摩尔-库仑模型与其在FLAC3D中的应用

摩尔-库仑模型与其在FLAC3D中的应用 摩尔-库仑模型及其在FLAC3D中的应用 摘要: 本文首先阐述了塑性流动理论的增量方程，结合摩尔库仑破坏准则和拉伸破坏准则形 IN3D成了FLAC中采用的摩尔库仑本构模型，并指出不同的应力计算值条件下的计算方,,ijij 3D法。最后通过模型试验与解析方法进行对比，发现FLAC计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变性较大时逐渐出现一定偏差。 3D关键词: 摩尔-库仑模型，增量方程，流动法则，FLAC 1. 塑性流动理论的增量方程 一般情况下，破坏准则可示为 (1) f()0,,n 式中，为已知屈服函数，用来判定塑性流动开始产生。在主应力空间中，为一曲面，落f 在曲面内的应力点为弹性状态。 塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和: ep (2) ,,,，,,,,iii 弹性应变增量和弹性应力增量的关系表示为: e (3) ,,,,,S()iin 式中，S为弹性应变增量的线性方程。 i 流动法则了塑性应变增量向量的方向，即与塑性势面的方向垂直，表示为: ,gp,, (4) ,,i,,i 得到的新的应力矢量应满足屈服方程: f()0,,，,, (5) nn 式(5)提供了一个估计塑性应变增量矢量的表达式。 S将式(2)代入式(3)，且考虑到为线性函数，得: i p,,,,,,,,SS()() (6) iinin 再将流动法则(4)代入得: ,g (7) ,,,()(),,,,SSiini,,n 假定破坏函数为线性函数，式(5)可表示为: f(),n * (8) ff()()0,,，,,nn **式中，代表函数减去其常量值，。 ffff(.)(.)(0),,fn对于位于屈服面上的应力点，，式(8)可转化为， f()0,,n ,g** (9) (())(())0,,fSfS,,,nnn,,n 此时，定义新的应力分量为: N (10) ,,,,，,iii I (11) ,,,,，,S()iiin 根据式(11)，可得: I* (12) ffS()(()),,,,nnn ,综合式(9)，(12)，可得: If(),n (13) ,,*,,,fSgf(())(0),nnn 根据应力增量表达式(7)，估算应力(11)，新的应力(10)可表示为: ,gNI,,,() (14) ,,Siii,,n 2. 莫尔库伦模型(IN FLAC3D) 莫尔库伦模型的破坏包线包括两部分，一段剪切破坏包线和一段拉伸破坏包线。与剪切破坏 相对应的是相关联的流动法则，与拉伸破坏对应的是不相关联的流动法则。 3D,,,在FLAC中，莫尔库伦模型表示在，，主应力空间中，对应的应变分量为主应变231 ,,,，，。 123 弹性增量方程 主应力空间中，虎克定律的增量表达式可写为， eee ,,,，,，,,,,,,,()111223 eee (15) ,,,，,，,,,,,,,()212213 eee ,,,，,，,,,,,,,()313212 式中，和为由剪切模量和体积模量定义的材料常数。 ,,21 4,,， KG13 2 (16) ,,,KG23 根据式(3)，式(15)可改写为: eeeeee S(,,)(),,,,,，,，,,,,,,,,,112311223 eeeeee (17) S(,,)(),,,,,，,，,,,,,,,,,212312213 eeeeee S(,,)(),,,,,，,，,,,,,,,,,312313212 复合破坏准则 莫尔库伦模型所采用的破坏准则为摩尔库仑准则和最大拉应力准则。三个主应力为 。破坏准则在面表示如图1。 ,,,,,(,),,12313 3D图1 FLAC莫尔库伦破坏准则 s破坏包线，在A到B上由莫尔库伦准则定义， f(,)0,,,f,013 s (18) fNcN,,，,,213,, 在B到C上由拉伸破坏准则定义， f,0t t (19) f,,,,t3 t式中，为摩擦角，为粘聚力，为抗拉强度 ,c, 1sin()，, (20) N,,1sin(),, 由图1可见，材料的抗拉强度不能超过和交点对应的值，因此抗拉强度f,0,,,,133s 的最大值为 ct (21) ,,maxtan, 2.3 流动法则 塑性势面由两个方程来描述，和，分别用来定义剪切塑性流动和拉伸塑性流动。 ggst 函数为不相关联的流动法则， gs (22) gN,,,,s13, ,式中，为膨胀角， 1sin，,N, (23) ,1sin,, 函数g为相关联的流动法则， t g,,, (24) t3 h(,)0,,,f,0f,0统一的流动法可由函数定义，为和的对角线，如图2所示。 13st Pha,,，,,,,,() (25) 31tP P2aNN,，，1 (26) ,, ,,,,NcN2 (27) Pt,, 图2 莫尔库伦模型,流动法则 I当由式(11)计算出的对应的应力点落在图2所示domain 1中，产生剪切破坏，应力点,i s在相应曲线上，流动法则由塑性势方程推得。如果点落在domain 2中，发生拉伸gf,0s tt破坏，新的应力点在上，由流动法则推出。 f,0g 2.4 塑性修正 首先考虑剪切破坏的情况。