曲线运动

师为提高赛车的性能，都将赛车形状设计得使其上下方空气存在一个压力差— —气动压力(行业术语)，从而增大了赛车对地面的正压力，行业中将正压力与摩擦力的比 值称为侧向附着系数，用η表示．为使上述赛车转弯时不致侧滑，则 （1）所需的向心力为多大？ （2）所需的摩擦力为多大？ （3）所需的气动压力为多大？ 2解：（1）由义得赛车转弯时所需的向心力为：F = M v ． (3分) R 2v（2）赛车转弯时所需的向心力由地面的摩擦力提供，即f = F = M ．（3分） R （3）设赛车受到的气动压力为N，受到地面的支持力为N′，则： N′= N + Mg ．（3分） N′ 由题知 η = （2分） f 2v 解得：N = ηM - Mg ． （3分） R 48、2008（14分）如图10所示，质量为m可看作质点的小球从静 ,1止开始沿斜面由A点滑到B点后，进入与斜面圆滑连接的BC竖直圆弧管道，管道出4 口为C，圆弧半径R=15cm，AB的竖直高度差h=35cm. 在紧靠出口C处，有一水平放置且 绕其水平轴线匀速旋转的圆筒（不计筒皮厚度），筒上开有小孔D，筒旋转时，小孔D恰 好能经过出口C处. 若小球射出C口时，恰好能接 着穿过D孔，并且还能再从D孔向上穿出圆筒，小 球返回后又先后两次向下穿过D孔而未发生碰撞. 不计摩擦和空气阻力，取g=10m/s2，问： （1）小球到达C点的速度为多少？ vC （2）圆筒转动的最大周期T为多少？ （3）在圆筒以最大周期T转动的情况下，要完成上述运动圆筒的半径R′必须为多少？ （1）对小球从A?C由机械能守恒定律得： 12mgh,mgR，mv ? „„„„2分 02 代入数值解出 v=2m/s 0 （2）小球向上穿出圆筒所用时间为t ,2k1,tT （k=1，2，3„„） ? „„2分 12 小球从离开圆筒到第二次进入圆筒所用时间为2t。 2 2t=nT （n=1，2，3„„） ? „„2分 2 对小球由C竖直上抛的上升阶段，由速度公式得： ? „„„„2分 0,v,g(t，t)012 0.4联立解得 T,s ? „„„„1分 2k，n,1 当n=k=1时， „„„„1分 T,0.2smax （3）对小球在圆筒内上升的阶段，由位移公式得： 12, ? „„„„2分 2R,vt,gt0112 代入数值解得 ,R,0.075m „„„„1分 49、(9分)如图所示，长为L的细绳上端系一质量不计的环，环套在光滑水平杆上，在细线的下端吊一个质量为m的铁球（可视作质点），球离地的高度h=L，当绳受到大小为3mg的拉力时就会断裂．现让环与球一起 以A 的速度向右运动，在A处环被挡住而立即停止，A离v,2gL L 右墙的水平距离也为L．不计空气阻力，已知当地的重力加速度为L g．试求： h （1）在环被挡住而立即停止时绳对小球的拉力大小； B （2）在以后的运动过程中，球的第一次碰撞点离墙角B点的距离是多少？ （1）在环被挡住而立即停止后小球立即以速率绕A点做圆周运动，根据牛顿第二定律v 2v和圆周运动的向心力公式有：,,Fmgm．．．．．．．．．．．．．2分 L F,3mg解得绳对小球的拉力大小为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 （2）根据上面的计算可知，在环被A挡住的瞬间绳恰好断裂，此后小球做平抛运动． 12．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 h,L,gt2假设小球直接落到地面上，则： 球的水平位移：x,,t,2L,L．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 所以小球先与右边的墙壁碰撞后再落到地面上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 LL设球平抛运动到右墙的时间为t′，则,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 t,,,2g L12小球下落的高度,,h,gt,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 24 L3所以球的第一次碰撞点距B的距离为：H,L,,L．．．．．．．．．．．．．．．1分 44 50、（12分）如图所示，半径 为R的光滑圆轨道竖直放置，长为2R的轻质杆两端各固定 一个可视为质点的小球A、B，把轻杆水平放入圆形轨道内， 若m,2m,m,m，重力加速度为g，现由静止释放两球，当轻0 杆到达竖直位置时，求： （1）A、B两球的速度大小； （2）A球对轨道的压力； （3）要使轻杆到达竖直位置时，轻杆上刚好无弹力，A、B两球的质量应满足的条件。 答： （1）设杆运动到竖直位置时，A、B两球的速度均为v „„„„„„（1分） 1 12对AB系统机械能守恒：mgR,mgR,(m，m),v„„„„（2分） ABAB12 2 （1分） ？