矢量张量公式及推导

完成。12.混和积：［a,b,c］二［a‘gi,bjgj,ckgk^aibjck［gi,gj,gj二a'bjck你二c-abc13.■Itjtkt688isjsks688r•Jrkrd66ijkijk—eerstrst，有以上关系可得14.重要关系：j『jtk—js缈；jtf—寸严；咏=2、,=615.反偶：反对称二阶张量Q满足3二--eQ,其中3是一矢量，则称3与Q互为反偶216.反偶的性质:一一£・3--3・£17.证明:QijUj3jUk2ijkIm£jlmQuk."m出Uk--QmiUm21.imQUm2由于Q是反对称张量，上式得证同理QU二一$g=1£k舫2Qlm二丄心冷一-讣屮)Qlm」Qij-1Qji22218.另外同样可以证明两对反偶有:几个矢量及其证明：1.(ab)c=(a*c)b-(b*c)a证明：分量m有a®；%'皿=aQjc1；ijk；册（｛冷一4”）^aicbm—bQam2.(ab)(cd)二c[(a・(bd)]-d[a・(bc)]二b[a*(cd)]-a[b・(cd)]证明：aD；ijkCrds戶伽二ajbjCrds；ijkC--仁：)二aQjdk；ijkCn-a^Ck；ijkdn另一半同理可得。a*ca・d3.(axb)・(cxd)=b・cb*d证明：$帚罔匕&先“=(冷鳥一、jm)ajbkCmdn=ajcbdk—ajdjbkCk度量张量：定义gij-gi*gj为度量张量的分量，显然gij=gjig^gjgj:设gi二ajgj，所以gj=gi*gj二aikg・gj二aj，则g二g0gj逆变张量的逆gikgk^-ij:;ij=9i*gj=gikgk*g^gikgkj度量张量与张量分量：gikTk=Ti，原因T二Tg‘=Tkg^Tkgikgi克里斯托夫符号：.g；kk第二类克里斯托夫符号：-ll：ijkgk，-jk称为第二类克里斯托夫符号x"gj「k「第一类克里斯托夫符号：宀j=几kg，几k称为第一类克里斯托夫符号ex两类克里斯托夫符号的关系，由gij和定义可知-ij,^grk-ijr克里斯托夫符号不是张量，仿射坐标中为0，曲坐标中不为0,其分量不可能满足坐标变换关系。.■.i逆变基导数：jpgp，因为：ex6.7.8.c叫0p■_；xj-：:(gi*gp):giQ严pi:g.ir*gp「jp.X=0-■Jpgp第一类克里斯托夫符号对称性Fj,k第二类的对称性=瑞:由于Fj,k第二类克里斯托夫的坐标转换公式:rk2:r:r.J.ik=-Ji,k:X:X:Xgrk-jr，可知冷=grg^i：=grk.-iJ,k■Jk即阳肾瑞'+孚JCXCX1；Xk乂证明:9.-k，_：-grTj一；Xj'k'*g-2k、、■:X:X一J'一i'—kX:X:Xk'jxJ'k'一k':Xkg:X-2i-k'XXk7~j‘一r一kgi・g:XX:X-i丄-i'-：X:X一k'一-X；gikr*g:x-i-k'-j'-:x:x:xgi+J'rkaJoJX:X:X:Xk・g-2k-k':X:X-J'-i'-k:X:X:X-i-k'-j':X:X:Xkri'-krJAj.X:X:Xk'■,g与克里斯托夫符号的一个关系:证明:g2)慢珂寻g2)・g3(gi洱)・g3■(g1g2)-X:X:X:X=(哺gk汉g2)*g3+©汇駡gk)四3+©汉g2)•焉gkg2)*g^■2i(g1g2)烁烏©g?)・g3二;ji■■■.g张量对坐标的导数:Jk.T(Tkggjg):'T\kij:Qikij:gjkij-g「gigjgtk「gjgtk「gigtk--X:X:X:X.■.l.■.lX:X盯©kkijpmk+Tij「mkmgigjg+丁作打gmgjg+t网打gigmg—t作gigjg_-l-X(汀jkm「iim・JTiJ■m)k_(.lT*-mlTk-ml_Tm■Ik)gigJg:X分量现形式的导数，协变导数:可ij由张量的导数，定义张量的协变导数：巧T：=Tjk；i=三早+T*Gi為—，cX由张量的协变导数和克里斯托夫的坐标转换公式可以证明协变导数是张量的分量。3.