高等数学作业集第五章答案（谢惠扬）

高等数学作业集第五章答案（谢惠扬） 15.1 定积分的概念与性质 . 3.利用定义计算定积分xdx,0 11.填空 n解:将区间等分，则每个小区间的长度x，每个小区间上取[0,1],,i2n(1) 根据定积分的几何意义， 12 (2x，3)dx,,,1,1i11i2,xdx,lim,,右端点，于是 ,,,2i,0,,n, ,____0____ 4,xdx,cosxdx,nn2nn,1,,00 11 (2)设，则_____5____， 2f(x)dx,10f(x)dx,,,,,114. 比较下列各对积分的大小: ,,,11112244____-5___， . [2f(x)，1]dx,f(x)dx,(1)与 arctanxdx(arctanx)dx,,,11,,5500 , 2arctanx,(arctanx)解:当时，，所以， 0,x,0,arctanx,12.选择题 4 12,,(1) 定积分xlnxdx值的符号为 () B1,244从而arctanxdx,(arctanx)dx 2,,00大于零 小于零 等于零 不能确定 A.B.C.D. x(2)曲线y,x(x,1)(x,2)与轴所围成的图形的面积可示为() C442(2)与 lnxdx(lnx)dx,,1233; ; x(x,1)(x,2)dxx(x,1)(x,2)dxA.B.,,002lnx,(lnx)解:当时，，所以， 3,x,4lnx,112; x(x,1)(x,2)dx,x(x,1)(x,2)dxC.,,44012从而 lnxdx,(lnx)dx,,1233 x(x,1)(x,2)dx，x(x,1)(x,2)dxD.,,01 1 1141124(3)与 1，xdx(1，x)dx . 6.求证:,dx,1,,,,,11122，x 111114242解:因为，所以 1，xdx,(1，x)dxf(x),1，x,1，x证明:在区间上的最大值、最小值分别为， [1,4]、,,,,112，x36 由性质6可知结论成立. ,,1 222(4)与 xdx(1,cosx)dx,,0021 21,7.设f(x)在区间[0,1]上可微，且满足条件，试证:f(1),2xf(x)dx2,1,cosx,x解:当时，， 0,x,022,,1222,存在，使. ,,(0,1)f(,)，,f(,),0(1cos)从而 ,xdx,xdx,,002 证明:设F(x),xf(x)，由积分中值定理可知，存在,,(0,1)，使 3x5.估计积分的值: dx,2,1，1x11122xxf(x)dx,F(x)dx,F(,), ,,00f(x),解:设，先求f(x)在[,1,3]上的最大、最小值， 22x，1 221x，,x,x，x12(1)(1)12,,f(x),0(,1,3) 由得内驻点fx,,(),2xf(x)dx,2,F(,),F(,)从而F(1),f(1),， 2222,0x，x，(1)(1)2 11F(x),xf(x)[,,1],,(,,1),(0,1)可知在上满足罗尔定理，所以存在，f(,1),,0.5,f(1),0.5,f(3),0.3，由知,,f(x),, x,122 33311,,F(,),0f(,)，,f(,),0使，即. 由定积分性质得 ,2,(,)dx,f(x)dx,dx,2 ,,,,,,11122 2 1xdt11dy8.已知函数连续，且，求函数. f(x)f(x)f(x),x,f(x)dx,y,，则 (5)已知,ln(),022,0xdtdx，t1，sinx1sin1,20解:设，则，于是 f(x),x,af(x)dx,a1，sint,0 11111xxdy()()， a,fxdx,x,adx,xdx,adx,,a,,,,(6)已知，则 ,0000y,xf(t)dtf(t)dt，xf(x)2,,00dx11f(x),x，得，所以. a,244t,ux,uedudy ,,20(7) 由参数方程所确定的函数的导数= ,t,02u dxyuedu,,2,t, 2yxsintdy2tdt，dt,1y,y(x)2. 求由方程确定的函数的导数. 5.2 微积分基本公式 ,,00dxt 1.填空题 2dy,2sinx1解: ,dd2222(1) sinxdx, 0 , sinxdx, sinxdxy,,0dxdx 0xdd 2222(2) sintdt,, sinxdx, sinx,sinx,,0x dxdx2xd3.求下列极限 24(3) sintdt, 2xsinx,0x1sintdx(1)lim(,1)dt 3,0,0xtxcosx1dycosarctan,x,x,t,e,sinx,e,(4)已知，则, y,edtsinx2,arctanxdx1，x1,sinxxcosx11,,xlimlimlim解:原式=,,,, 232x,x,x,000183x3x9x 3 2, ,, x432(ln(1，t)dt),0 lim(2) 4,0xx211，2xxx(3) dx1,222ln(1t)dtln(1x)ln(1t)dt，,，，(1，)xx3,,00limlim,解:原式= 32,,00xx4x2x2211，，1xx11解:原式= ,，dx()dxln(1x)1，112222,,=lim ,，，x(1x)x1x33x,04x4 , ,,1，3 12 21(4) dx,24.