v,gR13 （2）在竖直位置时，设杆对B球的强力为F，轨道对A球的弹力为F NBNA v1对B球 mgFm，, （1分） BNDBR 1Fmg„„„„„„（1分） ,ND3 ?杆对B球有向上的支持力，对A球有向下压力 2v11对A球：F,mg,mg,m （1分） NAAA2R 11？,Fmg （1分） NA3 11Fmg由牛顿第三定律，知A球对轨道的压力为 （1分） ,N3 （2）要使轻杆到达竖直位置时，杆上恰好无弹力作用B球需满足 2v2, （1分） mgmBBR 12对AB系统机械能守恒 mgR,mgR,(m,m)v ABAB22 解得 m,3mAB 51、（12分）如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37?、表面光滑的斜面体，物体A以v=6m/s的初速度沿斜面上滑，同时1在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。如果当A上滑到最高点时恰好v2 B 2被B物体击中。（A、B均可看作质点， sin37?=0.6，cos37?=0.8，g取10m/s）求： （1）物体A上滑到最高点所用的时间t； h （2）物体B抛出时的初速度v； 2v1 （3）物体A、B间初始位置的高度差h。 Aθ ?物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma 2代入数据得：a=6m/s（2分） 设经过t时间相撞，由运动学公式： 0,,vat1 代入数据得：t=1s（2分） 1?平抛物体B的水平位移：xvt,:cos37=2.4m（2分） 12 x平抛速度：v,=2.4m/s（2分） 2t 112?物体A、B间的高度差：hhhvtgt,，,:，sin37=6.8m（4分） 1AB,22 522008 (14分)如图所示，半径R=2m的四分 之一粗糙圆弧轨道AB置于竖直平面内，轨道的B端切线水平，且距水平地面高度为 h=1．25m，现将一质量m=0．2kg的小滑块从A点由静止释放，滑块沿圆弧轨道运动至B点以v=5m/s的速度水平飞出(g取10m／s2)．求： (1)小滑块沿圆弧轨道运动过程中所受摩擦力做的功； (2)小滑块经过B点时对圆轨道的压力大小； (3)小滑块着地时的速度大小和方向． (1) 滑块在圆弧轨道受重力、支持力和摩擦力作用，由动能定理 mgR-Wf=12mv 2 Wf=1.5J 2v(2)F-mg=m NR ?F=4.5N N (3)小球离开圆弧后做平抛运动 12H=gt 2 ?t=0.5s 落地时竖直分速度vy=gt=5m/s ?落地时速度大小v=5m/s 2 方向与水平方向夹角为45度 53、（2008）质量为m的小球由长为L的细线系住，细线的另一端固定在 A点，AB是过A的竖直线，且AB=L，E为AB的中点，过E作水平线 EF， 在EF上某一位置钉一小钉D，如图所示．现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，不 计线与钉碰撞时的机械能损失． (1)若钉子在E点位置，则小球经过B点前后瞬间，绳子拉力分别为多少？ (2)若小球恰能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子D的位置离E点的距离x． (3)保持小钉D的位置不变，让小球从图示的P点静止释放， 当小球运动到最低点时，若细线刚好达到最大张力而断开，最后小球运动的轨迹经过B 点．试求细线能承受的最大张力T． 122 解:(1)mgl=vmvT-mg=m 12l 2Tv-mg=m ?T=3mg T=5mg 212l/2 (2)小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点时有速度v，此时做圆周运动的半径1 L12为r，则mg(-r)= mv ? 122 2v1 且mg=m ? r L222 由几何关系:X=(L-r)-() ? 2 7 由以上三式可得：r= L/3 ? x=L ? 6 (3)小球做圆周运动到达最低点时，速度设为v则 2 2v2T-mg=m ? 以后小球做平抛运动过B点，在水平方向有x=vt ? 2r 1112在竖直方向有：L/2-r=gt ? 由?????式可得T=mg 2454、（14分）（2008）如图所示，位于竖直平面内有1/4圆弧的光滑 轨道，半径为R，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H。当把质量为m的 钢球从A点静止释放，最后落在了水平地面的C点处。若本地的重力加速度为g，且不计 空气阻力。试计算： （1）钢球运动到B点的瞬间受到的支持力多大？ （2）钢球落地点C距B点的水平距离s为多少？ 解析：（1）钢球由A到B过程由机械能守恒定律 12 mgR,mv2 2v对钢球在B点由牛顿第二定律 ,,NmgmR 解??