^x1；:xk::xi;：2XI'为了证明这点，先注意ji[7kjr■|k■kexexexexexex；：2x'；：2xi'I'；~L?II；T-j-i1-j-i；x；x；x；x证明:千i'-jx.xj:xj；xj匚r、iexi&丿:xj；xji_X.j-2i':X;xFijjrx:X:Xi-2i'需甘V二Fl••⑴次exSx■ijk-2I'-kcxex"；'啪皿+亠j一exexex两边同乘-k并遍历k求和，得:i'i'J,j-lj-，代入⑴式得:.:Fi':xj'Fm\I='■!■-i'm'j'j'iF；］八jj'：；F；j由于协变导数是张量分量，所以gj、jF，=gkjF；\二Fi；k=、jFi—"T同样Ij可由一丄导出，称为逆变导数cTcTj逆变导数及协变导数构成的张量实体：gj-gjcxjex梯度散度和旋度：梯度:IT弋1迂,「斗g1:X:X散度：：・T二g1下，T丁*glexexLI氓厂战I旋度：IT=gI「，T「gIexex几个协变导数：由于张量实体不因坐标变化而变化，如果某张量的各分量在直角坐标系下为0，则该张量为0。容易知道在任意标系下有，'igj二'igjk=0,、i「k-°，‘；二'i-jkm=°,由于协变导数是张量分量，在任意坐标系下上三式成立。几个微分向量公式：'■*(hA)=h*AA八h\jhA)WA，A\h'、(hA)=hA_A5；j\(hAj)「jkhSAj•；jkAjSh「jkhjAj-朮A'h''*(AB)二B*0AA*0B)4.'、（AB）=（B八）A-C*A）BA（■、•B）-（A八）BijkIm、ijklmijklm；lj（；kimAB）二；；klm'jAB-:；kimAVjB十；、yj）「A1Bm（.|l.m-「kij）A1「Bm-'■jAiB^VjAjBiA%jBj-A儿jB，5.'（A・B）=（B八）A（A八）BBA）A（、B）BPjA+APjBi*汕好％几+知爪严京耳二BjJAAjj•（—「）B\Am（；、{—jim）Aj5Bm二Bj「AAj「BiBj\iAj-Bj「AA%,Bj-A%jB,二BjlAA*jBj=\j（AjBj）6.2可xA）=灯（灯*A）_可A叫j（屛1Am）=耶屛j」Am=（「im-7.（A八）AACA）八AAj\jAm•；ijkAjwmJAm=Aj」Amcm一爲珅）Aj^Am=jjAm-样％-A"jAm=A,mAj「、mAjAj/2张量的积分定理：1.对封闭曲面a有：da=0，由于对任意常矢量k有［k*da=0由k的任意性可知i24已g）2・-i-Xj-j-}-/-i_：ggi.g：g_；-gg，g，gk_；、gg,；ggkigg—iig一gikg厂g厂g-X:X:X:X:X3.dv：--da,va证明：da:.a1「⑴+二（Jg1半）dx1"dx2dx3_侖g1半⑴dx2dx3+:x=样（屈g^?）dx1dx2dx^7gg.x^^mdx1dx2dx3.x■：G9gm）：dx1dx2dx3-m；x列出类似关系式：dv：-da和vadv'•二：da•和vadv'、=■-da和va斯托克斯公式da：I）=df•afdvI-davadv•'二«davadv'、=dava和C：；?）・da二i:・dfaf123一-m「X=..ggmdxdxdxg证明：三角区域ds,dt,d(s-t)边上的张量取边中点的值,111-df*二ds*（ds八）-（ds—dt）*[（dsdt”'）]-dt*（dt八）f222111dt・（ds八）ds*（dt八）（dsdt-dtds）八：记反对称张量l（dsdt-dtds）-Q2Q的反偶矢量为3二--£：Q=--£：-（dsdt-dtds）=dsdt二-da2222又Q=-£*3=da*£TOC\o"1-5"\h\z；df■二Q:-da•£'■-da■（、）f6.da、「--dr和汽dadfafaf证明：三角区域ds,dt,d(s-t)边上的张量取边中点的值,TOC\o"1-5"\h\z111-df二ds(「一ds八)—(ds—dt)[「一(dsdt)八)]—dt(「一dt八)HYPERLINK\l"bookmark17"\o"CurrentDocument"f222111dt(ds八)ds(dt八)(dsdt-dtds)八'2221记反对称张量—(dsdt-dtds)-Q21111Q的反偶矢量为3£*Q£：一(dsdt-dtds)dsdt=-da2222又Q--£*3=da*£df=Q八=da*£•'■=-da'、‘