数学分析是师院数学专业的主修必修课程

66 ,,,12、,(x),,x； 1 3、,； (logx),axlna xx4、,(a),alna； 25,,,(tanx),secx；；； (sinx),cosx(cosx),,sinx 2（5 ,,(cotx),,cscx；； (cscx),,cscx,cotxC ,； (secx),secx,tanx 11 6、, ； ； ,(arcsinx),(arccosx),, 221,x1,x 11 ,, ； ． (arctanx),(arccotx),, 221，x1，x参数方程求导法则 67 若函数由参数方程fx() 可导，且xtytttt,,,,,,,,,,(),(),,(),() C ,dyt,(),,,()0,t,则． ,dxt(), 隐函数求导法则 68 设AB,为非空数集，对任意，通过方程xA, Fxy(,)0,给出，对唯一的yB,，这种对应关系f称 由方程Fxy(,)0,所确定的隐函数，以yfx,()代入 B 方程，成为Fxfx(,())0,．应用复合函数求导法则， 可以求出隐函数yfx,()的导数．（一般结果见第十六 章） ?4.3 微分 微分的定义 69 设函数xxyfx,(),y在的改变量与自变量的改变0 量,,,，,yAxOx(),有下列关系其中是与A,x,x C xyfx,()无关的常数，则称在可微，称为Ax,0 xyfx,()dyAx,,dyAdx,在的微分，记成或． 0 可微与可导的关系 70 函数xxfx()fx()在可微的充分必要条件是函数在00C 16 ,dyfxdx,()可导，而且 0 微分法则 71 如果可微，则 UxVx(),() （?）； dUxVxdUxdVx[()()]()(),,, （?）B ； dUxVxVxdUxUxdVx[()()]()()()(),,,， UxVxdUxUxdVx()()()()(),（?）dVx[](()0),,． 2VxVx()() 一阶微分形式的不变 72 设可微，则 yfxxt,,(),(), 性 B dydydydy,,,． dydxdtfxfxt,,,,,,((),()()),dxdtdxdt 微分用于近似计算 73 若函数xfx()在可微，则有以下近似公式 0 B fxfxfxxx()()()(),，,． 000 ?4.4 高阶导数与高阶微分 函数高阶导数的定义 74 ,xfx()的导数fx()在的导数如果存在，称为函 数,,xfx()在的二阶导数，记成fx()。一般地，fx() C xxn的(1)n,阶导数的导数，称为fx()在的阶导数，ndy()n记成fx()，（）或． n,2ndx 若莱布尼兹公式 xnUxVx(),() 75 都是的函数，且存在阶导数，则有 nA nknkk()()(),()uvCUV,,． n,k0, 函数,高阶微分的定义 fx()的微分dyfxdx,()的微分，称为fx()的 76 2二阶微分，记成dyyfx,()(1)n,。一般地函数的阶 C n微分的微分，称为dynfx()的阶微分，记成。我们 nnn()nn有dyfxdx,()(())注意dxdx,． 第五章 微分中值定理、导数在研究函数方面的应用 ?5.1 微分中值定理 如果存在局部极值的定义 77 ,,0,对任意，当时，h,,h fxhfx()()，,(()())或fxhfx，,fx()，则称0000C x在取局部极大值（相应地，局部极小值）．局部极大0 值，局部极小值，统称局部极值． 若函数费马定理 78 xxfx()在可导，且在取局部极小值，则00C ,fx()0,． 若函数罗尔中值定理 fx()满足以下条件 79 C 17 （1）在闭区间上连续； [,]ab （2）在开区间内可导； (,)ab （3）， fafb()(), 则存在,Cabfc,,(,),()0使． 拉格朗日中值定理 80 若满足以下条件： fx() （1）在闭区间上连续； [,]ab （2）在开区间内可导， (,)ab D [()()]fbfa,则存在,fc(),Cab,(,),使，或者存在 ()ba, ,,,,,，,,(0,1),()()[()]()使fbfafababa． 常函数的特征 81 函数fx()在区间上恒为常数的冲要条件是：I B fxxI()0,,,,． 