用导函数的极限判定函数在某点的可导性

乡户 其计算过程不再赘述了 。 小劝 · 、儡淤‘ · 动 · 、 “口 , 切“ 用导函数的极限判 定 函数在 某点 的可导性 王 志 夭津大学冶金分校 这个问题 , 实际上是研究函数在某点的可导性与导函数在该点的极限的关系 。 我将此关 系归纳为下列命题 。 命颐 设函数 在点二 连续 。 在区 间 。 一 占, 。 日 二 。 , 。 内可导 占为正常数 若 , 二 存在 , 则 , 一 二 。 尸 二 。 一 , 戈 。 若 , 二 存在 , 则 , 十 。 , 二 。 , 二 竺 若 , , 二 存在 , 则 在 。 点可导且 , 。 , 二 公 干 , 若 ‘ 。 的与 ’ 。 一 存在但不相等 , 则 劝在二。 点必不可导 。 注 ①记号 ’一 二 。 , 二 。 为 劝在 。点的左 右 导数 , ②记号 ’ 。 一 ’ , 为尸 劝 在二 。 点的左 右 极限 。 证 情形 设 二 ‘ 。 一 乃, 。 , 由于 在区间〔 , 。 〕上连续 , 在 , 。 内可导 , 据拉格 朗 日 中值定理得 二 一 二 。 一 。 就有 ‘ 占 占〔 , 令 二 一 , ‘ 。 丫 一卜 , 一 二 一 。 戈 一 劣 。 ‘ 省 盆 一 、,了、、了夕一 ‘尹,了、 由题设 ’ 存在 , 据海涅 定理可得 笼 名 。 一 ‘ 夸 ‘ 亡 一少 一 , 万 。 由此得 ’ , 。 二 ‘ 二 。 一 情形 仿情形 可证 。 情形 由于 ‘ 二 存在 , 即 ‘ 。 一 ’ 。 据命题 中的情形 、 及导数定义得 ‘ 。 ’ 。 二 ‘ 二 故 ‘ 二力存在且有 ‘ 。 二 ‘ 劝 盆 义 。 情形 由题设 ‘ 。 , ’ 。 一 存在 、 但不相等 , 利用命题中的情形 与 帅 则 有 ’ 一 二 。 手 尹 , 。 据导数的定义断 劝在 。 点不可导 。 证毕 。 关于命题的几点注意 本命题可作为法则判定函数在某点的可导性 。 例如 判定 , 闭 丁“于 , 气 义 ‘ 《 戈在 义 点可导性 。 显然 ‘ 劝在二 二 点连续 , 了‘ ‘ ’一 ‘ 例解又 义 , 戈 二 声 ‘ 、 一 、二 , 玉十 二 义 , 一 , 尹 一 据命题 的情形 可得 ’ 劝在二 处可导且有 ‘ 判 ’匕 , 一 义 , 簇 工 “ , 在二 二 点的可 导性 。 显然 在二 二 点连续 , “ 一 嵘 , 戈 , 例解又 元 亡了 义 “ 产 戈 尹 厂‘ ‘ 男 一 二 汀‘ 一 子 据命题的情形 断定 。 劝在 点不可导 。 本命题的情形 只是充分条件而非必要 。 这是因为在命题的证明中 “ 式 ” 等号两边等价 即 方是右方的必要条件 。 , 名 一 劝一 怀 铃 ’ 豹 言创二 、。 ” 而 “ ” 的左 一 工 。 即有 厂产 省 哈一 戈 占〔 二 , 。 按 , 。定理 一 , 幻 一 盆 一 ,︸ 义了刃,‘ 判定 劝 梦 , 义 祷 ” 在、 一 。的可导性 易知 二 在 ‘ 贬、 二 · 点连绒。 二 一 二 —义 芜 牛 口例解又 显然 ‘ 与 尸 均不存在 下转 ” 的矩 阵连 分 式 合肥工业 大学 顾传青 设矩阵幂级数 , 二 十 ’ 十 台勺矩阵连分式 “ ’ “ 、卜 , 。 、 一 一 , 、 一 一 、 十 八 十 “ ‘ , 丹甲 足仕例万阵 , 现用 卜夕 万法 佣足己 ’ ‘ 二 二 一 了 一 口 一 ’ 甲 一了一 了 ,‘ , 、犷勺 十 ⋯ 二 十 几 , , “ , ‘ 汀其中 , 一 ‘ 理 , 二 , ‘ 设 。 , 了。 , , 设 , 一 十 “ , 二 , 得方 , 一 ‘ 二 共一 ‘ 由 , 一 , 。 ‘ 二 一 吏 ‘ 牛“ “ ’‘“ , 取 二 少 刀 ‘, 。了’ “ 。 “ , 得 一 于 · 。一 ‘ · 设“ · 千 ‘ ’‘ , 。 一 , 一 。 ”一 ‘ 十 一 一攀 一 。 田 一 一 一 了’ 十‘ 一卜‘ 一‘ 取 。。 一 亡一 , 。 、 二 , 设 。 · 十 。 、 , , 双、 , 。 , 。 , 褥 八一丁」十 二 州 , 。 一 月 。 十 一 矛 一 「 由 。 一 了 ‘, , 〔, 〔, 。‘, “ ‘ ‘ “ , ‘ ‘ , ’“ , 十“ “ , 十 ‘ 下去 , 得到 取 〔, 一李 , 。 、 二 , 如此 继续 户 , ’ 件 ’ · 十 ‘ ” 参考文献 〔 〕顾传青 , 矢吐阵连分式的对应定理 , 合工大学报 , 待发 。 上接 由于 。 不满足命题 中情形 的条件 , 因此 在 二 点的可导性需用其他 方 月之判定 。 由导数的定义得 川 “ 一 。二 川 丫 “ , 故 二 在 点可导且有 ‘ 。 二 。 用导函数的极限判定函数在某点的可导性是用定义求导的、一个有力的辅助方法 。