三角函数论文三角函数
摘 要
三角函数具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点,是描述周期现象的重要数学模型,在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。
关键词:数学 三角函数 定义 运用
1 引言
三角学的发展,由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久,在古代,由于古代天文学的需要,为了计算某些天体的运行行程问题,需要解一些球面三角形,在解球面三角形时,往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形,这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学...
三角函数
摘 要
三角函数具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点,是描述周期现象的重要数学模型,在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问
中的应用做简单的讨论。
关键词:数学 三角函数 定义 运用
1 引言
三角学的发展,由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久,在古代,由于古代天文学的需要,为了计算某些天体的运行行程问题,需要解一些球面三角形,在解球面三角形时,往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形,这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学;虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学,但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。在古希腊,为了便于观察天体的运行及解球面三角形﹐著名天算家托勒密(Ptolemy,约87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,约公元前180-125)的基础上,也编制了所谓“弦
”,他藉助于几何知识,编制了弦长表,在编制中,也曾发现一些球面三角学与平面三角学的关系式,并且计算过弧的弦长;可是,希腊人却未引用“α余弧的弦”或“余弦”这类名称。 8-12世纪,希腊文化传入印度以及阿拉伯﹐在这些国家里,不但提出“正弦”一词﹐还以几何方法定义了“余弦线”﹑“正切线”﹑“余切线”以及“正矢线”的意义﹐并编制了各种三角表;其编制方法虽不相同,但编制的数值却相当精密,对三角学提供了不少贡献;阿拉伯天文学家纳速拉丁(Nasir al-Din al-Tusi,1201-1274)在他的著作《论四边形》里,首先把三角学从天文学中分割出来,看作为一门独立的学科。
2三角函数定义
三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性,所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用,在物理学中也是常用的工具。
由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。
3锐角三角函数
在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式:
sin A=∠A的对边长/斜边长,sin A记为∠A的正弦;sinA=a/c
cos A=∠A的邻边长/斜边长,cos A记为∠A的余弦;cosA=b/c
tan A=∠A的对边长/∠A的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切;
当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。
sinA=cosB sinB=cosA
4常见三角函数
在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)。
在这个直角三角形中,y是θ的对边,x是θ的邻边,r是斜边,则可定义以下六种运算方法:
图一
表一
基本函数
表达式
语言描述
正弦函数
sin θ=y/r
角θ的对边比斜边
余弦函数
cos θ=x/r
角θ的邻边比斜边
正切函数
tan θ=y/x
角θ的对边比邻边
余切函数
cot θ=x/y
角θ的邻边比对边
正割函数
sec θ=r/x
角θ的斜边比邻边
余割函数
csc θ=r/y
角θ的斜边比对边
、
5 实际应用
在实际生活中,有许多周期现象可以用三角函数来模拟,如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等,都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题;很多最值问题都可以转化为三角函数来解决,如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。
6最值问题
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。
总之,设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系,对这类问题,有的虽然可以用边为变量建立函数关系,但往往求解比较困难。用“角变量”建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点,一般可以利用三角函数的相关知识,如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。
7参考文献
[1]人教版数学必修4
[2]三角函数的定义(百度)
[3]初等数学研究 石函早 郭秀清
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