若函数柯西中值定理 82 满足以下条件： fxgx(),() （1）在闭区间[,]ab上连续； （2）在开区间(,)ab内可导， C （3）对任何,xabgx,,(,),()0, ,fxfbfa()[()()],则存在Cab,,(,),使． ,gxgbga()[()()], ?5.2 罗比塔法则 0 83 法则1 fxgx(),()满足如下条件: 如果函数(,)xa, 0 (1)在点a的某去心邻域内可导，g,(x),0, (2) ； lim()lim()0fxgx,,xaxa,,C ,fx()f(x)(3)lim,l，那么 ． ,llimxa,x,ag(x),gx() 0 84 法则2 fxgx(),()满足如下条件: 如果函数(,)x,, 0 (1)存在时可导，且 g,(x),0,； AxA,,0,当C (2) ； lim()lim()0fxgx,,xx,,,, 18 ,fx()f(x)lim,l(3)；那么 ． ,llimxa,x,ag(x),gx() , 85 法则3满足如下条件: 如果函数fxgx(),() (,)xa,, (1)在点a的某去心邻域内可导，g,(x),0,； (2) ； lim()lim()fxgx,,,xx,,,,C ,fx()f(x)(3)lim,l，那么 ． ,llimxa,x,ag(x),gx() , 86 法则4满足如下条件: fxgx(),()如果函数 (,)x,,, (1)存在时可导，且,(),0, gxAxA,,0,当 (2) ； lim()lim()fxgx,,,C xx,,,, ,fx()f(x)(3)lim,l，那么 ． ,llimxa,x,ag(x),gx() 0,其他不定型 87 (1)或型，可以化成； 0,,0, 0,(2)或,,,型，可以化成； 0, B ,00(3)1,0,,型，可以先取对数，化成型，再化成0,, 0,或． 0, ?5.3 泰勒公式 泰勒公式 88 若函数anfx()在存在阶导数则有： nfahThoh()()()，,，，其中， n C nkk()Thfxak()(0)()/!,,afx()称为函数在的n,k0, n阶泰勒多项式。 麦克劳林公式 89 若函数nfx()在原点存在阶导数，则有 C nkkn()fxfxkox()(0)/!(),，． ,k0, 泰勒公式余项 90 余项：（函数anfx()在的阶泰勒公式的余项） B 19 RhfahTk()()(),，, nn n（1） 皮亚诺型余项Rhoh()(),； n （2） 拉格朗日型余项 若函数在闭区间存在阶导数，则 fx()[,]abn，1 n，1hRhfn()(1),01,，,,,． nn(1)!， ,x11e几个常用的泰勒公式 x2nn，1 91 （1）(0<,,,)～ ,1，，， , , , ，，exxxx2!!(，1)!nn ,m1(,1)11,352m1(2) sinx,x,x，x，,,,，x，R(x)2m3!5!(2m,1)! 21k，xk ()(1)cos,01,,,,,,,,RxxxR 2m(21)!，k 2kmxk（3）xRxcos(1)(),,， 21m,，kk0(2)!, 22k，xk，1RxxxR()(1)sin,01,,,,,,,, 21m，k(22)!， C knxk,1（4）xRln(1)(1)，,,，（x） n,kk,1 n，1xnRxx()(1),01,1,,,,,,, nn，1nx(1)(1)，，, n,,,(1)(1),,，kk,(5) (1)()，,，xxRx n,kk!,0 n,,,,(1)()(1),,,nn，1Rxx(),01,,,, nn,，1,nx!(1)，, ?5.4 导数在研究函数方面的应用 若对任何严格单调充分条件 92 ,,xabfxfx,,,(,),()0(()0)或则函数 C fx()(,)ab在内严格增加（相应地严格减少）． 若函数单调性充要条件 fx()(,)abfx()(,)ab在内可导，则在内单调 93 增加（或单调减少）的充要条件是对任何xab,(,)，C 总有,,fxfx()0(()0),,相应地． 如果函数不等式定理 fxgx(),()满足如下条件: 94 （1） 在闭区间[,]ab上可导； B （2） 在开区间(,)ab内， 20 ,,,,； fxgxfxgx()()(()()),,或 （3） ，则对任何 fagafbgb()()(()()),,或 ． xabfxgx,,(,),()()有 若函数极值第一判别法 可导，且 95 fx() ,fcxCC()0,0,(,),,,,存在当时，,, C ,,．，当时，xCC,，(,),fx()0(0),,fx()0(0),, 则在C取局部极大值（局部极小值）． fx() 96 极值第二判别法 若函数,在C存在n阶导数， fx()fc()0,, (1)n,(1)n，,,,fcfcfc()()()0,,,,,fc()0,， (2)n, (1)当n为奇数时，在C不取局部极值； fx()C ()n(2)当fc()0,,n为偶数时，如果则fx()在C取得 ()n极小值；如果fc()0,,则fx()在C取得极大值．特 别的，n=2时情形常用． 