关于单调有界原理与其它实数连续性定理的等价性

这 8个定理等价． [命题 1] 单调有界数列存在极限定理~：4,Dedekind定理 证明 见参考文献[3]与I-1]． [命题 2] 单调有界数列存在极限定理 闭区间套定理． 证明 (1)单调有界数列存在极限定理 闭区间套定理．见参考文献I-1] f2)闭区间套定理一单调有界数列存在极限定理、见参考文献r-7]与[1]． [命题 3] 单调有界数列存在极限定理 确界定理． 证明 (1)单调有界数列存在极限定理一确界定理．见参考文献r-2]． (2)确界定理一单调有界数列存在极限定理．见参考文献r-3]． [命题 4] 单调有界数列存在极限定理 有限覆盖定理． 证明 (1)单调有界数列存在极限定理一有限覆盖定理．设开区间集 s覆盖了闭区间 ， 6]．要证明开区间集中存在有限个开区间便覆盖了 ，6]．用反证法，假设开 区间集中任意有限 个 开区间都不能覆盖[口．6]，简称 ，6]在 s中没有有限覆盖．将 r-a，b]--等分为 ， +6)／2] 与[(n十 )／2，6]，则显然其中至少有一个在 s中没有有限覆盖．将其中一个没有有限覆盖的小 闭区问记为r-a ， ]．再将该区间二等分为[n ，(n +6 )／2]与[(n。+61)／Z，b ]．同样其 中至少有 一 个在S中没有有限覆盖，将这样的一个记为[嘞， 1继续对[n。，b2]二等分 ，这样无限进行下 去，便得到一个闭区间列{ ，6 ]}( 一0，1，2，⋯，ao—n，6。一6)，显然具有如下性质 ： (1) ．b]D[ 1，b1]]⋯][“，6 ]]⋯； (2)lira(6 d )一lira(6 d)／2 一0； ⋯ 一 ∞ (3)每个[n ， ]在 s中都没有有限覆盖． 由(1)可知：数列 {n 1与数列{ )都为单调有界数列，据单调有效数列存在极限定理，有 lima 一 ，Jimb = ．显然 ， ∈r-a ，6 ](n--0，1，2，⋯)．可见l口 卢l≤ lb 一n f=(6 )／2 一0 (”一∞1．故 一卢．已知 s覆盖[n，6]，因而存在( ，叮)Q-S．使 口∈(声，g)、由上述(2)易知，存在充 分大的自然数 n，使(n ， )c( ．q)，此与 ．蜘 在 S中无有限覆盖矛盾 故 ．6]在 中存在 有限覆盖，这说明有限覆盖定理成立． (2)有限覆盖定理一单调有界数列存在 极限定理．不妨设{n )为妨设为单调增加有上界 的数列．要证明{a }存在极限．由于{n )的性质．fa 1的极限必是它的上界，设 d为 {n )的任一 上 界．记 ~--n ．则 n < ，即 c／z为{ )的上界，记 d1一(c+ )／2．C。=c；若 (fj_ )／2不是{d )的上界，记 d 一d，c1一(f+ )／2．显然{n 中的无限多项含于[ ，d1]．再二等分[fl， ]为[c1，( + 1)／2]与[( + )／2， ．]．若 一 )／2是{n )的上界，记 d =(c1+ 1>／2． =c1；若(c1+d )／2不是{Ⅱ )的上界，记 ＆一(c + >／z，d =d ．对于[ d：]继续二 等分．这样无限进行下去，便得到一个闭区间列 f d ：¨．显然具有如下性质： (1)[f．did ，d ]]⋯][c⋯d J]⋯； 2) ，f 一 ((Z )／2 ，lira ( )=0(*)； f3)每个[“．， ]含有 {n )的无限多项、 眨证法 ．假如fn ，的极限不存在．即对于任一 z∈r-c． ]．z都不是 {n 1的极限．换句话 维普资讯 http://www.cqvip.com I 张炳攫 关于单调有界原理与其它实数连续性定理的等价性 l7 说，存在某个闭区间[c ，d， ]，使 [ ，d， ]．因此存在以 z为心的开 区问4 ，使 n[c ， ]一 于是，开区间集 一{ Iz∈ ， ]}覆盖了 ， ]．根据有限覆盖定理 ，S中存在有限个 开 区间 ， ．．．·，△ 也覆盖了 ， ]，即 Ec， ]cU 另一方面，已知 △ n[ ，如 ]一 ( l，2，⋯， )，令 Ⅳ一max{ I 一1，2，⋯，n}．由性质 (1)，Ec～， ]c Ec ，d． ]( —l，2，⋯，n)，于是 。n[c～， ]一 i—l，2，⋯，n，即(U ．)n Ec ，d ]一 这与开区间集{ ．I 1，2’．．·， )，覆盖[c，d]矛盾．故 {n }存在极限，即单调有界数 列存在极限定理成立． 综合(1)、(2)本命题得证． [命题 5] 单调有界数列存在极限定理ti=~C．auchy收剑准则． 证明 (1)单调有界数列存在极限定理=~cauchy收敛准则．设 llma 一 ，则显然有V e>0， ]自然数Ⅳ，当m，n>N 时成立不等式 ln．一 I0，]N， 当 m，n>N 时有不等式 ln +n 1N1时 ，有 l 一 I<1．固定 m，对于任意的 自然数 n>N1，有 一l0， N：，当 n>N：时有 【 ，一‘IⅣ；时，同时有 l 一fJIⅣ ，使 ≤‰ ≤ >Na)，从而有 l‰ 一 I≤ I 一d．1<￡这样一来，当 n>N，时(对固定 的 m >Ⅳ，)，有 — I≤ la 一‰1I+ln 1一 I<2e，这

表

关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf

明 llma．=a．可见 Cauchy准则成立． (2)Cauchy收敛准则 单调有界数列存在极限定理．不妨设{n )单调增加有上界．任取 {a )的一个上界 d，记 c一Ⅱl，则 c