高考数学---函数压轴题

高考数学---函数压轴题 1、 (本小题满分14分) 已知数列,, {}aaa,,2aaan,，,2(2)n12nnn，,11 (1)求数列的通项公式. {}aann 111(2)当时,求证: ，，，,n,2...3aaa12n 2*(3)若函数满足:， fx()fafnfnfnnN(1),(1)()().(),，,，,1 n11 求证: ,.,fk，()12,1k 解: ,两边加得: , aaa,，2aaaaan，,，,2()(2)nnn，,11nnnnn，,11 是以2为公比, 为首项的等比数列. ？，{}aaaa，,4nn，112 nn,1---------? --------2分 ？，,,aa4222nn，1 由两边减得: aaa,，22aaaaan,,,,,2(2)(2)nnn，,11nnnnn，,11 是以,1为公比, 为首项的等比数列. ？,{2}aaaa,,,22nn，121 nn,1-----------?--------4分 ？,,,,,,aa22(1)2(1)nn，1 nn?-?得: 32[2(1)]a,,,n 2nn所以,所求通项为--------6分 a,,,[2(1)]n3 nn,111311322，，,，,[]nnnnnn,,,111aa22121222221，,，,,nn，1 (2) 当为偶数时, nnnnn,,11322322311，，n,,,，,()(2)nnnnnnn,,,,，, 1,1n1113111312--------8分 ？，，，,，，，，,,,,...(1...)3332nn1aaa22222212n,12 21nn当为奇数时,,,又为偶数 a,,,,n？,,an，1[2(1)]00,0n，1na3n，1 1111111？由(1)知, --------10分 ，，，,，，，，,......3aaaaaaa12121nnn， 2(3)证明: fnfnfn(1)()()0，,,, ？，,？，,,,,,,,,,,fnfnfnfnfnf(1)(),(1)()(1)(1)20 11111又 ,,,,2fnfnfnfnfnfnfn(1)()()()[()1]()()1，，，， 111--------------------------------12分 ？,,fnfnfn()1()(1)，， n1111111？,,，,，,,,，,[][][],fkfffffnfn，，()1(1)(2)(2)(3)()(1),1k 1111,,,,.ffnf，(1)(1)(1)2 ---14分 2、(本小题满分14分)设函数( fxxpx()ln1=-+p,0，， (?)求函数的极值点，并判断其为极大点还是极小值点; fx() (?)若对任意的x,0，恒有，求p的取值范围; f(x),0 2222ln2ln3lnn2n,n,1 (?)证明:，，？，,(n,N,n,2).( 2222(n，1)23n ( 解:(1)， ？f(x),lnx,px，1,？f(x)的定义域为(0,，,) 11,px,f(x),,p,， …………2分 xx 1,,f(x),0，？x,,(0,，,),f(x)、f(x)随x令的变化情况如下表: p 111(0，) (,)+ x ppp fx'()+ 0 , fx() ? 极大值 ? 1x,从上表可以看出:当p>0 时，有唯一的极大值点( …………5分 fx()p 111x=(?)处取得极大值，此极大值也是最大值， f()ln=ppp 11要使恒成立，只需， ? fx()0?p?1f()ln0= pp ?p的取值范围为[1，+?(数学驿站:www.maths168.com …………9分 ) (?)令p=1，由(?)知， lnx,x，1,0,？lnx,x,1，？n,N,n,2 22?， lnn,n,1 22lnnn,11? …………11分 ,,1,222nnn 222nln2ln3ln111，，？，,,，,，？，,? (1)(1)(1)222222nn2323 111,n,,，，？， (1)()222n23 111,(n,1),(，，？，) 2，33，4n(n，1) 111111 ,(n,1),(,，,，？，,)2334nn，1 2112n,n,1,(n,1),(,), 2n，12(n，1) ?