 十 一（个） 十 分 之 一 百 分 之一 千 分 之 一 万 分 之 一 … 数级 … 万 级 个 级 A1—16 “一位数”、“两位数”、“三位数”、……与“一位小数”、“两位小数”、“三位小数”、……各是怎样定义的？为什么0不是一位数？为什么最小的一位数是1而不是0？ 【一位数、两位数、三位数、……】 在非零自然数N*中，能用一个数字表示的叫一位数，能用两个数字表示的叫二位数，能用三个数字表示的叫三位数，……，以下类推。 因此，在十进位记数制中，一位数是指1，2，3，……，9；两位数是指10，11，12，……，99；三位数是指100，101，102，……999。以下类推。 以上是针对十进位记数制来说的。对于k进位记数制来说（k≠10），上述解释一位数、两位数、三位数、……的语句虽然仍然适用，但含意已有所变化。 【一位小数、两位小数、三位小数、……】 小数部分只有一个数字的小数叫一位小数，小数部分有两个数字的小数叫两位小数，小数部分有三个数字的小数叫三位小数，以下类推。 在十进制小数中，一位小数的末位是十分位，两位小数的末位是百分位，三位小数的末位是千分位，……。 在k进位记数制中，上述解释一位小数、两位小数、三位小数、……的语句仍然适用，但含意已有所变化。 【0不是一位数】 为什么0不是一位数？为什么最小的一位数是1，而不是0？ 【有效数字】 实际上，一位数、两位数等自然数都可以用更多的数字来表示。如两位数48可以表示为048；一位数6可以表示为006。为了分化出一位数、两位数等概念，我们约定：在一个自然数中，从计数单位最大的、不是零的数字起到个位止的数字是这个自然数的有效数字。有效数字有几个，这个自然数就称之为几位数。数0也可以用000来表示。事实上，不论用多少个0来表示都行，但其中没有0以外的数字。所以表示0的数码中没有一个有效数字。因此，0不是一位数。当然也不是两位数、三位数……。 不把0看作一位数，也是为了使一些数学规律得以成立。如关于常用对数的首数就有一个这样的定理：“常用对数的首数等于真数的整数位数减一。”所以lg50的首数是1；lg5的首数是0；lg0.5的首数是－1。如果把0看作一位数，那么lg0.5的首数岂不也是0吗？ 由于0不是一位数，一位数只有1，2，3，…，9共九个，所以，最大的一位数是9；最小的一位数是1，而不是0。 在二进制中，一位数只有一个，那就是1。 参考书 [1]高等学校教学用书《算术》， M．K．格列本卡著，商务印书馆1957年4月5版，P7。 A1—17 怎样认识“小数”与“分数”的关系？ 小学生最初认识的“小数”仅仅是有限小数。有限小数相当于十进分数，即分母中不含2、5以外的质因数的最简分数。这时，可以说“小数”是“分数”的种概念，“分数”是“小数”的属概念。“分数”与“小数”是属种关系。当人们试图用分子除以分母的方法将分母中含有2、5以外的质因数的最简分数化为小数时，发现余数会出现相同的，致使商中有一个或几个数字依次不断地重复出现。这时，商的小数部分的位数是无限的。于是导致“小数”概念从“有限小数”发展为包括“有限小数”和“无限小数”。而分数化小数时，要末化为有限小数，要末化为（无限）循环小数。而无限不循环小数则不可能由分数转化而来，它们是分数以外的另一类数。 【无理数与有理数】 无限不循环小数被数学家称之为“无理数”。而整数与分数则统称为“有理数”；有理数与无理又统称为“实数”。这些数的关系如下表所示。 整数 有限小数 …… 小数 （无限）循环小数 无限小数 无限不循环小数 …… 无理数 对于发展以后的“小数”概念，其中包括的有限小数与（无限）循环小数相当于“分数”。此外，还有一种无限不循环小数。因此，我们可以说“分数”是“小数”的种概念，“小数”是“分数”的属概念。“小数”与“分数”是属种关系。和前面的结论正好相反。但实际上两者并不矛盾。