计算下列定积分 04，x 411x,2arctan(1) 解:原式= x(x，)dx,02,1228x 34462121xdx解:原式=，,，ln4 dxxx,,(5) 2edx115x,0 x(2e)2e,11,解:原式= 041xln(2e)1，ln2dx(2) 2,01，x, 4secxtanxdx(6) 4,110,，x1112,,，dx(x1)dx解:原式= ,,2200，，1x1x 4 ,1111513202314解:原式= secx,2,1 ,[x,x]，[x,x],，,10,10322366 2,1cos2,xdx,(10) ,0222(7) cotxdx,,42,,2,解:原式= sinxdx,sinxdx,sinxdx,,,00,,,,222(cscx,1)dx,(,cotx,x),1,解:原式= ,2,,,,,,cosx，cosx,4 40,44 ,113 (8) dx(11) x,txdx,,22,0sincosxx411t(xt)xdx解:当时，原式; ,,,,t,0,,,22,sinx，cosx02232333解:原式= dx,secxdx，cscxdx,,,,,,221t1sinxcosx444(tx)xdx当时，原式; ,,,,t,1,023233t11tt, ()(),,，,,,，txxdxxtxdx当时，原式 0,t,13,,t0323 12(9) x,xdx,,1,,sinx,0,x,x,012225. 设，求， f(x),,(x),f(t)dt(x,x)dx，(x,x)dx 解:原式= ,,,,0,,10,1,x,,,2, 5 1.计算下列定积分 并讨论在区间上的连续性。 ,(x)[0,,] 21 dx (1)xx,2,1解:当时，,(x),f(t)dt,sintdt,1,cosx， 0,x,(3x-1),,002 111,2xx,解:原式= ,,,12当时， ,x,,,(x),f(t)dt,sintdt，dt33110x,,,,,0022xln3e ,dx(2) x,01， ,，x,1，e2 ln31 xxln3在区间上处处连续. ,(x)[0,,]解:原式= d(1，e),ln(1，e),ln20,x01，e 32,x(3) edx,06.设f(x)在[a,b]上连续,在(a, b)内可导,且 23,xx,22x解:原式= ,ed(2,x)，ed(x,2)1,,,,02,,,证明在(a, b)内有F(x),0. f(x)0,F(x)f(t)dt,a,xa2,x2x,232xx,,e，e,e，e,2 02(x,a)f(x),f(t)dt[f(x),f(t)]dt,,aa,证明: F(x),, 22(x,a)(x,a) ,14,(4) dxf(x),0t,[a,x]f(x),f(t)由于，所以当时，， ,,,1，sinx4 从而结论成立～ ,, 1144,dxdx解:原式= ,,,, ,,xx1，sinx244(sin，cos)5.3 定积分的换元法和分部积分法 22 6 ,213,t1x,,4,t,(,t)dt3,2x,t解:令，则原式= ,，,d()cot,,,3,x,224824sin(，)24 1,133242 ,t,tdt,(3) ,3251dx(5) ,,xx0 e，e x31111exdx(8) ,dxde解:原式= ,12,x,x2200xx1，，1，1ee ,,111,cost,3x13arctan()arctandt,ln 解:令，则原式= ,e,e,x,tant,0,,44sint21，cost4 1，2,ln 1arctanx3(6) dx,0(1，)xx 2,11，xx, 31, 0arctanx,解:原式= f(x), 2dx,2arctanxdarctanxf(x,2)dx(9)设，求。 ,,,,x2 100,ex,1，(x), 0, 2t,x,2, 解:令 ,21(arctan),x, 016101x2原式=f(t)dt,(1，x)dx，edx ,,,,,110 341x0x11[]1,x，，e,，e,,，e ,10(7) x3,2xdx333,0 7 2 ,x (13)(x，x)edx,,2 1222,2x,x,x,x,x2(10) 解:原式= xedx2xedx,,2xde,,2xe，2edx0,,,,0000 111116,x,x,x2212xdexeedx解:原式 ,,,,，,2,02,,00222e 1131 ,2,2x1,2 ,,e,e,,e，02444,x4 dx(14) ,01，cos2x1(11) xln(1，x)dx,0,,,,x111444411dx,xdtanx,xtanx,tanxdx解:原式= 20,2,,000 解:原式 ,ln(1，x)dx2222cosx,02 ,11ln2111,,2124lncos,ln(1，), xxxdx,，x,,00,0221，8284x 11111 ln2(1) ,,x,，dx,,0 2214，x x,tsin ,(15) ,其中fxdt ()f(x)dx,,100,,t(12) xarctanxdx,0xsin,fx,解:因为， (),,x2111x21,,,xarctanx,dx解:原式 ,0,2,所以 f(x)dx,xf(x),xf(x)dx0221，x0,,00 ,,1,sinxsinx,,,,,,,,,,,,,， f()xdxf()(x)dx,,0042,,,,xx 8 ,,sinx,,,在上连续，且，求 3.