式(22)进行偏微分可得: s,g 1,,,1 s,g0 (28) ,,,2 s,g ,,N,,,3 ssseee将,,g,，,,g,，,,g,代换,,，,,，,,，式(17)变为: 123123 sss,,,,,gggSN,,,,,, ,,112,,,,,,,123,, sss,,,,,ggg (29) SN,,(1),,,,,22,,,,,,,123,, sss,,,,,ggg SN,,,,，,,,,312,,,,,,,123,, 由式(14)，(18)可得: NIs ,,,,,,,,()N1112, NIs (30) ,,,,,,,(1)N222, NIs ,,,,,,,,，()N3312, 且， sIIf(,),,s13 (31) ,,,,,，()()NNN,,,,,,,1212 考虑拉伸破坏的情况，类似方法可得: ,NIIt2 ,,,(),,,,113,1 ,NIIt2 (32) ,,,(),,,,223,1 Nt ,,,3 3D3. FLCA执行方法 3D当在FLCA中运行莫尔库伦模型时，首先通过将由虎克定律计算出的应力增量叠加到原有 I,应力上计算()，这时可计算出主应力。如果主应力达到破坏准则，进入domain 1或者ij NNNdomain 2。在第一种情况下，产生剪切破坏，,, 由式(30)求得;在第二种情况,,,123 NNN下，产生拉伸破坏，,, 由式(32)求得。 ,,,123 II,,,,,,如果应力点在平面上落在包线内部，那么表明在这一步计算中没有出现塑，，，，1313 I性流动，新的主应力为。 ,,1,3i,i 4. 模型验证 如图3所示，x，z方向主应力相等，边界条件为 ,,,011 (33) ,,,,vtL/22 ,,,033 式中，是试样y方向的恒定变形速率，L为试样高度。 v 图3 模型实验边界条件 3D在FLAC中，采用一单元进行模拟，计算坐标(0，1，0)在指定竖向位移下的竖向应力并与解析解对比，结果如图4，5。经计算发现，解析解与数值解吻合较好，当点的竖向位移较大时，存在偏差。 5(结论 3D将塑性理论的增量模型及摩尔库仑准则和拉伸破坏准则相结合，形成FLAC中采用的摩尔库 I3D,仑模型。针对不同的应力计算值，在FLAC中采用不同的处理方法。最后通过模型试验ij 3D与解析方法进行对比，发现FLAC计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变形较大时逐渐出现一定偏差。 Job Title: ododometer test on mohr-coulomb sampleFLAC3D 3.00 4.0View Title: Step 100010:44:28 Wed Sep 27 2006 3.5History Rev 2 n_sy (FISH symbol) Linestyle 2.287e-001 <-> 4.054e+000 3.0 Rev 3 a_sy (FISH symbol) Linestyle 2.333e-001 <-> 4.667e+000 2.5 Vs. Rev 1 Y-Displacement Gp 3 5.000e-004 <-> 1.000e-002 2.0 1.5 1.0 0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0Itasca Consulting Group, Inc.x10^-3Minneapolis, MN USA 0图4 vs S (膨胀角10) ,yy Job Title: ododometer test on mohr-coulomb sampleFLAC3D 3.00 4.0View Title: Step 100011:15:50 Wed Sep 27 2006 3.5History Rev 2 n_sy (FISH symbol) Linestyle 2.287e-001 <-> 3.883e+000 3.0 Rev 3 a_sy (FISH symbol) Linestyle 2.333e-001 <-> 4.667e+000 2.5 Vs. Rev 1 Y-Displacement Gp 3 5.000e-004 <-> 1.000e-002 2.0 1.5 1.0 0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0Itasca Consulting Group, Inc.x10^-3Minneapolis, MN USA 0,图5 vs S (膨胀角0) yy 6. 参考文献 3D[1] Itasca Consulting Group, Inc. FLAC User Manuals, Version 2.1, Minneapolis, Minnesota, 2002.6 [2] Wood，D.M. Soil Behavior and Criterion State Soil Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. [3]钱家欢,殷宗泽. 土工原理与计算. 北京:中国水利水电出版社,1996 [4]郑颖人,沈珠江,龚晓南. 岩土塑性力学原理. 北京:中国建筑工业出版社,2002