因为前面的结论中所说的“小数”仅仅指有限小数；后面的结论中所说的“小数”则包括了有限小数与无限小数。“分数”与“有限小数”的属种关系以及“小数”与“分数”的属种关系都可以从上面的表中清楚地看出。 A1—18 分数在现代数学中和在小学数学中的定义有什么不同？ 古埃及人在公元前17世纪就已经使用分数。我国成书于1世纪的《九章算术》中已载有分数的各种运算。 分数的使用源于除法运算的需要。设p、q都是整数， 。则方程 未必有整数解，为了使这个方程总是有解，有必要将整数集扩大成有理数集。 【分数在现代数学中的定义】 我们在整数的有序对（ ）（ ）的集合上定义如下等价关系： 设 \{0}。如果 ，则称 关于这个等价关系的等价类称为有理数。（ ）所在的有理数记为 。 令整数p对应于（p，1）所在的等价类，即对应于 ，就能把整数集嵌入到有理数集中。 习惯上 仍记为p。在有理数集中，整数以外的数称为分数。自然数、整数、分数与有理数的关系如下表所示： 正整数 自然数 零 整数 负整数 有理数 分数 【分数在小学数学中的定义】 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 分数的一般形式是 。这里的p、q都是整数，并且 。当p、q都是正整数时，分数 不仅可以看作把单位“1”平均分成q份，表示这样的p份的数。也可以看成把p个单位平均分成 q份表示这样的一份的数。 整数与分数统称为有理数。任何整数p都可以表示为 的形式。 对于有理数 来说，如果 ， =0；如果 ，则当pq＞0时，称 为正有理数；当pq＜0时，称 为负有理数。所以对于有理数，可以作出以下两种分类： 正整数 正整数 整数 零 正有理数 负整数 正分数 正分数 分数 负分数 【两者的比较】 “分数”在现代数学中的定义和在小学数学中的定义基本上是一致的。 在小学数学中给出的“分数”的定义实质上是正有理数 的定义，其中， ≥2。整数p可以表示为 ，不能说明“整数也是分数”。仅仅表示“整数是有理数”。因为 并不是分数所特有的表示形式，而是有理数所特有的表示形式。 参考书:《中国大百科全书 数学》 P374,603。 A1—19 “因为 ，所以3也是分数”对吗？整数是不是分数？整数和分数是什么关系？ 因为一个数可以表示为 （q≠0）的形式，就说这个数是分数，理由是不充分的。因为 ，其中p、q都是整数，并且q≠0，并不是分数所特有的表示形式，而是有理数特有的表示形式。整数可以表为这样的形式，只能说明整数是有理数。因此，根据 只能得出“整数3是有理数”。不能得出“3是分数”的结论。 【整数是不是分数？】 有理数 当 EMBED Equation.3 时是整数，当 p时才是分数。（图1— ） 整数 有理数 分数 【整数和分数是什么关系？】 可见，整数不是分数。由于“整数”与“分数”的外延是互相排斥的。并且它们的并集就是邻近的属概念“有理数”的外延。所以“整数”与“分数”这两个概念间的关系是矛盾关系。如图1-5所示。 参考书：《逻辑与小学数学教学》 P32。 A1—20 说“自然数1不同于单位1”对吗？任何一个物体都可以作为自然数“1”的现实原型。哪些物体还可以作为分数定义中的单位“1”的现实原型？ 【自然数的纯逻辑定义】 “1”是非零自然数中最小的一个，是自然数的最基本的单位。任何一个非零自然数都是由若干个“1”组合而成的。德国数学家弗雷格（F.L.G. Fregep.220 1848—1925）首创由逻辑出发来定义自然数时，首先把空集 定义为不与本身等同的事物组成的集： 因为任何事物都等同于本身，所以，不与本身等同的事物是不存在的。空集就是由这类不存在的事物组成的集合。自然数0被定义为空集的基数，即与空集等价的一切集合组成的集： 所以，0是一个数。{0}是以0为元素的集合。