晶体学14种空间点阵型式的对称性分析与导出

第24卷第4期 大学化学 2009年8月 雠 晶体学14种空间点阵型式的对称性与导出 齐兴义 (北京航空航天大学化学与环境学院北京100191) 摘要依据7个晶系的特征对称元素和正当点阵单位的划分，分析了各晶系空间点阵型 式的生成过程，从而确定晶体学14种空间点阵型式(简立方(cP)、体心立方(c，)、面心立方(cF)、 简六方(护)、简四方(护)、体心四方(t，)、R心六方(椒)、简正交(D尸)、C心正交(oc)、体心正交 (D，)、面心正交(oF)、简单斜(rr沪)、C心单斜(mC)和简三斜(口P))是合理的逻辑演绎结果。 晶体是由微观粒子(原子、离子或分子)在三维空间周期性地重复排列而形成的固体物 质，与晶体结构周期性对应的一个重要数学概念为点阵。依据特征对称元素，晶体分为7个晶 系(立方、六方、四方、三方、正交、单斜和三斜)，依据特征对称元素和正当点阵单位的划分规 则，晶体的点阵分为14种空间点阵型式(简立方(妒)、体心立方(c，)、面心立方(cF)、简六方 (护)、简四方(护)、体心四方(玎)、R心六方(柚)、简正交(DP)、C心正交(oC)、体心正交 (o，)、面心正交(oF)、简单斜(，栌)、C心单斜(mC)和简三斜(口P))。法国科学家Br莉as于 1866年推导出上述14种空间点阵型式，故14种空间点阵型式又称为Bravias点阵型式。然 而，14种空间点阵型式的严格数学推导过程繁杂冗长，致使国内外许多有关晶体学、固体化学 和结构化学的只是列举14种空间点阵型式，而对其来龙去脉或是只做部分说明，或无任 正当点阵单位的划分规则共有4条，分别是：①选择最高轴次的对称轴方向为晶轴矢量 (正当点阵单位的棱边矢量)方向；②正当点阵单位应能反映点阵的点对称性；③尽可能使晶 轴矢量相互交成直角；④在满足以上3个规则的前下，正当点阵单位的平行六面体单元所 含的点阵点应为最少或平行六面体单元的体积为最小。 本文以7个晶系的特征对称元素和正当点阵单位的划分规则为逻辑分析的基础，全面阐 述各晶系的合理空间点阵型式。作为教学，作者希望本文对国内同仁的相关化学教学能 有启发与帮助。 1立方晶系 立方晶系的特征对称元素为4×三，空间点阵型式有简立方(cP)、体心立方(c，)和面心立 方(∥)，所属点群为D。。以妒为例，4×三在三维空间的配置如图l所示。由图1可见，4×三 分别贯穿cP的顶角点阵点，如图l所示的特征对称元素配置同样适用于c，和c，。 与正交晶系相比，立方晶系无c心格子，原因是立方晶系的4×三所产生的特征对称性不 允许出现c心立方，即立方晶系的特征对称性不允许在c尸的上下两个底的几何中心再各加 59 万方数据 图1立方晶系的cP和4×兰 上一个点阵点。需指出的是若加C心于cP，得到的无限点集合——“c心立方(cC)”亦为一 点阵。如图2所示，“cC”的特征对称元素不是4×三，而是1×垒，所属点群为D。。。显然，在垒对 称性不降低的条件下，依据正当点阵单位的划分规则④，可将“cC”(含2个点阵点)经图2所 示的划分转变成简四方(俨(含1个点阵点))。“cC”和“C心四方(￡c)”有相同的对称性， “圮”的划分见本文第3部分(四方晶系)。 。cc”划分为fP ———————————————————-卜 图2“C心立方(cC)”和简四方(俨) 2六方晶系 六方晶系的特征对称元素为1×鱼，空间点阵型式只有简六方(^P)，所属点群为D。。。鱼和 ^P在三维空间的配置如图3所示。因受鱼特征对称性的限制，六方晶系无任何加心(C心、，心 和，心)空间点阵型式。以加C心为例，与护加C心相同，^P经加C心得到的“C心六方 (^c)”虽为一点阵，但已无鱼。如图4所示，因c心的加入，“^C”沿晶轴矢量￡方向的对称轴是 2，所属点群为D：。