曲线曲面积分

1 第一型曲线积分 1 曲线长度计算 2 第一型曲线积分的概念 3 第一型曲线积分的计算 曲线长度元素曲线长度元素曲线长度元素曲线长度元素(微元微元微元微元)和曲线长度计算和曲线长度计算和曲线长度计算和曲线长度计算 ( ), ( ) ( ) .x x t y y t tα β= = ≤ ≤参数方程平面曲线： 2 2d ( ) ( ) ds x t y t t′ ′= + 2 2( ) ( ) ds x t y t tβ α ′ ′= +∫ 弧长元素弧长元素弧长元素弧长元素：：：： 弧长计算公式弧长计算公式弧长计算公式弧长计算公式：：：： ( ) . ( )y y x a x b= ≤ ≤平面曲线： 2d 1 ( ) ds y x x′= + 21 ( ) ds y x x β α ′= +∫ 空间曲线空间曲线空间曲线空间曲线ＬＬＬＬ：：：： .)()(),(),( βα ≤≤=== ttzztyytxx 2 2 2( ) ( ) ( ) ds x t y t z t tβ α ′ ′ ′= + +∫ 例例例例6666 解解解解 :L求求求求圆圆圆圆柱柱柱柱螺螺螺螺线线线线 的的的的长长长长度度度度 .)0,,π20(,sin cos : >≤≤      = = = cat ctz tay tax L .d22 tca += 2 2 2( ) ( ) ( )d ds x t y t z t t′ ′ ′= + + 2 2 2 2 2cos sind ds a t a t c t= + + 2 2 2 2 2 0 2 . π d πs a c t a c= + = +∫ 曲线积分引例曲线积分引例曲线积分引例曲线积分引例：：：：曲线质量问题曲线质量问题曲线质量问题曲线质量问题 : ( ), ( ) ( ) .L x x t y y t tα β= = ≤ ≤ ( , , ) ( , ) . .x y z m x y在任一点 的质量密度等于 求曲线质量 ),( yxP 解法解法解法解法：：：： ( , ) .dL x y s在 上任意点 处取弧长元素 ( , ) ( , ) .x y m x y点 处的密度为 ( , ) .dm x y s⋅所以这个弧长元素的质量等于 L L的质量等于 所有的弧长元素质量求和： ( , )d L M m x y s= ∫ 怎样计算这个积分怎样计算这个积分怎样计算这个积分怎样计算这个积分？？？？ 2 2( , ) ( ( ), ( )) , ( ) ( ) .d dx y x t y t s x t y t t′ ′= = + ( , )d L M m x y s= ∫ ( , )d L M m x y s= ∫ 2 2( ( ), ( )) ( ) ( ) dm x t y t x t y t tβ α ′ ′= +∫ 这就是曲线积分的计算公式这就是曲线积分的计算公式这就是曲线积分的计算公式这就是曲线积分的计算公式. ( ) . ( )y y x a x b= ≤ ≤假设曲线方程为： ( , )d L M m x y s= ∫ 2( , ( )) 1 ( ) db a m x y x y x x′= +∫ 曲线积分概念曲线积分概念曲线积分概念曲线积分概念：：：： .)()(),( βα ≤≤== ttyytxx 假定曲线假定曲线假定曲线假定曲线ＬＬＬＬ有参数方程有参数方程有参数方程有参数方程：：：： ( ) ( ) [ , ]x t y t α β函函函函数数数数 和和和和 在在在在区区区区间间间间 有有有有连连连连续续续续导导导导数数数数，，，， .),( 上定义上定义上定义上定义在在在在 Lyxf ( , )f x y L在在在在 上上上上的的的的曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分为为为为 2 2( ( ), ( )) ( ) ( ) df x t y t x t y t tβ α ′ ′+∫d L f s =∫ ,),(),( 处的质量密度处的质量密度处的质量密度处的质量密度上点上点上点上点是是是是假设假设假设假设 yxPLyxµ 则曲线质量就是密度函数在曲线上的曲线积分则曲线质量就是密度函数在曲线上的曲线积分则曲线质量就是密度函数在曲线上的曲线积分则曲线质量就是密度函数在曲线上的曲线积分.... 