设,,,f(x)[a,b]f(0),0,f(2),4,f(2),2 ,f()，sinxdx,dx,2,,00,,x 1 ,, . xf(2x)dx,02.证明题 11111111,,,,,x解: xf(2x)dx,xdf(2x),xf(2x),f(2x)dx1lntlnt02,,,x000lnx,dt,dt(x,0)(1) 证明 222,,1121，t1，t111, ,f(2),f(2x),00124ln1xlnt11 ux证明:令，则 dt,(,)duu,2,,111 t1，tu1，x2ux4.若函数满足，且，求.f(x)f(1),1tf(2x,t)dt,e,1f(x)dx,,01xxxxln11lnlnuuu,,(,)ln,,duudududuxx 2x,t,s,,,,解:因为 1111tf(2x,t)dt,(2x,s)f(s)ds(1，)1，1，uuuuuu,,x02,,,,,,, xxx221lnt2x 所以 2xf(s)ds,sf(s)ds,e,1,ln, xdt,,,xx121，t 2x x两边求导数，得， 2f(s)ds,xf(x),e,xxux(2)设f(x)为连续函数，证明. [f(t)dt]du,(x,u)f(u)du,,,00021e，取，。 x,1()dfxx,,1xuux2x证明: [f(t)dt]du,uf(t)dt,uf(u)du0,,,,0000 xxxx ,xf(t)dt,uf(u)du,xf(u)du,uf(u)du,,,,0000 x5.4 反常积分 ,(x,u)f(u)du,01.选择题 9 ，,x下列各项正确的是( ) D. (3)dx,30(1，x)，, 当为奇函数时，f(x)dx,0 f(x)A.,,,，,(1x)1111，,，,,dx,[,，],解:原式 0432,0412x，(1x)2(1x)，，114, dx,,,B.,20x33,(x3),0 ，,，,，,lnx反常积分与有相同的敛散性 bf(x)dxf(x)dxC.(4) dx,,,2aa1x bb1lnx12,,b，,arctansecxuu解:原式 ,lim(-lnx)d(),lim[,，dx]2212,,arctandxu,xdu= ucosuduD.11,，,,，,bb3xxx,,3,00022secu(1)，xbln1 ,,lim,lim，1,1,,b,，,b,，,,bb22= usinu,sinudu,,10,0 2 ，, ,x(5) edx,02. 判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值: ，,,,t,x,t(1) 解:令，则原式 sinxdx,e,2tdt,,0,, ，,t,,解:由定义，反常积分发散，所以原积分发散. ,2e(t,1),2sinxdx 0,0 1x，,11dx(6) ,2,sindx(2) 021,x2,xx,11x112解:dx,,d(1,x) ,,220021,x1,x，,111，,d,,sin(),cos,1解:原式 22,,xxx, 10 1 21，所以反常积分发散. ,,ln(1,x),，,0，,sinx,2，求 4.已知dx,,0 2x e21，,，,sinxxxsincos(7) dxdx(1); (2) dx,122,,001,(ln)xxxx 2t,x，,，,，,xtxxsincossin21sin,ee11解:(1) dx,dx,dt,,,,,解: dxd(lnx)000,,4xxt221122,,x1(lnx)1(lnx)2，,，,xsin12,dxxd,,sin()(2) e2,,00arcsin(ln) ,x,xx12 2，,sinxxx2sincos,，,,, ，dx,01,dx0x2x(8) ,0(2,x)1,x 0dt, 1,x,t2解:令，则原式 ,,,,21 21t， 1 n3.利用递推公式计算反常积分. I,lnxdxn,0 1 nn解:利用分部积分，,limxlnx,nI,,nI， I,lnxdxn,1n,1n,，0x,0 1 n0I,,nI,(,1)n!I依次递推，得，而， I,lnxdx,1,10nn0,0 1第五章综合练习题 nn所以 I,lnxdx,(,1)n!n,0 11 1.