，划分出的正当点阵单位为简正交(DP)。 作为一般规律，可以证明由加c心、，心或F心于7个晶系的素格子而得到的无限点集合 仍为一点阵，经加A．曰心、A．c心或曰一c得到的无限点集合则不是点阵(A—B心格子的加心方 式是在素格子的平行六面体的前后面和左右面的几何中心同时加点，而不在上下两个底的几 何中心加点的一种加点方式)。 图3六方晶系的艘和lx垂 因此，加J『心和F心于IIlP而得到的无限点集合“体心六方(^，)”和“F心立方(^，)”均为 万方数据 “由F” (沿!方向的俯视图：o的分数坐标z=1／2，O的分数坐标z=1) 图6“面心六方(卯)”和体，厶正交(d『) 3 四方晶系 四方晶系的特征对称元素为l×生，空间点阵型式有简四方(俨)和体心四方(￡J『)，所属点 群为％。生和俨的几何关系如图7所示。与cP和九P加C心不同，四方晶系的垒特征对称性 允许加c心或F心于俨，加心后的点阵所属点群仍为阢。。众所周知，四方晶系的合理空间点 阵型式无“c心四方(￡c)”和“面心四方(伊)”。如图8和图9所示，“tc”和“∥”所含点阵点数 分别为2和4。在垒对称性不变的条件下，依据正当点阵单位划分规则④，可将“￡C”和“伊”分 别划分为妒(含1个点阵点)和矗(含2个点阵点)。 4三方晶系 三方晶系的特征对称元素虽为l×兰，但空间点阵型式却有简六方(^P)和R心六方(柚)， 所属点群分别为D醅和D轭。由三方晶系产生的舻不构成新的空间点阵型式，其加心结果已 在本文第2部分(六方晶系)做了讨论。^R为含有3个点阵点的复单位，沿晶轴矢量￡方向有 61 万方数据 图7 四方晶系的JlIP和1×生 62 图10眉心六方和菱面体素单位 Rhombohe击alP 万方数据 对于Rhombohed同P，三方晶系的三轴向不是平行于构成菱面体的边棱矢量，而是平行于3 个边棱矢量的合矢量方向。如图11所示，兰平行于RhombohedralP沿竖直方向上的两个点阵 点连线。因Rhombohedral尸有对称元素关系：3=三+i，故三为一3重反轴(3)，构成 RhombohedralP的8个点阵点沿3轴向呈乙烷的交叉式构象。三方晶系的兰不允许加C心于 Rho-TlbohedralP；若加C心，则得到的“C心菱面体(rc)”已无三和其他轴对称性，所属点群为 ci。如图12所示，“心”实为简三斜(口P)。 营苹 I洫oIIlb0Ile击aIP Rh0Illbolle由alP点阵点的交叉式构象 图11菱面体素单位和点阵点的交叉式构象 ’C”划分为aP -rC” aP 图12“C心菱面体(圮)”和简三斜(驴) 三方晶系的狁许加，心或，心于RhombohedralP，加心后得到的“体心菱面体(r，)”和 “面心菱面体(伊)”所含的点阵点分别为2和4，所属点群为D，。。由“厂，”划分出 趾o-llbohedralP所凭借的几何图形较为复杂，首先需在毗邻“r，”的前、上和右3个方向同时添 加3个“一”平行六面体单元，之后沿三轴向确定且保留呈乙烷的交叉式构象的8个点阵点，去 除其他点阵点，即得RhoIllbohedralP(图13)。“∥”沿三轴向的顶角点阵点和6个面心点阵点 呈乙烷的交叉式构象，故可直接从“∥”划分出砷on出ohedralP(图14)。最后，经“r，”和“rF” 得到的RhombohedralP可再凭借相应的正六棱柱分别转化为Ijl尺，其结果是柚点阵结构—— RhombohedmlP的加心不会产生新的空间点阵型式。 5正交晶系 正交晶系的特征对称元素为3×2或2×m。在所有7个晶系中，正交晶系空间点阵型的 种类最为丰富，有筒正交(oP)、C心正交(DC)、体心正交(o，)和面心正交(D，)，4空间点阵型 式属点群为％。与“cC”、“^C”、“￡C”和“rC”不同，由于受限于正当点阵单位划分规则②和 ③，oC不可经类似的划分而转变成oP或其他对称性较低的素格子∞】。 