这就是曲线积分的计算公式这就是曲线积分的计算公式这就是曲线积分的计算公式这就是曲线积分的计算公式. ( ) . ( )y y x a x b= ≤ ≤平面曲线： d L f s =∫ 2( , ( )) 1 ( ) dba f x y x y x x′+∫ 2 例例例例1：：：：计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分 ∫Γ + szyx d)( 22 )10(,sin,cos: ≤≤===Γ ttzttyttx 2 2 2 2d d 2 ds x y z t t t′ ′ ′= + + = + ∫Γ + szyx d)( 22 ∫ +⋅= 10 22 d2 tttt 1 0 1 2 d 2 u u u= +∫ vvuvuuv d2d,2,2 2 =−=+= 3 2 2 2 ( 2)2 dv v v= −∫ .31,20 =↔==↔= vuvu 1 0 1 2 d 2 u u u+∫ 3 4 2 2 (2 4 )dv v v= −∫ 3 2 35 ) 3 4 5 2( vv −= )3328(15 2 −= 解解解解 例例例例2 半圆弧的半径为等于半圆弧的半径为等于半圆弧的半径为等于半圆弧的半径为等于a , 弧上每一点的质量密度等于弧上每一点的质量密度等于弧上每一点的质量密度等于弧上每一点的质量密度等于 x2 ．．．． a− a x y 求圆弧的质心求圆弧的质心求圆弧的质心求圆弧的质心. 解解解解：：：：微元法微元法微元法微元法 半圆弧半圆弧半圆弧半圆弧 L L L L 的参数方程为的参数方程为的参数方程为的参数方程为 .)π0(sin,cos ≤≤== ttaytax 在曲线在曲线在曲线在曲线 L 上的点上的点上的点上的点 (x,y) =(acost,asint) 处取弧长元素处取弧长元素处取弧长元素处取弧长元素 .dd)()(d 22 tattytxl =′+′= 该弧长微元的质量等于该弧长微元的质量等于该弧长微元的质量等于该弧长微元的质量等于 .dcosdd 232 ttalxm == 半圆弧的质量半圆弧的质量半圆弧的质量半圆弧的质量：：：： π 3 2 0 d cos d L m m a t t= =∫ ∫ 31 . 2 a= .dd)()(d 22 tattytxl =′+′= 该弧长微元关于该弧长微元关于该弧长微元关于该弧长微元关于x轴的静力矩等于轴的静力矩等于轴的静力矩等于轴的静力矩等于 .dcosdd 232 ttalxm == 2 3 2d d d sin cos d . x J y m yx l a t a t t= = = ⋅ 半圆弧关于半圆弧关于半圆弧关于半圆弧关于x轴的静力矩等于轴的静力矩等于轴的静力矩等于轴的静力矩等于 2 4 2 0 d d d sin cos d . xL L L J y m yx l a t t t pi = = =∫ ∫ ∫ ∫ pi 0 34 )cos( 3 1 ta −= 4 2 3 a= 例例例例1：：：：计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分 ∫L syd )10(: 2 ≤≤= xxyL 22 411d xys x +=′+= 1 2 0d 1 4 dL y s x x x= +∫ ∫ 1 0 2 2 3)41( 12 1 x+= )155( 12 1 −= 解解解解：：：： 例例例例：：：：计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分 ∫Γ sy d||    = =++Γ yx zyx 2 : 222 xy =x y z 平面上的投影平面上的投影平面上的投影平面上的投影在在在在 yOz 22 22 =+ zy 参数方程参数方程参数方程参数方程：：：： piϕ ϕ ϕ ϕ 20 sin2 cos cos ≤≤      = = = z y x ϕdd 222 zyxs ′+′+′= ϕd2= ∫ ⋅= pi ϕϕ20 d2|cos|∫Γ sy d|| 2 04 2 cos d 4 2 pi ϕ ϕ= =∫ 2 曲面面积与曲面积分 1 曲面面积的计算公式 2 曲面积分的概念和计算 3 x z yO D ),( yxzz =曲面面积曲面面积曲面面积曲面面积：：：：设设设设有曲面有曲面有曲面有曲面 .),(,),( Dyxyxzz ∈= .),( 具有连续偏导数具有连续偏导数具有连续偏导数具有连续偏导数其中其中其中其中 yxzz = 可以证明面积公式可以证明面积公式可以证明面积公式可以证明面积公式：：：： ∫∫ ′+′+= D yx yxzzS dd1 22 222 yxaz −−= 公式推导见后面的附录公式推导见后面的附录公式推导见后面的附录公式推导见后面的附录.... 用半球用半球用半球用半球面验证公式面验证公式面验证公式面验证公式：：：： 上半球面的面积等于上半球面的面积等于上半球面的面积等于上半球面的面积等于 22 api 下面用公式计算看看结果下面用公式计算看看结果下面用公式计算看看结果下面用公式计算看看结果.... 222 yxaz −−= 222),( yxayxzz −−== 2 2 2:D x y a+ ≤（（（（ ）））） 222 yxa x zx −− −=′ 2 2 2y y z a x y ′ = − − − ∫∫ ′+′+= D yx yxzzS dd1 22 2 2 2 2 2 2 1 y a z z a x y ′ ′+ + = − − 2 21 d dx y D z z x y′ ′+ +∫∫ 2 2 2 d d D a x y a x y = − − ∫∫ 2 2 d d a a aρ ρ ρ ϕ ρ≤ = − ∫∫ 22 api= O x y z 22 yxzS +=为锥面为锥面为锥面为锥面 xyx 222 =+包含在柱面包含在柱面包含在柱面包含在柱面 内部的部分内部的部分内部的部分内部的部分.... .的面积的面积的面积的面积求求求求 S 2 2 2x y x+ = D 解解解解 ∫∫ ′+′+= D yx yxzzS dd1 22 22 yx x zx + =′ 2 2y y z x y ′ = + 2 21 2x yz z′ ′+ + = 2d d 2 D S x y pi= =∫∫ 例例例例 2 2 2 2x y z a+ + =计计计计算算算算球球球球面面面面 含含含含在在在在柱柱柱柱面面面面 2 2 .x y ay+ = 内内内内部部部部的的的的面面面面积积积积 例例例例 x y O D 该曲面分成面积相等的两部分该曲面分成面积相等的两部分该曲面分成面积相等的两部分该曲面分成面积相等的两部分, 一部分在一部分在一部分在一部分在xOy平面的上方平面的上方平面的上方平面的上方,另一部分另一部分另一部分另一部分 解解解解 仅需计算上方的那一块仅需计算上方的那一块仅需计算上方的那一块仅需计算上方的那一块 S1 的面积的面积的面积的面积. .),(,: 2221 DyxyxazS ∈−−= 另一部分在另一部分在另一部分在另一部分在xOy平面的下方平面的下方平面的下方平面的下方. .}2|),{( 22 ayyxyxD ≤+= yx x z x zS dd)()(1d 22 ∂ ∂ + ∂ ∂ += 222 dd yxa yxa −− = ∫∫ −− = D yxa yxaS 2221 dd .)2π(2 −= a ∫ ∫ − = π 0 sin 0 22 dd θθ a ra rar x y O D .)2π(22 21 −== aSS 222 ddd yxa yxaS −− = ∫ −−= π 0 sin 0 22 )(d θθ araa ∫ −= π 0 2 )dsin(1 θθa x y z 曲曲曲曲面积分引例面积分引例面积分引例面积分引例：：：：求曲面质量的问题求曲面质量的问题求曲面质量的问题求曲面质量的问题 