第7讲 物以类聚——话说同类项

新课标七年级数学竞赛讲座 www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 第七讲第七讲第七讲第七讲 物以类聚物以类聚物以类聚物以类聚————————话说同类项话说同类项话说同类项话说同类项 俗话说“物以类聚，人以群分”．在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且 相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以 合聚在一起——称为合并同类项．整式的加减实质就是去括号合并同类项． 整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是 解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点： 理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则． 解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题 过程大为简化． 例题 【例 1】 当 x的取值范围为 时，式子 431744 +−−−+− xxx 的值恒为 一个常数，这个值是 ． (北京市“迎春杯”竞赛题) 思路点拨 去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“ x ”的项，由此得出 x 的 取值范围． 注：数学概念是容的基础．是数学推理和论证的基础．科学研究表明，概念的形成过程 中，人们的心理活动经历着以下阶段： (1)辨别不同的事物；(2)抽象一类事物的共同属性； (3)用简洁的语言符号给概念下定义、 定名称． 在概念学习中，应注意以下策略： (1)关键字词理解的策略； (2)正、反例对比策略； (3)相似概念比较策略；(4)概念系统化策略． 【例 2】已知 ,,0 baba ≠=+ 则化简 )1()1( +++ b b a a a b 得( )． A．2a B．2b C．十 2 D．一 2 (江苏省竞赛题) 思路点拨 由已知条件可推得多个关系式，这是解本例的关键． 【例 3】 已知 x＝2，y=一 4时，代数式 19975 2 13 =++ byax ，求当 2 1 ,4 −=−= yx 时，代数式 4986243 3 +− byax 的值． 思路点拨 一般的想法是先求出 a，b的值，这是不可能的(为什么?)解本例的关键是： 将给定的 x、y值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代人求值． 【例 4】已知关于；的二次多项式 5)2()3( 3223 −++++− xxxbxxxa ，当 x=2时 的值为一 17，求当 x=一 2时，该多项式的值． (“希望杯”邀请赛题) 思路点拨 设法求出 a，b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等 概念挖掘隐含的关于 a，b的等式． 【例 4】(1)已知：5∣(x+9y)(x，y为整数)，求证：5∣(8x十 7y) ． (2)试证：每个大于 6的自然数 n都可表示为两个大于 1且互质的自然数之和． (全国初中数学联赛试题) 新课标七年级数学竞赛讲座 www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 思路点拨 (1)尝试把 8x+7y写成 x+9y的倍数与 5的倍数的代数和的形式，(2)逆用整式 的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论． 注：解代数式化简求值问题的基本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代入等． 关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求简的一 种常用工具． “回到定义中去”，这是美国著名数学家玻利亚称为的一种解题方法，在解题遇到困难 的时候，请记住“回到定义中去”这个重要的思考提示． 欲证明一个多项式能被某数整除，常需对该多项式进行适当的变换，或对字母进行代换， 充分利用巳知条件及整除的有关性质解决问题． 数学中有许多可以类比的对象，如数与式，整数与整式．教学中的许多结论就是通过 类比得到的，同时类比也是学习数学中的一种有效方法． 学力训练 1．已知 mnx baba 221 32 −−与 是同类项，那么 xnm )2( − = ． (江苏省竞赛题) 2．已知代数式(2x2+ax-y+6)－(2bx2-3x+5y-1)． (1)当 a= ，b= 时，此代数式的值与字母 x的取值无关； (2)在(1)的条件下，多项式 3(a2-2ab-b2)一(4a2+ab+b2)的值为 ． 3．已知 a=1999，则 20013331423 2323 −+−−−+− aaaaaa = ． 4．已知当 x=一 2时，代数式 13 ++bxax 的值为 6，那么当 x=2时，代数式 13 ++bxax 的 值是 ． (安徽省中考题) 5．火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为 x、y、z的箱子按如图的 方式打包，则打包带的长至少为( )． A． 4x+4y+10z B．