凹凸性定义 97 如果函数fx()在[,]ab上连续，且对任何 xxab,[,],,总有 12 xx，1xx，11212ffxfx()[()()],，ffxfx()[()()],，或 1212C 2222 ，则称函数fx()在[,]ab上严格上凹（或严格上凸）， 简称函数fx()在[,]ab上上凹（或凸）． 凹凸性判别法 98 设函数fx()(,)ab在内存在二阶导数，如果对任何 ,,,,fxfx()0(()0),,或xab,(,)fx()，总有，则称在C (,)ab内凹（或凸）． 拐点的定义 99 如果曲线yfx,()Mcfc(,())在点的一侧凹，另一侧 C 凸，则称M是曲线的一个拐点． 拐点的必要条件 100 设函数yfx,()Mcfc(,())存在二阶导数，且是曲线 C ,,yfx,()fx()0,的拐点，则．反之不真． 当曲线在C上动点P沿曲线C无限远离原点时，如果P渐进线的定义 101 C 21 点到直线l的距离趋于0，则称直线l是曲线C的一条渐近线． （1） 垂直渐近线 渐近线种类及求法 102 若xa,，则直线是曲lim()lim()fxfx,,,,或,，xaxa,, 线的垂直渐近线． yfx,() （2） 斜渐近线 C fx()若xa,则直线是abfxax,,,lim,lim[()],xx,,,,x 曲线的斜渐近线。特别的，时，l是曲yfx,()a,0线的一条水平渐近线． yfx,() （1） 求函数的定义域； 描绘函数图像 103 （2） 判断函数是否有奇偶性，周期性； （3） 求出函数的间断点、渐近线； （4） 计算函数的一、二阶导数，确定函数的单调区C 间、极值点、凹凸区间，拐点；（一般列成一表） （5） 计算曲线上某些特殊点的坐标； （6） 标点、画渐近线、描图像． 第六章 实数连续性的基本定理，闭区间上连续函数的性质（?） ?6.1 实数连续性基本定理 闭区间套定理 104 设有闭区间列 {[,]}ab满足： nn （1）[,][,],ababnN,,； nnnn，，11 C （2），则存在唯一数l满足： lim()0ba,,nnn,, labnNabl,,,,,[,],,limlim且nnnnnn,,,, 设确界的定义 105 ,,,,,,ERR,,； （?）若,满足以下条件； （1） 对任何xEx,,,有,； （2） 对任意,,,,,,,0,,存在使xEx，则称00C ,supE为E的上确界，记成； （?）若,满足以下条件； （3） 对任何xEx,,,有,； 22 ,,,,,,，0,,存在使xEx对任意，则称,为E00 的下确界，记成． infE 若非空数集E有上界（下界），则E必有唯一的上确界确界定理 106 C （下确界）． 有限覆盖定理 107 若开区间集[,]abU,S覆盖了闭区间，即，[,]abIS,（Heine-Borel） C 则S中存在有限个开区间也覆盖了闭区间． [,]ab柯西收敛准则的证明 , 108 Bolzano方法的要点是设法构造具有性质P的闭区间B (Bolzano方法) 列，并用闭区间套定理找出满足条件的数． ?6.2 实数连续性基本定理 使用有限覆盖定理证明：先设法作出满足局部性质的开有界性定理的证明 109 B 覆盖，再有有限覆盖定理得到整体性质． 利用有界性定理，使用确界定理及反证明法得到证明． 取最大，最小值性定 110 B 理的证明 用反证法证明：根据Bolzano方法，构造闭区间套，找介値性定理的证明 111 出一个定点c,在B fc()0,的时候必产生矛盾． 一致连续性的概念 112 设函数fx()在区间I上有定义，如果,,，,,0,>0, 对任意,当时，x,xIxx,,,,1212 C ， 恒有fxfx()(),,,12 则称函数fx()在区间I上一致连续． 一致连续性（Cantor） 113 如果函数fx()[,]abfx()在闭区间上连续，则称函数 定理 [,]ab在闭区间上一致连续．（证明方法：使用有限覆盖C 定理，从,找出通用的） , 第七章 不定积分 ?7.1 概念、公式与法则 设函数原函数概念 114 fx()Fx()在区间上有定义，如果存在函数，I 使对任何,xIFxfx,,,()()Fx()fx()，则称是函数C （在区间）上的一个原函数． I 原函数一般形式 115 若Fx()fx()是函数（在区间I）上的一个原函数，则 B fx()FxC()，的任意原函数可表成． 23 不定积分定义 116 函数的所有原函数，称函数的不fx()FxC()，fx() 定积分．表为．