S设设设设 是是是是一一一一张张张张面面面面积积积积有有有有限限限限的的的的曲曲曲曲面面面面，，，， .S在在在在 上上上上分分分分布布布布着着着着某某某某种种种种物物物物质质质质 ( , , ) ( , , ) .x y z x y zµ在在在在任任任任意意意意一一一一点点点点 处处处处的的的的质质质质量量量量密密密密度度度度等等等等于于于于 .S求求求求 的的的的质质质质量量量量 解解解解 ( . , )P x y z dS 设曲面方程为设曲面方程为设曲面方程为设曲面方程为 .),(),,( Dyxyxzz ∈= 处取面积元素处取面积元素处取面积元素处取面积元素在曲面上任意点在曲面上任意点在曲面上任意点在曲面上任意点 ),,( zyxP 2 2d 1 d dx yS z z x y′ ′= + + 该面积元素的质量为该面积元素的质量为该面积元素的质量为该面积元素的质量为 ( , )dx y Sµ = 2 2( , ) 1 d dx yx y z z x yµ ′ ′+ + 4 2 2( , ) 1 d dx yx y z z x yµ ′ ′+ + 所有曲面元素质量求和所有曲面元素质量求和所有曲面元素质量求和所有曲面元素质量求和（（（（积分积分积分积分）））） 曲面积分定义曲面积分定义曲面积分定义曲面积分定义：：：： ( , ), ( , ) .z z x y x y D= ∈设设设设有有有有曲曲曲曲面面面面 .),,( 上的函数上的函数上的函数上的函数是定义在是定义在是定义在是定义在 Szyxf f S函函函函数数数数 在在在在 上上上上的的的的曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分就就就就是是是是 就是整张曲面的质量就是整张曲面的质量就是整张曲面的质量就是整张曲面的质量. ( , , )d D f x y z S =∫∫ ∫∫ ′+′+ D yx yxzzzyxf dd1),,( 22 ( , , )d D f x y z S =∫∫ ∫∫ ′+′+ D yx yxzzzyxf dd1),,( 22 2 怎样计算曲面积分怎样计算曲面积分怎样计算曲面积分怎样计算曲面积分 曲面积分的定义直接给出了它的计算方法曲面积分的定义直接给出了它的计算方法曲面积分的定义直接给出了它的计算方法曲面积分的定义直接给出了它的计算方法.... ∫∫ ′+′+ D yx yxzzzyxf dd1),,( 22( , , )d D f x y z S =∫∫ 这是一个二重积分这是一个二重积分这是一个二重积分这是一个二重积分.... 例例例例1：：：： 2 2( )d S x y S+∫∫计算 2 2 1 .S x y z+ ≤ ≤是锥体 的表面 1 2 d d d S S S f S f S f S= +∫∫ ∫∫ ∫∫ 2 2 1 2 2 1 d ( )d d S x y f S x y x y + ≤ = +∫∫ ∫∫ 2 2 1 : 1 , ( , ) : 1 , d d dS z x y D x y S x y= ∈ + ≤ = 2 2 2 2 2 2 2 : , ( , ) : 1 , d 1 d d 2d dx y S z x y x y D x y S z z x y x y = + ∈ + ≤ ′ ′= + + = 2 2 2 2 2 1 d ( ) 2d d S x y f S x y x y + ≤ = +∫∫ ∫∫ 2 1 2 0 0 1d 2 4 dpi ϕ ρ ρ ρ pi= ⋅ = ⋅∫ ∫ 2 1 2 0 0 12 d 2 2 4 dpi ϕ ρ ρ ρ pi= ⋅ = ⋅∫ ∫ 例例例例 计算曲面积分计算曲面积分计算曲面积分计算曲面积分 .d)(∫∫ ++= S SzyxI 2 2 2 .S z R x y= − −其其其其中中中中 为为为为上上上上半半半半球球球球面面面面 解解解解 ∫∫+∫∫+∫∫= SSS SzSySxI ddd 由曲面的对称性和函数的奇偶性推出由曲面的对称性和函数的奇偶性推出由曲面的对称性和函数的奇偶性推出由曲面的对称性和函数的奇偶性推出 .0dd =∫∫=∫∫ SS SySx . 