x+2y+3z C． 2x+4y+6z D． 6x+8y+6z (太原节中考题) 6．同时都含有字母 cba 、、 ，且系数为 1的 7次单项式共有( ) ． A ．4个 B．12个 C． 15个 D．25个 (北京市竞赛题) 7．有理数 cba 、、 在数轴上的位置如图所示：则代数式 cbacbaa −+−++− 化简后 的结果是( )． A．2一 a B．2a一 2b C．2c—a D．a 8．已知 252 =+− nm ，那么 6036)2(5 2 −−+− mnnm 的值为（ ）． A．80 S．10 C．210 D．40 9．把一个正方体的六个面分别标上字母 A、B、C、D、E、F 并展开如图所示，已知： 22 34 yxyxA +−= ， 22 23 yxyxC −−= ， )( 2 1 ACB −= ， CBE 2−= ，若正方体 相对的两个面上的多项式的和都相等，求D、F． 10．已知单项式 cb yx25.0 与单项式 12125.0 −− nm yx 的和为 mn yx625.0 ，求 abc的值． 新课标七年级数学竞赛讲座 www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 11．对于整式 6x5+5x4+4x3+3x2+2x+2002，给定 x的一个数值后，如果小颖按四则运算的规 则计算该整式的值，需算 15次乘法和 5次加法．小明说：“有另外一种算法，只要适当添加 括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算 5 次”．小明同学的说法是 的．(填“对” 或“错”) ( “希望杯”邀请赛试题) 12．若 5,3,2 =−−=−=− dccbba ，则 )())(( dadbca −÷−− ＝ ． 13．当 x＝2时，代数式 13 +−bxax 的值等于一 17，那么当 x＝一 1时，代数式 12ax—3bx3—5的值等于 ． (北京市“迎春杯”竞赛题) 14．将 1，2，3，……，100这 100个自然数，任意分为 50组，每组两个数，现将每组的两 个数中任一数值记作 a，另一个记作 b，代入代数式 )( 2 1 baba ++− 中进行计算，求出其 结果，50组数代人后可求得 50个值，则这 50个值的和的最大值是 ． 15．计算 1+2—3—4+5+6一 7一 8+9+10—1l一 12……+1993+1994—1995一 1996+1997+1998—1999—2000，最后结果是( )． A．0 B．一 1 C．1999 D．一 2000 16．已知 0>−< b a ba 且 ，则 abbaba +++− 等于( )． A．2a+2b+ab B．一 ab C．一 2a一 2b+ab D．一 2a+ab 17．已知代数式 24 352 )( dxx cxbxaxx + ++ ，当 x＝l时，值为 l，那么该代数式当 x＝一 l时的值 是( )． A．1 B．一 l C．0 D．2 ( “希望杯”邀请赛试题) 18．如果对于某一特定范围内 x的任意允许值 xxxxp 101913121 −+−++−+−= L 的 值恒为一常数，则此值为( ) A．2 B．3 C．4 D． 5 (安徽省竞赛题) 19．(1)已知 a、b为整数，且 n＝l0a+b，如果 17│a一 5b，请你证明：17│n． (2)已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是 11的倍数． 证明：这个三位数也是 11的倍数． 20．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数 abc ( cba 、、 依次是这个数的百位、 十位、个位数字)，并请这个人算出 5个数 acb、bac、bca、 bca 与cba的和 N，把N告 诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数 abc ． 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数 abc 而来． 21．x、y、z均为整数，且 11 │7x+2y—5z，求证：1l│3x一 7y十 12z． 新课标七年级数学竞赛讲座 www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 (北京市竞赛题) 22．计算多项式 dcxbxax +++ 23 的值时有以下 3种算法，分别统计 3种算法中的乘法次 数． ①直接计算： dcxbxax +++ 23 时共有 3十 2+l＝6(次)乘法； ②利用已有幂运算结果： xxx ⋅= 23 ，计算 dcxbxax +++ 23 时共有 2+2+1= 5(次)乘法； ③逐项迭代： [ ] dxcxbaxdcxbxax +++=+++ )(23 ，其中等式右端运算中含有 3次乘 法． 请问：(1)分别使用以上 3种算法，统计算式 109 8 2 9 1 10 0 axaxaxaxa +++++ L 中乘法的次数，并比较 3种算法的优劣． (2)对 n次多项式 nn nnn axaxaxaxa +++++ − −− 1 2 2 1 10 L （其中 naaaa ,,,, 210 L 为系数， n>1），分别使用以上 3种算法统计其中乘法的次数，并比较 3种算法的优劣． 参考答案 新课标七年级数学竞赛讲座 www.1230.org 初中数学资源网 收集整理