其中，称为fxdxFxC()(),，fx(),D 被积函数，称为积分表达式，称为积分常数． fxdx()C d运算法则 117 （1） [f(x)dx],f(x),dx （2）dF(x),F(x)，C , B （3）kf(x)dx,kf(x)dx(k是常数～ k ,0) ,, （4） [()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,,,,, 基本积分表 118 (1) kdx,kx，C(k是常数) , 1,,，1(2) xdx,x，C,，,1 1(3) dx,ln|x|，C ,x xax(4) adx,，C ,aln (5) cosxdx,sinx，C , C (6) sinxdx,,cosx，C , 12(7) dx,secxdx,tanx，C ,,2cosx 12(8) dx,cscxdx,,cotx，C ,,2sinx 1(9) dx,arctanx，C ,21，x 1(10) dx,arcsinx，C ,21,x ?7.2 两种积分法 分部积分法 119 设函数,u(x) v(x)及uxvxdx()(),可导，且不定积分 , ,uxvxdx()()均存在，则有 ,C ,,uxvxdxuxvxuxvxdx()()()()()(),, ,,．第一换元积分公式 120 设u,[,],,,(x)在上可导，且,,,,,,(),[,]xxab，～f(u)C （凑微分公式） 24 在上有定义并具有原函数～ 则有换元公式 [,]abFu() , ． fxxdxFxC[()]()[()],,,,，,, 第二换元积分公式 121 设x ,(t)是在上可导～且,[,],,（代换法） ,，f(x)在上有定义并有原,,,,,,,(),()0tt[,]ab 函数F(u)～C ,有原函数， fttdt[()](),,Ft(), 则有换元公式 ,1． fxdxFxC()[()],，,, ?7.3 有理函数积分法 有理函数积分法基本 122 求有理函数不定积分的基本步骤：RxPxQx()()/(), 步骤 （不妨设Rx()为既约分式） 1、 将Qx()分解成实系数的一次因式和二次不可约因 式的积的形式； C 2、 将PxQx()/()分解成一个多项式与若干个部分分 式之和的形式；（待定系数法） 3、 求出各部分分式多项式的不定积分； 4、 合并所得结果，即得到Rx()的不定积分． Adx四类部分分式的积分 123 1、 ,,，Axacln,xa, BdxB1,n2、xacnINn,,，,,(),,2其中， n,xan()1,, AxBABApxp，,，2223、 dxxpxqc,，，，，ln()arctan2,22xpxq，，244qpqp,, B 2其中，40qp,, AxB，24、dx40qp,,其中，，可转n,22n,()xpxq，， dt化为I,我们有递推公式 n22,ta，() 25 tn23,II,，． nn,122212n,2(1)()2(1)antaan,，, ?7.3 简单无理及三角有理式的积分法 124 axb，axb，nnRxRx(,)(,)的积对于的积分（其中）nadbc,,,2,0cxd，cxd， B 分 n只需作代换t=即可将原积分化成有()/()axbcxd，， 理函数的不定积分． 125 22化成以下三种积Rxaxbxc(,)，，Rxaxbxc(,)，，运用配方法，可将 分之一： 的积分 22Rttdt(,)，, , 22Rttdt(,),, , B 22Rttdt(,),, , 我们分别作以下三角代换： tatata,,,tan,sec,sin,,,即可化为三角有理式 的积分。 x 126 Rxx(sin,cos)的积我们可做代换，即可将原积分化成有理函数的t,tan2 x分 积分，但使用，一般较繁，在以下几种情形可t,tan2 用其他代换． （1）RxxRxxt=sinx(sin,cos)(sin,cos),,,,用； （2）RxxRxxt=x(sin,cos)(sin,cos),cos,,,用； B （3）RxxRxxt=x(sin,cos)(sin,cos),tan,,,用； nmnm（4）Rxxxx(sin,cos)sincos,, 当n为奇数时，可用； t=sinx 当n为偶数时，可用； t=xcos 当m,n都是偶数时，可用倍角公式化简降幂． 