222 yxRz −−= d :S z S∫∫计计计计算算算算 yx x z x zS dd)()(1d 22 ∂ ∂ + ∂ ∂ += 222 dd yxR yxR −− = . 222 Ryx ≤+ yx x z x zS dd)()(1d 22 ∂ ∂ + ∂ ∂ += 222 dd yxR yxR −− = ∫∫ −− ⋅−−D yx yxR RyxR dd 222 222 .πdd 3RyxR D =∫∫= .: 222 RyxD ≤+ =∫∫S Szd .,) 2 (222 密度均匀密度均匀密度均匀密度均匀：：：： azyxazS ≥−−= 求其质心求其质心求其质心求其质心.... a 2 a 的质量的质量的质量的质量：：：：S kSSkSkSzyx SSS === ∫∫∫∫∫∫ ddd),,(µ ∫∫ ≤+ ′+′+= 222 4 3 22 dd1 ayx yx yxzzS ∫∫ − = a a 2 3 0 22 2 0 dd ρρ ρϕpi api= akM pi= ( , , )d dxOy S SJ z x y z S k z Sµ= =∫∫ ∫∫ 3 22 0 0d d api ϕ ρ ρ= ∫ ∫ 5 x H z y M o r :为柱面设 S例例例例3 每一点的质量密度 计算曲面的质量. .)0(222 HzRyx ≤≤=+ 与该点到原点的距离成反比. .,sin,cos zzRyRx === θθ )0,π20( Hz ≤≤≤≤θ zRS ddd θ= 解解解解 的参数方程为：S 曲面在点(x,y,z)处的质量密度为 .222 zyx k ++ 曲面的质量等于质量密度在曲面上的曲面积分： ∫∫ ++ = S zyx SkM 222 d 化为对于参数的二重积分： ∫∫ + =∫∫ ++ ≤≤ ≤≤ Hz S zR zkR zyx Sk 0 π20 22222 ddd θ θ ∫ + ∫= H zR zkR 0 22 π2 0 ddθ ∫ + = H zR zkR 0 22 d π2 .]ln)[ln(π2 22 RHRHkR −++= 附录： 曲面面积的求法 D 1.空间斜平行四边形的面积 A O x y z .形是空间的一个平行四边假设 A 别上的投影是一个两边分在 xOyA ．平行于坐标轴的矩形D .yx∆∆矩形面积等于 .SA ∆的面积求 的一个顶点为不失一般性，假定 A .)0,,( yxM ∆∆ .)cos,cos,(cos γβα=n� 的单位法向量为设斜面 A 的方程为这时斜面 A z O x y .0cos)(cos)(cos =⋅+∆−⋅+∆−⋅ zyyxx γβα y∆ A D x∆ n � x∆ y∆ :的方程斜面 A .0cos)(cos)(cos =⋅+∆−⋅+∆−⋅ zyyxx γβα ., 平面平面和分别位于的两个顶点 zOxyOzQPA 由平面方程可以求出顶点M,P , Q : AO x y z D x∆ y∆ n � Q P M ,)0,,( yxM ∆∆= ,) cos cos ,,0( xyP ∆∆= α γ .) cos cos ,0,( yxQ ∆∆= β γ ,) cos cos ,0,( xxMP ∆∆−= α γ ,) cos cos ,,0( yyMQ ∆∆−= β γ || MQMPS ×=∆ AO x y z D x∆ y∆ n � Q P M ,) cos cos ,0,( xxMP ∆∆−= α γ .) cos cos ,,0( yyMQ ∆∆−= β γ . cosγ yx∆∆ = || MQMPS ×=∆ ×∆∆−= ) cos cos ,0,(| xx γ α |) cos cos ,,0( yy ∆∆− γ β yx∆∆= )1, cos cos , cos cos( γ β γ α .的关系与法向量注意 nS �∆ 6 .),(),,( Dyxyxfz ∈= 的方程为假设曲面 S ，平面上的有界闭区域为其中 xOyD ．