得支持力为 N=3mg 12（2）钢球离开B点后做平抛运动有 H,R,gt2 s,vt s,2(H,R)R 联立上述各式，解得55、（11分）如图甲所示，在一端封闭、长约lm的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃 管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时， 蜡块在玻璃管内每1s上升的距离都是10cm，玻璃管向右匀加速平移，每1s通过的水平位移依次是2.5cm、7.5cm、12.5cm、17.5cm．图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t=0时蜡块位于坐标原点． （1）请在图乙中画出蜡块4s内的轨迹； （2）求出玻璃管向右平移的加速度； y/cm （3）求t=2s时蜡块的速度v． 40 （1）如图 （3分） 30 （2）Δx=at2 （2分） 20 ,x,22a=,5，10m/s （2分） 2t10 y（3）v,0.1m/s= （1分） yt 0 10 20 30 40 x/cm v=at=0.1m/s （1分） x 22v=v，v,0.12m/s （2分） xy 56、（13分）一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内， 环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球 （可视为质点）．A球的质量为m，B球的质量为m．它们沿环形圆管顺时针运动，经过12B 最低点时的速度都为v．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高0 点，重力加速度用g表示． （1）若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？ （2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？ A （3）若m=m=m，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向12 下． 设B球经过最高点时速度为v （1）B球的重力提供向心力 2vmg=m （1分） 22R 根据机械能守恒 1122mv,mv，mg2R （1分） 202222 2得 （1分） v,4gR0 （2）因为A球对管的压力向下，所以B球对管的压力向上 （1分） 设A球受管的支持力为F，A球受管的压力为F，根据牛顿第三定律，依题意 AB F=F （1分） AB 根据牛顿第二定律 2v0,,Fmgm （1分） A11R 2v，,Fmgm （1分） B22R 1122又 mv,mv，mg2R 202222 联立各式得 2v0(m,m)，(m，5m)g,0 （1分） 1212R （3）A球受管的支持力为F，方向竖直向上；设B球受管的弹力为F，取竖直向上为FABB 的正方向，根据牛顿第二定律 2v0,,Fmgm AR 2v,,mgFm （1分） BR 1122又 mv,mv，mg2R （1分） 022 两球受圆管的合力F=F+B，方向竖直向上 （1分） 合AB 联立以上各式得F=6mg，方向竖直向上 （1分） 合 根据牛顿第三定律，A、B两小球对轨道作用力的合力大小为6mg，方向竖直向下．（1分） 57、如图甲所示，在一端封闭、长约lm的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置， 在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻 璃管内每1s上升的距离都是10cm，玻璃管向右匀加速平移，每1s通过的水平位移依次 是2.5cm、7.5cm、12.5cm、17.5cm．图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t=0时蜡块位于坐标原点． （1）请在图乙中画出蜡块4s内的轨迹； （2）求出玻璃管向右平移的加速度； y/cm （3）求t=2s时蜡块的速度v． 40 30 蜡块 20 10 y/cm （1）如图 （3分） 甲 0 10 20 30 40 x/cm （2）Δx=at40 乙 2 （2分） 30 ,x,22a=,5，10m/s （2分） 2t 20 y（3）v,0.1m/s= （1分） yt 10 v=at=0.1m/s （1分） x 22v=v，v,0.12m/s （2分） xy0 10 20 30 40 x/cm 58、一次扑灭森林火灾的行动中，一架专用直升飞机载有足 量的水悬停在火场上空320 m高处，机身可绕旋翼的轴原地旋转，机身下出水管可以从 水平方向到竖直向下方向旋转90?，水流喷出速度为30 m/s，不计空气阻力，取g=10 m/s2. 