第八章 定积分 ?8.1 基本概念与可积条件 26 设函数f(x)在[a～ b]上有界～ 在[a～ b]中任意插入若干个分定积分定义 127 点 a,x, x, x, , , ,, x, x,b～ 012n,1n把区间[a～ b]分成n个小区间 [x～ x]～ [x～ x]～ , , ,～ [x～ x] ～ 0112n,1n各小段区间的长依次为 ,x,x,x～ ,x,x,x～, , ,～ ,x,x,x, 110221n n n,1在每个小区间[x～ x]上任取一个点, (x, , , x)～ 作i,1i ii,1 ii函数值f (,)与小区间长度,x的乘积 ii f (,) ,x (i,1～ 2～, , ,～ n) ～ 并作出和 ii n , S,f(,),x,iii,1 记, , max{,x～ ,x～, , ,～ ,x}～ 如果不论对[a～ b]怎样分12nD 法～ 也不论在小区间[x,～ x]上点, 怎样取法～ 只要当i1i i ,,0时～ 和S 总趋于确定的极限I～ 这时我们称这个极 b限I为函数f (x)在区间[a～ b]上的定积分～ 记作f(x)dx～ ,a nb即 , f(x)dx,limf(,),x,ii,a,,0i,1 其中f (x)叫做被积函数～ f (x)dx叫做被积表达式～ x叫做积分变量～ a 叫做积分下限～ b 叫做积分上限～ [a～ b]叫做积分区间,． 如果当时，和不存在极限，则称函数f(x)在区,,0S 间[a～ b]上不可积． 可积条件 如果函数f(x)在区间[a～ b]上可积，则函数f(x)在区间[a～ 128 B b]上有界，其逆不真． 小和与大和（达布和） 设函数f(x)在区间[a～ b]上有定义且有界，对[a～ b]做分割 129 T：a,x, x, x, , , ,, x, x,b，记 012n,1n mfxxxx,,inf{()[,]},kkk,1 ，令 Mfxxxxkn,,,sup{()[,]},1,2,,kkk,1 B nn sTmxSTmx(),(),,,,sT()ST()，称和kkkk,,kk,,11 为函数f(x)相对于分法T的小和和大和。（统称为达布 和） 达布和的性质 139 （1） 对于分法任意T，有sTST()(),,, B （2） 对于分法任意T，有 27 n sTfxxx()inf{()[,]},,,,,, kkkkk,,1k,1 n STfxxx()sup{()[,]},,,,,； kkkkk,,1k,1 （3） 设T是[a～ b]的一个分法，,是T的基础上加T 入新分点构成的，则,,,； sTSTSTST()(),()(),, （4） 对[a～ b]的任两个分法T，,，有； sTST()(),T （5） 我们总有sup{()}inf{()}STST,． TT 可积准则 函数f(x)在区间[a～ b]上可积的充要条件是 131 B ． lim[()()]0STsT,,,,0 可积函数类 1、 若函数f(x)在区间[a～ b]上连续，则函数f(x)在区间[a～ 132 b]上可积； 2、 若函数f(x)在区间[a～ b]上单调，则函数f(x)在区间[a～ B b]上可积； ３、若函数f(x)在区间[a～ b]上有界，且仅有有限个间断 点，则函数f(x)在区间[a～ b]上可积． ?8.2 定积分的性质 线性性质 133 1、bbb[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,, ,,,aaa C bb2、kfxdxkfxdx()(),, ,,aa 积分区间的可加性 134 ,、如果f(x)在区间[a～ b]上可积，而[,][,]cdab,，则 f(x) 在[,]cd上可积． C 如果f(x)在区间[a～ c]，[,]cb上可积，则f(x) 在区间[a～ b] bcb上可积且f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx． ,,,aac积分的保号性 5、如果f (x)在区间[a～ b]上可积，且对 f (x),0～ 则 135 bC f(x)dx,0(a,b)． ,a 积分不等式 6、如果f (x),g(x)在区间[a～ b]上可积f (x), g(x) 则 136 bbC f(x)dx,g(x)dx(a,b), ,,aa 28 7、如果f (x)在区间[a～ b]上可积,，则函数在f (x)fx() bb上可积，且|f(x)dx,||f(x)|dx ,,aa 8、如果函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 则在积分区间积分中值定理 137 [a～ b]上至少存在一个点, ～ 使下式成立: b f(x)dx,f(,)(b,a),． ,a 9、如果函数f(x)， g(x)在闭区间[a～ b]上连续～ g(x)在区C 间[a～ b]上不变号，则在积分区间[a～ b]上至少存在一个 点, ～ 使下式成立: bb fxgxdxfgxdx()()()(),,． ,,aa ?8.3 定积分的计算 如果函数f(x)在区间[a～ b]上连续～ 则函数微积分学基本定理 138 x,(x),ftdt()在[a～ b]上可导～ 并且,a D xd,,(x),f(t)dt,f(x)(a,x