5我的讲义 函数周期性与对称性

函数周期性与对称性 函数周期性与对称性 一、函数周期：对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得 恒成立，则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，则 （ ）也是 的周期，所有周期中的最小正数叫 的最小正周期.一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集 例如：求 的周期 1. 常见函数周期: ①y=sinx，最小正周期T＝2π； ②y=cosx，最小正周期T＝2π； ③y=tanx，最小正周期T＝π； ④y=cotx，最小正周期T＝π. 周期函数f(x) 最小正周期为T,则y=Af(ωx+φ)+k 的最小正周期为T/|ω|. 2.几种特殊的抽象函数的周期： 函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）, 1​  ，则 是以 为周期的周期函数； ② ，则 是以 为周期的周期函数； ③ ，则 是以 为周期的周期函数； ④ ，则 是以 为周期的周期函数； ⑤ ，则 是以 为周期的周期函数. ⑥ ，则 是以 为周期的周期函数. ⑦ ，则 是以 为周期的周期函数. ⑧函数 满足 （ ），若 为奇函数，则其周期为 ， 若 为偶函数，则其周期为 . ⑨函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以 为周期的周期函数； ⑩函数 的图象关于两点 、 都对称，则函数 是以 为周期的周期函数； ⑾函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以 为周期的周期函数； （二）主要方法： 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的 恒有 ; 二是能找到适合这一等式的非零常数 ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集. 解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数： 函数关于 对称即偶函数： 函数关于直线 对称： 或 或 者 函数关于点 对称： 1．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A．2； B．3； C．4； D．5 （ ） 2．设函数 为奇函数， 则 （ ） A．0 B．1 C． D．5 3．已知f(x)是R上的偶函数，对 都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( ) A、2005 B、2 C、1 D、0 4． 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 5．设函数 与 的定义域是 ,函数 是一个偶函数， 是一个奇函数，且 ，则 等于 A. B. C. D. 6.已知定义在R上的函数f (x)的图象关于 成中心对称，且满足f (x) = , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ） A．–2 B．–1 C．0 D．1 7.已知函数 是定义在实数集 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有 ，则 的值是 高考资源网 A.0 B. C.1 D. 8.若 是定义在R上的奇函数，且当x＜0时， ，则 ＝ ． 9. 定义域为R，且对任意 都有 ，若 则 =_ 10．设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 。 11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f( )=－1,当且仅当0证明

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