自然数1被定义为与{0}等价的一切集合组成的集： 然后，在此基础上进一步定义自然数2，以及其它自然数： 【自然数作为有限集的共同性质的抽象】 小学数学教科书根据小学生的心理特点，把每一个自然数作为可以建立一一对应的有限集合的共同性质从中抽象概括出来。如自然数“5”就是从画面上的五位解放军、五匹战马、五支冲锋枪，以及五根小棒、五粒算珠、五颗五角星等事物集合中，作为它们的共同点——“都是5个”而抽象概括出来的。每一个自然数都可以作为对一类可以建立一一对应的有限集进行同一性抽象的结果。每一个这样的有限集，都是这个自然数的现实原型。 【说“自然数1不同于单位1”对吗？】 作为自然数“1”的现实原型，可以是一个苹果，也可以是一堆苹果。这个苹果或这堆苹果都可以平均分为若干份，而用分数表示其中的一份或几份。它们也是分数定义中所说的平均分的对象，也是“单位1”的现实原型。分数定义中所说的“单位1”，实质上就是“自然数1”。说“自然数1不同于单位1”是不对的。不过“自然数1”和分数定义中的“单位1”的现实原型仍然有一些不容忽视的差异。任何一个物体都可以作为“自然数1”的现实原型。但作为分数定义中的“单位1”的现实原型，应该受到更多的条件限制。如一块蛋糕可以平均分给两位小朋友，每人分得这块蛋糕的二分之一。但一只小白兔无法平均分给两位小朋友。类此，一辆汽车也不能平均分为两份，但一辆汽车的价格可以由两人平均分摊。把一个班的学生平均分为几个小组受到全班人数的制约，平均分成的份数只能是全班人数的约数。 但现实原型的差异不能作为“自然数1”不同于“单位1”的理由。当我们把“单位1”平均分为两份，而用 表示每一份后，自然有 + =1 我们能说：这个等式中的“1”是“单位1”、但不是“自然数1”吗？ 参考书：《中国大百科全书 数学》 P220 A1—21 说“分数可以分为真分数、假分数与带分数”对吗？ 分数可以按照不同的标准来分类。如按照分子与分母有没有1以外的公约数，可以把分数分为可约分数和最简分数。分子与分母有1以外的公约数的分数叫做可约分数；分子与分母没有1以外的公约数的分数叫做最简分数（又称既约分数）。还可以按照分子是否小于分母分为真分数和假分数。分子小于分母的分数叫真分数；分子不小于分母（即分子大于或等于分母）的分数叫做假分数。 可约分数 真分数 分数 分数 最简分数 假分数 ┆　　　　　　　　　　　　　　 　　　┆ 在分数的后一种分类中，分类的结果应该是两个子项——真分数与假分数。它们的外延的和（即外延的并集）等同于分数的处延。因此，不应该再有其它的子项。因此，说“分数可以分为真分数、假分数与带分数”是不对的。 此外，根据定义，“带分数”是“一个整数和一个真分数合成的数”。实际上是一个整数与一个真分数的和，而不是一个分数。怎能成为分数分类的一个子项呢？ A1—22 说“假分数的分子大于分母”错在哪里？ 根据小学数学对假分数所下的定义，分子等于或大于分母的分数叫做假分数。可见，假分数有两类：分子大于分母的假分数和分子等于分母的假分数。如果一个分数是假分数，那么它的分子大于分母或者分子等于分母。这时，我们可以根据一个“分数是假分数”推出“它的分子大于分母或者分子等于分母”。但我们推不出“分子大于分母”，也推不出“分子等于分母”。 正如根据ab=0 推不出a=0，也推出b=0，只能推出a=0或b=0。这样看来，说“假分数的分子大于分母”可能犯了“推不出”的逻辑错误。 此外，这样说也可能是由于对“假分数”的定义有误解，把假分数误认为是“分子大于分母的分数”，犯了“定义过窄”的逻辑错误。 根据现代数学对分数所下的定义，有理数 当 时是整数； 时是分数。因此 时， =1是整数； ＞ 时， 时才是分数。所以说“假分数的分子大于分母”还是正确的。 A1—23 “分数单位”和“单位分数”、“最简分数”和“既约分数”有没有区别？