有连续的偏导数),( yxf ．的面积求 S 方法方法方法方法 用平行于坐标轴的直线网 ，分割成若干小区域将区域 ijDD ∆ ．的面积等于 jiij yxD ∆∆∆ x z yO ijD∆ .),(.2 面积的求法曲面 yxfz = D ，行四边形近似地看作一个斜的平将 S∆ x z yO ijD∆ ijP ．上任取一点在 ijij PD∆ 的单位法向量为ijS∆ 在这同时， .ijSS ∆被分割成若干小片曲面 .)1,,( )()(1 1 22 ijPyx yx ij ffff n ′−′− ′+′+ = � . )()(1 1 cos 22 ijP yx ij ff ′+′+ =γ .)()(1 22 jiPyx yxff ij ∆∆⋅′+′+=γcos ji ij yx S ∆∆ ≈∆ O x y z ∑∆= SS ∑ ∆∆⋅′+′+≈ jiPyx yxff ij22 )()(1 ,的分割愈来愈细时当区域 D 这个和式的极限是积分 .dd)()(1 22∫∫ ′+′+D yx yxff 于是得到曲面面积的计算公式. =S 各小片曲面面积的近似值求和 ：面积的近似值得到曲面 S .dd)()(1 22∫∫ ′+′+D yx yxff .dd)()(1d 22 yxffS yx ′+′+=曲面的面积元素： 边沁边沁边沁边沁，，，，（（（（1748-1832））））法国伦理学家法国伦理学家法国伦理学家法国伦理学家，，，，数学家数学家数学家数学家 典典典典型的数学头脑型的数学头脑型的数学头脑型的数学头脑，，，，逻辑思维极强逻辑思维极强逻辑思维极强逻辑思维极强，，，，一丝不苟一丝不苟一丝不苟一丝不苟．．．． 主主主主张语言学应当模仿代数学张语言学应当模仿代数学张语言学应当模仿代数学张语言学应当模仿代数学．．．． 用用用用符号代替概念符号代替概念符号代替概念符号代替概念，，，，使语言精确化使语言精确化使语言精确化使语言精确化．．．． 用用用用理性理性理性理性、、、、演绎和定量的方法建立了伦理学体系演绎和定量的方法建立了伦理学体系演绎和定量的方法建立了伦理学体系演绎和定量的方法建立了伦理学体系．．．． 度过度过度过度过57年的不近女色的生活后年的不近女色的生活后年的不近女色的生活后年的不近女色的生活后，，，，他决定结婚他决定结婚他决定结婚他决定结婚．．．． 经过严密的逻辑推理经过严密的逻辑推理经过严密的逻辑推理经过严密的逻辑推理，，，， 为为为为自己选定了对象自己选定了对象自己选定了对象自己选定了对象- 一位一位一位一位16年未见面的女友年未见面的女友年未见面的女友年未见面的女友．．．． 但但但但是遭到拒绝是遭到拒绝是遭到拒绝是遭到拒绝．．．． 他仔细地审查了自己的逻辑推理过程他仔细地审查了自己的逻辑推理过程他仔细地审查了自己的逻辑推理过程他仔细地审查了自己的逻辑推理过程，，，， 认认认认为无懈可击为无懈可击为无懈可击为无懈可击．．．． 他希望这位女友认真学习数学他希望这位女友认真学习数学他希望这位女友认真学习数学他希望这位女友认真学习数学，，，， 能能能能够理解他的演绎推理是多么的缜密和有力够理解他的演绎推理是多么的缜密和有力够理解他的演绎推理是多么的缜密和有力够理解他的演绎推理是多么的缜密和有力．．．． 过了一段时间他又向这个女友求婚过了一段时间他又向这个女友求婚过了一段时间他又向这个女友求婚过了一段时间他又向这个女友求婚，，，， 结结结结果再一次遭到拒绝果再一次遭到拒绝果再一次遭到拒绝果再一次遭到拒绝．．．． 这位女士只相信直觉这位女士只相信直觉这位女士只相信直觉这位女士只相信直觉，，，，不相信逻辑不相信逻辑不相信逻辑不相信逻辑．．．． 后人有诗叹曰后人有诗叹曰后人有诗叹曰后人有诗叹曰：：：： 天才帅天才帅天才帅天才帅哥细推理哥细推理哥细推理哥细推理，，，，平庸靓妹不领情平庸靓妹不领情平庸靓妹不领情平庸靓妹不领情. 激情一激情一激情一激情一瞥两相许瞥两相许瞥两相许瞥两相许，，，，逻辑思维误终身逻辑思维误终身逻辑思维误终身逻辑思维误终身.