c)=1,则c=(B)A.0B.卩C.-卩D.b23•事件A与B互不相容,则P(AB)=(B)A.0.5B.0C.0.25D.1设事件A,B互不相容,且U—匚,则(AA.B.pC|B)>P(B|A)D.以上都不对C.pC|B)0F(x)二<0,x<0J则P(3分钟至4分钟之间)=e-1-2-e-1-6。16.设随机变量g的分布律为P{g=k}=-,k=1,2,...,9且k(k+1)P-10}=10-则常数a=丄,丄二2,则c二22c4c8c16c17.已知随机变量g只能取-1,0,1,2四个数值,其相应的概率依次为设A,B为两个事件,P(B)二0.7,P(AB)二0.1则pG|B)=若随机变量X,Y独立,EX=1,EY=2,则E(3X+Y)=__5独立地从区间(0,6)内任取3个数,则所取的3个数恰好有2个小于5的概率等于25__72设随机变量X在(1,6)服从均匀分布,则方程x2+Xx+1=0有实根的概率为___0.8___。若袋中有3个红球,12个白球,从中不放回地取10次,每次取1个球,则第5次取到红球的概率为__0.2.23•事件A与B相互独立,P(A)=0.4,P(AuB)=0.7,则P(B)=___0.5___。三、计算题(每题12分,共216分)1•设随机变量X服从U(0,1)分布,求随机变量Y二eX的概率密度函数.◎第8页共16页第PAGE\*MERGEFORMAT#页共16页答亲;其它当y蛙时,并3"当严(1间时,耳-(y)=P(Y=-xQ3+-xO-4=-<2)机床停机时正扣工寥件A的概率为-xO.3311300,x<16.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=e确定常数a,b;求X的概率密度函数.解:(1)F(x)是连续函数,因此有limF(x)=limF(x)=FG,b+1=0ae+be+1=1xt1+xtI一limF(x)=limF(x)=F0,即卩xTe+xTe一解得a求X的概率密度函数为f(x)=F,(x)=lnx,10.9NJ—NJ—Ni161616①(0.°5N)、0.95=①(1.645),则N至少203.诘N8.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为r()[ae-Cx+y),x>0,y>0f5yf其它(1)确定常数a;(2)求(X,Y)的联合分布函数FG,y).解:(1)由联合分布概率密度函数的性质卜卜f(x,y》xdy二1得—g—gJ+gJ+gae-(2x+y)dxdy=ajge-2xdxjge-ydy=000F(x,y)=\xJyf(u,v》udv—g—g于是a=2(3)因为x>0,y>0时=JJy2e上u+v)dudvx>0,y>0其它设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)=e-y,00xx<0e-x,x>00,x<0当x<0,y<0时,F(x,y)=0.所以Y的边缘概率密度函数为e-ydx,y>0y<0y>0y<0rrf.3)因为f(x)f(y)=XY(x+y),x>0,y>0"(x)=fgf(x,y)dx=Y-g10,其它显然,fG)f(y)Hf(x,y).所以X与Y不独立.XY设有一架长机两架僚机飞往某目的地进行轰炸,由于只有长机装有导航设备,因此僚机不能单独到达目的地,在飞行途中要经过敌方高射炮阵地,每机被击落的概率为0.2,到达目的地后,各机独立轰炸,每机炸中目标的概率为0.3,求目标被炸中的概率。解:设Ai=“有i架飞机到达目的地”i=l,2,3,B=“目标被炸中”则P(A)=0.8x0.2x0.2P(A)=0.8x0.8x0.2+0.8x0.2x0.81,2P(A3)=0.8x0.8x0.8P(B)仝P(A)P(B|A)iii=1=P(A)x0.3+P(A)x(1-0.72)+P(A)x(1-0.73)123=0.4765某地有A,B两队进行乒乓球比赛,规定一方先胜三盘则比赛结束.