结论成立( …………14分 3、(本小题满分14分) 11111bb,，bb,,,()nn，1nn，1*n,N24222解:(1)对任意,都有，所以 111b,{}b,,3n1222则成等比数列,首项为，公比为…………2分 1111n,1n,1b,,，b,，，3()3()nn2222所以，…………4分 11n,1b,，，3()n22 (2)因为 1,3(1)nnnn11112T,，，，，，,，,,，3(1...)6(1)n21,nn12222222,12所以…………7分 12k,,27n(122)，,nTn因为不等式， 27n,k,*nn,N2化简得对任意恒成立 ……………8分 27n,2(1)72792nnn，,,,c,cc,,,,nnn，1nnnn，，112222设，则 {}ccc,n,5nn，1n当,,为单调递减数列， {}ccc,15,,nnn，1n当,,为单调递增数列 …………11分 133,,,cc45cn,5n321632,所以, 时, 取得最大值…………13分 27n,3k,k,*nn,N232所以, 要使对任意恒成立，…………14分 4、(14分) 22Sn数列首项a,1，前项和与之间满足 aSanan,, (2),,n1nnn21S,n ,,1 (1)求证:数列是等差数列 (2)求数列的通项公式 a,,,,nSn,, ,11121，，，,，SSSkn (3)设存在正数，使对于一切都成立，求nN,k，，，，，，12n 的最大值。 k 22Sn解:(1)因为时，得 SSSS,,,2n,2,,？,,aSSSS nnnn,,11,,nnnnn11,21Sn----------------2分 11由题意 Sn,,0 (2)？,,,n2 2，，nSSnn,1 ,,11又 是以为首项，为公差的等差数列 -- 4分 2Sa,,1,1？,,11SSn1,, 11,(2)由(1)有 --5分 ？,,SnN,，,，,,nn1(1)221 ，，nSn,21n 112 时，--- 7分 aSS,,,,,,？,n2nnn,1nnnn,,,,,212(1)1(21)(23) 1 (1)n,,, -- (8分) 又aS,,1？,a2,11n,, (2)n,(21)(23)nn,,, 111，，，SSS，，，，，，12n(3)设则 Fn(), 21n， 2(1)21，，SnFnnnn(1)22484，，，，n，1 -11分 ,,,,12Fn()232123nnn，，，483nn，，, 在上递增 故使恒成立只需 ？ ()FnFnk(),kFn,()nN,min 2323 又 又 -------13分 k,0？,, 0kFnF()(1),,min33 23 所以的最大值是. ---------------(14) k3 15、(本小题满分14分)已知定义在上的奇函数满足，且对任意(11),，fx()f()1,2 xy,fxfyf()()(),,有( xy、，,,(11)1,xy (?)判断在上的奇偶性，并加以证明( fx()(11),， 2x1n (?)令，，求数列的通项公式( {()}fx,x,xn1，1n2，1x2n 63,m21n,* (?)设为的前项和，若对恒成立，求的最大值( TnmnN,{}T,nnfx()2n xy,fxfyf()()(),,解:(?)(对任意有…………? xy、，,,(11)1,xy 令得;………………………………………………,分[来源:学科？xy,,0f(0)0,网ZXXK] 令由?得， fyfy()(),,,x,0 用替换上式中的有………………………………………,分 fxfx()(),,,yx 在上为奇函数(………………………………………………,分 ？fx()(11),， 2x2x1nn(?)(满足，则必有 {()}fx,x,,1x,,1n1，1n2，1x22xnn 否则若则必有，依此类推必有，矛盾 x,1x,1x,1n，1n1 ………………………………………………,分 ？01,,xn 2()xxx,,nnn？fxff()()(),,，1n211()，,,,xxxnnn ,,,,，,fxfxfxfxfx()()()()2()nnnnn fx()1n，1？，又 ,2fxf()()1,,1fx()2n ？是1为首项，2为公比的等比数列，…………………………………,分 {()}fxn n,1？ ………………………………………………,分 fx()2,n 212121nnn,,, (?)(………………………………………………,分 ,,，2nn,1fx()22n 13521n,故……………………………………? T,，，，，2()n23n2222 11352321nn,,………………………? T,，，，，，，2()n2341nn，222222 11111121n,?,?得 T,，，，，，，,2()n2311nn,，2222222 23n，………………………………………………,,分 ,,3n2 23n，？………………………………………………,,分 ,6T,,6nn,12 63,m63,m*？若对恒成立须，解得……………………,,分 nN,m,2,6T,n22 ？