概率高考题

1某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 ．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ 解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 （Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3。 0 1 2 3 P 2如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p； （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率； （Ⅲ） 示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求 的期望． [ ）解： 记A1表示事件，电流能通过 A表示事件： 中至少有一个能通过电流， B表示事件：电流能在M与N之间通过。 （I） 相互独立， 又 故 （III）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立。 故 3 设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）设 是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求 的分布列及期望． 解：题目这么容易，估计今年的评分要偏严了． （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 可取0，1，2，3． 　　　 　　　　　 　　 的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 4为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡。 （I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 。 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是 。 （Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3 , ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以 ， 5厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率; （Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数 的分布列及期望 ，并求该商家拒收这批产品的概率. 解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算，有 （Ⅱ） 可能的取值为 ， ， 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率 所以商家拒收这批产品的概率为 6一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09. P(ξ=1)= ×0.52×0.62+ ×0.52×0.4×0.6=0.3 P(ξ=2)= ×0.52×0.62+ ×0.52×0.4×0.6+ ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= ×0.52×0.4×0.6+ ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04 于是得到随机变量ξ的概率分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8. 7某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （I）用 表示抽检的6件产品中二等品的件数，求 的分布列及 的数学期望； （II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。 ．解：（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3． P(ξ＝0)＝·＝＝ P(ξ＝1)＝·＋·＝ P(ξ＝2)＝·＋·＝ P(ξ＝3)＝·＝． ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 数学期望为Eξ＝1.2． (Ⅱ)所求的概率为 p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝ 8 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件 ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 ． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率 ； （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件， 表示取出的2件产品中二等品的件数，求 的分布列 解：（1）记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则 互斥，且 ，故 于是 ． 解得 （舍去）． （2） 的可能取值为 ． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有 件，故 ． ． ． 所以 的分布列为 0 1 2 9购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为 ． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率 ； （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 解： 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 ，记投保的10 000人中出险的人数为 ，则 ． （Ⅰ）记 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则 发生当且仅当 ， ， 又 ，故 ． （Ⅱ）该险种总收入为 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 ， 盈利 ， 盈利的期望为 ， 由 知， ， ． （元）． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 10 如图，一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B或C，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖. （I）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量 为获得 等奖的折扣率，求随机变量 的分布 列及数学期望 （II）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动， 记随机变量 为获得1等奖或2等奖的人次， 求P（ ）. （Ⅰ）解：由题意得 的分布列为 50% 70% 90% P 则 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为 由题意得 则