设每场比赛A队获胜的概率p=0.5,以X记比赛的盘数,求E(X).解:因为A,B两队的胜率相等,所以只需讨论A对获胜的情况.X的可能取值为3,4,5,且P(X=3}=2p3=14P(X=4}=2p-C2xp2(L—p)=2x=—16832P(X=5}=2p-C2xp2(L—p)24所以e(x)=3冷+4x8+5x8=曽12.设X的概率函数是P(X=k)=丄,k=1,2…,求E(X),D(X).2k解:E(X)=区k-—=1区kf丄十】22k2I2丿TOC\o"1-5"\h\zk=1k=1k—1=6E(x2)=区k2•丄=1艺k2・(12k2k=1k=1于是D(X)=E(x2)—[e(X)1=2.高老师在本学期每星期一上午第一、二节课都有数学课。他总是早晨7点钟从家出发,骑自行车上班,如果自行车坏了,他就选择坐出租车。根据经验,他骑自行车迟到的概率为0.02,坐出租车迟到的概率为0.1,而自行车坏得概率为0.05,求高老师星期一上课迟到的概率.解:记A二“高老师星期一上课迟到”B二“高老师骑自行车上班”,则P匕)=0.05,P(B)=1-0.05=0.95P(AIB)=0.02,PCIBL0.1于是P(A)二P(AIB)P(B)+PClB)d匕)=0.02x0.95+0.1x0.05=0.024在天平上重复称重一重物,假设各次称重结果相互独立,称重结果的期望值为a,方差为0.04,若以X表示n次称重结果的算术平均值,为使nP{l右-al<0.1}>0.95,请用中心极限定理估计至少要称重多少次?n解:若随机变量g•表示第i次称重的重物,则F=丄工g,于是有nii=1lX-al=l—nal。nnii=1利用中心极限定理得到-nal<0.1}=P{iP{l~X-al<0.1}=P{-I工Enni=1要使P{lX-a\<0.1}>0.95,即①匚)>0.975,n2于是得到n>15.3664,取n=16。15•设随机变量量的分布密度为f(x)十T其它其中Q〉0为常数,求(1)2的数学期望,(2)方差,(3)分布函数。解:(1)Eg=J+8axe-a(x-1)dx=-xe-a(x-1)\+8e-a(x-1)dx=1+—111a(2)Eg2=J+®Ox2e-a(x-1)dx=-x2e-a(x-1)1+8111+J+82xe-a(%-1)dx=1+Eg=1++aaa222-(1+a)2=Dg=Eg2-(Eg)2=1+—+一16.设(g,耳)的联合密度函数为p(x,y)=c,0,0<\y\1),即g~p(x)nnln(n+l)exp{ln(n+1)x}nrrexp{-芥rx},0,x>0其它试问{g,n>1}是否服从大数定律?n证明:由题意,得Egkk+1ln2(k+1),k=1,2,…由于随机变量g1,…,gn相互独立,有丄工Dg=丄工k+1n2kn2ln2(k+1)k=1k=1注意到错误!未找到引用源。在x>3错误!未找到引用源。时单调递增,1\1yk+11yk+1、乙Dg=乙<—(2+乙)n2kn2ln2(k+1)n2ln(k+1)k=1k=1k=2<丄(2+(n-1))T0,当nfgn2ln(n+1)时,故满足马尔科夫条件,因此服从大数定律。18.有朋友远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求:(1)此人来迟的概率;(2)若已知来迟了,此人乘火车来的概率。解:设事件A表示:“此人来迟了”;事件A分别表示:“此人乘火车、轮船、汽车、飞i且P(a)>o,iA1,A2,A3,A4两两互不相容4机来"(i=1,2,3,4)。则uA=Q,ii=11)由全概率公式得皿)=£p(a)・p(aa)=11X4+1X1+存迈+585i=12)由贝叶斯公式得p(a)•p(aia)订=P(4)-Pjj=131X104=3~~18(2)g的边际密度函数为p(x)=f8p(x,y)dy=g-8I0,