选择题 1，,21x,dx xedxA.B.st1x,,1,2,,(1)设函数在内连续，且，f(x)(0,，,)I,f(t，)dx(s,0,t,0)1,x,0ss 1，,11则的值( ) IC. dxdxC.D.,,2,12sinxxlnx 依赖于 依赖于 s,t,xs,tA.B. ss 依赖于，不依赖于 依赖于，不依赖于 2. 计算题 C.D.tt n112，，，lim(？)(1)求 2222n,,,,,n(2)设在上令 [a,b]f(x),0,f(x),0,f(x),0,n，n，n，n14 b112n，则s,f(x)dx,s,f(b)(b,a),s,[f(a)，f(b)](b,a)123,a21nnn,lim[，，？，]解:原式 ( ). B.n,,n12n2221，()1，()1，()s,s,ss,s,s A.B.nnn123213 1xs,s,ss,s,s C.D.312231,dx,2,1 ,021，x x，2, sint(3)，则F(x)为( ). F(x),esintdtA.,xx1n,nn(2)设函数f(x)可导，且f(0),0，， F(x),tf(x,t)dt,0正常数 负常数 恒为零 不为常数 A.B.C.D. 2,,Fx()sinttsin,提示: F(x),0,F(0),esintdt,esintdt求. lim,,2n00x,0xnt,，x,x22,,,1nnsinsintt,xsin解:令，则F(x),f(u)du， u,x,t，而. esintdt,,esinxdt，esintdt,,,,00,,n(4) 下列反常积分发散的是( ) D. 12 1,nn,1f(x)nx,11,,n24Fx1f(x)()(sec1),,x,dx,, n,,,lim所以 0limlim,8242n2n2n,1x,0,x0x,02nxx2nx n1f(x),f(0)1a,x，a,lim,,f(0) 2xtna(5)已知，求的值. lim(),tedt,0x2n2nx,0,,,,,xx,a ,xa2axa21a2t,2axalim[(1，)],tde解:由条件有， 1,arcsinx,,,,x2x,a(3)计算dx 1,(1,)xx211112a2t2ta2a2a,[,],,即 eteeaee,,242411arcsinx解:原式 ,2dx,2arcsinxd(arcsinx)511,,所以. a,1,x222 23,21,(arcsinx), 1(6)设连续非负函数满足f(x)f(,x),1(,,,x,，,)，求216 ,cosx2. ,Idx,,,,1，()fx224(4)计算xtanxsecxdx ,0,,,coscos(,)tt22,解:令， ,,dtIdtt,,x,,,,,,,111，(,)ft244221，,xtanxd(tanx),xd(tanx)解:原式 ,,00()ft2 ,,,,()cosfxx11222244,，从而，故. I,1dx2I,cosxdx,2,xtanx,tanxdx ,,,,0,,,01，()fx2222 13 ,x2 (2)利用(1)结论计算定积分sinxarctanedx,,,3.当时满足方程 x,0,t,0f(x)2 0xttxaa 证明:(1)， f(u)du,tf(u)du，xf(u)duf(x)g(x)dx,f(x)g(x)dx，f(x)g(x)dx,,,,,,111,,0aa 00au,,x且在有连续一阶导数,又,求. 令，， f(x)[0,，,)f(1),3f(x)f(x)g(x)dx,,f(,u)g(,u)du,f(,x)g(x)dx,,,,0aa xaaa解:两边对,求导，得， 所以 xf(xt),f(u)du，xf(t)f(x)g(x)dx,f(,x)g(x)dx，f(x)g(x)dx,,,,1,00a xaa令,,,，得， xf(x),f(u)du，xf(1),[f(,x)，f(x)]g(x)dx,Ag(x)dx,,,100 3 ,,x对求导，得f(x)，xf(x),f(x)，f(1)，即， f(x),,xxf(x),arctane(2)取，，，且a,g(x),sinx2所以f(x),3lnx，C，又由f(1),3知， C,3,x,x()()arctanarctan， fx，f,x,e，e,2故f(x),3lnx，3. ,,,,x22所以sinarctansin xedx,xdx, ,,,0,222 4.设f(x)，g(x)在区间[,a,a](a,0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x) f(x)，f(,x),A满足条件(为常数)， A,,0,1f(x)f(x),05.设在上连续且单调递减，又设，证明对于任意满足 aa,,,0,,,,,1,(1)证明: 的和，恒有. f(x)g(x)dx,Ag(x)dx,f(x)dx,,f(x)dx,,,,,000a x1,(x),f(t)dt证明:作辅助函数， ,0x 14 xxxfxftdtfxftdt(),()[(),()],,00,x,(),,,0由知单调递减， ,(x)22xx 故结论成立～ 15