6单斜晶系 单斜晶系的特征对称元素为l×2或1×m，空间点阵型式有简单斜(，舻)和c心单斜 (mc)，所属点群为c2。。在晶体定向以后，若选定mc为一种独立的空间点阵型式，则单斜晶 63 万方数据 “f，”划分为I孙omb0}ledralP o 点阵点连线 o O o o R】10mb0Ile出alP的点阵点 象RJlombohe出alP 心菱面体(r，)”和菱面体素单位 ”划分为RJlombohedralP 点阵点连线 O 尉1啪bolledralP的点阵点 RhombohedralP点阵点的交叉式构象Rhombolle击alP 图14“面心菱面体(—。)”和菱面体素单位 系的特征对称元素只能是堡平行于，，轴，m垂直于，，轴(图15仅示出2)。 图15单斜晶系的肼C和lx2 单斜晶系的2允许加，心或F心于，护，加心后得到的“体心单斜(耐)”和“面心单斜 (mF)”所含的点阵点分别为2和4，所属点群为c2．。与四方晶系和三方晶系相同，因对称性 不变，“m，”和“mF”必为单斜晶系两种空间点阵型式之一，或是，舻或是mC。如图16和图17 64 ． M◆llII上 率一园⋯率 万方数据 所示，“m，”和“mF”可转变成单斜晶系的同一种空间点型式——mc。需说明的是：为了能从 “村”划分出满足晶体学规定的c心单斜，在选定的平行六面单元中，需按图16中的mc所 示，重新配置坐标系；“m尸”划分为mC可由两步实现，先将“m，”划分为“村”(图17)，再将 “m，”经图16所示的划分转变成mG。 7三斜晶系 ‘‘mJ”划分为mc 图16“体心单斜(肌，)”和C心单斜(mC) “ⅢF”划分为“mI” 加C 。mF” 。ml” 图17“面心单斜(m，)”和“体心单斜(，时)” 三斜面晶系无轴对称性，特征对称元素为对称中心(i)，空间点阵型式只有简三斜(护)， 所属点群为Ci。因无轴对称性的限制，三斜晶系的3种复格子(c心、，心和F心)均可拆分成 只含有一个点阵点的素格子——护。 综上所述，满足点阵定义、晶系特征对称性和正当点阵单位划分规则的晶体学空间点阵型 式只有14种。关于以各晶系的素格子为基础，加A心或曰心及任意加点的分析与讨论不在 此赘述。 本文得到北京航空航天大学首届研究生精品课程(固体化学)建设项目资助，特此致谢。 参考文献 [1]A呔i瑚Pw．Phy日icalcheIllis町．OxfbId：时brduIlive瑁ityPre明，1978 [2]俞文海．晶体结构的对称群．合肥：中国科学技术大学出版社，199l [3]崔秀山．固体化学．北京：北京理工大学出版社，199l [4]郭用猷．物质结构基本原理．北京：高等教育出版社，1988 [5]周公度，段连运．结构化学基础．第3版．北京：北京大学出版社，2002 65 万方数据 晶体学14种空间点阵型式的对称性分析与导出 作者： 齐兴义， Qi Xingyi 作者单位： 北京航空航天大学化学与环境学院,北京,100191 刊名： 大学化学 英文刊名： UNIVERSITY CHEMISTRY 年，卷(期)： 2009，24(4) 被引用次数： 0次 参考文献(5条) 1.Atkins P W Physical Chemistry 1978 2.俞文海 晶体结构的对称群 1991 3.崔秀山 固体化学 1991 4.郭用猷 物质结构基本原理 1988 5.周公度.段连运 结构化学基础 2002 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxhx200904013.aspx 授权使用：长沙理工大学(cslgdx)，授权号：1c45a1a0-6bb2-4848-8e32-9e6101890108 下载时间：2011年1月4日