（李同贤） 【分数单位】 分数 是由p个 组成的， 叫做 的分数单位，分数单位 的实际含义就是把单位“1”平均分成q份中的一份。 分数的分母不同，分数单位也就不同。例如， 的单位是 ，而 的单位是 ，因此，分数单位不是一个固定的数，分母越大，分数单位就越小。 最大的分数单位是 ，比 小的分数单位有 ……，没有最小的分数单位。 【单位分数】 每个分数单位本身也是一个分数，这些分子是1分母是正整数的分数，也叫单位分数。 【最简分数】【既约分数】 分子与分母互质的分数叫最简分数，也叫既约分数。“最简”是从化简的角度提出的要求，“既约”是从约分的角度给出的标准。分数要化简，分子、分母就得约分，分子、分母约分的目的是化简分数。两者最终统一到“分子与分母互质”这一点上。 有人建议把“最简分数”的定义修改为“分子、分母是互质数、并且分子小于分母的分数”。 最简分数的概念是为约分提供最终结果的标准，按修改后的定义，约分后最终结果出现假分数时就必须化为带分数，而带分数不便于进行分数的乘除运算。 从理论上讲，带分数指的是一个自然数与一个真分数的和，在进一步学习数学和其他科学技术时并不是必不可少的，国内外有些小学数学教科书甚至根本就不给出带分数的概念。因此，最简分数的定义还是表述为“分子与分母互质的分数叫最简分数”为宜。 A1—24 百分数是不是一种数？“百分数就是分母是100的分数”对吗？“百分数”、“百分比”和“百分率”有什么不同？“成数”、“千分数”、ppm、bpm各指什么？ 【百分数】 【百分比】 【百分率】 表示一个数是另一个数（或一个量是另一个同类量）的百分之几的数叫做百分数。百分数通常用来表示两个数（或两个同类量）的比，所以又叫“百分比”或“百分率”。 百分数实质上是一个分母是100、分子是整数或小数的分数。如 、 等。这些用于特定场合的、分母是100的分数通常写成71%、2.25%。1%即 是百分数的单位。在20世纪50年代前，百分数有时也被定义为分母是100的分数。这样的定义不能突出它用来表示两个数（或两个同类量）的倍比关系的专门用途。 百分数与分数的区别在于：分数既可以表示两个数或两个同类量的倍比关系，也可以用来表示具体的数量。而百分数只用于表示两个数量的倍比关系。 与“百分数”类似的还有“成数”、“千分数”，ppm和bpm。 【成数】 农业的收成或其增减常用“成数”表示。“几成”就是十分之几。如江苏省城镇居民的收入2005年比2001年增长6成7，即增长 ，也就是67%。 【千分数】 表示一个数是另一个数的千分之几的数叫做千分数。如“千分之三十七”即 记为37‰。千分数的单位是千分之一，即1‰。 【ppm和bpm】 在科学技术上，为了表示微量元素的含量，还用到更小的单位“百万分之一”（即ppm）和“十亿分之一”（即bpm）。 A1—25 自然数大小的“基数意义”和“序数意义”有什么区别和联系？怎样证明自然数没有最大的？ 【自然数大小的基数意义】 每个自然数都是所有可以建立一一对应的有限集组成的集，或者说是一类可以建立一一对应的有限集的共同性质。（参看本书P. 1 ）。 设A、B是两个有限集，a、b是它们的基数，即 ， 则自然数a、b的大小可作如下规定：如果有集合 ，并且 ~B即A有一个真子集和B等价，则a＞b；如果有集合 ~ （即B有一个真子集和A等价），则a＜b；如果A~B，则a=b。因为空集是任何一个非空有限集的真子集，所以空集的基数0小于任何一个非空有限集的基数（即零小于任何一个零以外的自然数）。小学教科书在解释两个数的大小的意义时，和上面的定 义实质上是一致的。如下图所示。 ☆ ☆ ☆ ☆ ┆ ┆ ┆ ┆ ☆ 和 ★ 同样多。 ★ ★ ★ ★ 4 = 4 读作：4等于4 ┆ 等号 ○ ○ ○ ○ ○ ┆ ┆ ┆ ● ● ● ○ 比 ● 多。 ● 比 ○ 少。 5＞3 读作：5大于3。 3＜5读作：3小于5。 ┆ ┆ 大于号 小于号 【自