2的最大值为( ………………………………………………,,分 m 6、(本小题满分14分)已知数列、满足，，{}a{}baaaa,,,,2,1(1)ba,,1nn11nnn，nn 的前项和为. 数列{}bSnnn (1)求数列的通项公式; {}bn (2)设，求证:; TSS,,TT,nnn2nn，1 n1,(3)求证:对任意的有成立( nN,1，,,，Snn222 解:(1)由得代入得 ba,,1ab,，1aaa,,,1(1)bbb,，(1)nnnnnnn，1nnn，1 ，----------------------------------------------------------------1分 整理得bbbb,,nnnn，，11 ?否则，与矛盾 b,0a,1a,2nn1 11从而得, ---------------------------------------------------------------------3分 ,,1bbnn，1 1? ?数列是首项为1，公差为1的等差数列 ba,,,11{}11bn 11?，即(---------------------------------------------------------------4分 b,,nnnbn 111(2)? S,，，，，1nn23 11111111?, TSS,,1(1)，，，，，，,，，，，，nnn2231223nnnn， 111,---------------------------------------------------------6分 ，，，nnn，，122 111111证法1:? TT,,，，，,，，，()nn，1nnnnnn，，，，，2322122 111111 ,, ,,,0，,2122(21)(22)nnnn，，，，21221nnn，，， ?(--------------------------------------------------------------------------8分 TT,nn，1 11证法2:? ? 2122nn，,，,2122nn，， 111? TT,,，,,0nn，1nnn，，，22221 ?(----------------------------------------------------------------------------8分 TT,nn，1 (3)用数学归纳法证明: n1111 ?当时，不等式成立;-----------9分 n,111,1,1，,，,，，,，Snn222222 ,?假设当(，)时，不等式成立，即 nk,k,1kN, k1，那么当时 nk,，11，,,，Skk222 111k11k11 S,，，，，，,，，，，,，，，，111k，1kk，1kk，1kk，，112，2222212222 k个2 k1k，1-----------------------------------------------------------------12分 ,，，1,，1222 111111111 S,，，，，，,，，，，k,，，，，k1k，1kk，1kk，1kk2，2222222212 k2个 1 , ，，(1)k2 ?当时，不等式成立 nk,，1 ,由??知对任意的,不等式成立(-----------------------------------------------14分 nN, 7、(本题满分13分) 2已知数列的前项和为，且(数列为等比数列，且，( {}b{}aSb,1b,8nSn,nnn14n(?)求数列，的通项公式; {}b{}ann (?)若数列满足，求数列的前项和( {}c{}cca,Tnnnbnnn 2知数列的前项和为，且(数列为等比数列，且，( {}b{}aSb,1b,8nSn,nnn14n(?)求数列，{}b的通项公式; {}ann (?)若数列{}c满足，求数列{}c的前项和( ca,Tnnnbnnn 2解:(?)? 数列的前项和为，且， {}anSSn,nnn 22? 当时，( ……………2分 aSSnnn,,,,,,,(1)21n,2nnn,1当时，亦满足上式， aS,,1n,111 *故()( ……………4分 an,,21nN,n {}b 又数列为等比数列，设公比为， qn 3? ，， ?( ……………6分 b,1bbq,,8q,2141 n,1*? ()( ……………8分 b,2nN,n n(?)( ……………10分 cab,,,,,2121nbnn Tcccc,，，，nn123 n,2(12)12n12n( ,,n,,，,，，,(21)(21)(21),，，,(222)n,12 n，1所以 ( ………………13分 Tn,,,22n