请估算能扑灭地面上火灾的面积．（计算结果保留两位有效数字） 已知h=300 m,v=30 m/s，当水流沿水平方向射出时，在水平地面上落点最远，由平抛规0 律： 2gth,,,,,,,2分2 xvt,,,,,,,2分0 2h xv,,,,2分0g X=240m--------------1分 由于水管可在竖直方向和水平方向旋转，所以灭火面积是半径为x的圆面积 2S=πx--------------3分 2252S =3.14×240m=1.8×10m. --------2分 59、2008(15分) 将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变 化的力。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将质量ｍ＝0.05?的小摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。?AOB=?COB=θ（θ小于10?且是未知量）。；由计算机 得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。g取10m／s2，试根据力学规律和题中所给的信息，求： (1)单摆的振动周期和摆长。 (2)细线对擦边球拉力的最小值F。 min (1)由图可知T,0.4,s （2分） 2gTL 由L＝,0.392m，得 (3分) ,2,T2,4g 2v(2)在B点时拉力最大，设为FFmgm,,，有： (3分) maxmaxL 12 由A到B过程机械能守恒，有：, (3分) mgL(1,cos),mv2 在A、C两点拉力最小，有：F,mgcos, （2分） min 解得：F,0.485N （2分） min 360、(12分) 如图所示，一个圆弧形光滑细圆管轨道ABC，4 放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高， MN 是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、 直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力． （1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？ （2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？ 解：（1）小球离开C点做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式可得： 2R12t, 运动时间 （2分） R,gtg2 从C点射出的速度为 RgRv,, （1分） 1t2 设小球以v经过C点受到管子对它的作用力为N，由向心力公式可得 1 2v1 （1分） ,,mgNmR 2vmg1， （1分） N,mg,m,R2 1由牛顿第三定律知，小球对管子作用力大小为，方向竖直向下． （1分） mg2 （2）根据机械能守恒定律，小球下降的高度越高，在C点小球获得的速度越大．要使小球落到垫子上，小球水平方向的运动位移应为R～4R，由于小球每次平抛运动的时间相同， 速度越大，水平方向运动的距离越大，故应使小球运动的最大位移为4R，打到N点． 设能够落到N点的水平速度为v，根据平抛运动求得： 2 4R （2分） v,,8gR2t 设小球下降的最大高度为H，根据机械能守恒定律可知， 12 （2分） mg(H,R),mv22 2v2 （2分） H,，R,5R2g 61、（14分）如图所示，在汽车的顶部用不可伸长的细线 悬挂一个质量m的小球，以大小为v的初速度在水平面上向右做匀减速直线运动，经过0 时间t，汽车的位移大小为s（车仍在运动）．求： （1）汽车运动的加速度大小； （2）当小球相对汽车静止时，细线偏移竖直方向的O θ 夹角（用反三角函数表示）； （3）汽车速度减小到零时，若小球距悬挂的最低点h 高度为h，O'点在O点的竖直下方．此后汽车保 O' 持静止，当小球摆到最低点时细线恰好被拉断．证 明拉断细线后，小球在汽车水平底板上的落点与 O'点间的水平距离s与h的平方根成正比． 12解：（1）由svtat,,得 （2分） 02 2()vts,0a, （2分） 2t （2）由受力得，小球受到重力与绳子拉力的合力大小 F=mgtanθ （1分） 根据牛顿第二定律，又 F=ma （1分） 2()vts,a0所以 （2分） tan,,,2ggt （3）设小球被细线拉着摆到最低点时的速度为v， 12由机械能守恒定律得 mgh,mv （1分） 2 所以 （1分） v,2gh 设细线断时小球距离汽车水平底板高度为H，细线断后小球作平抛运动 12所以有 （1分） H,gt2 （1分） s,vt 22HH解得 （2分） svghHhh,,,,,220gg 62、如图所示，一个内外半径均可看 作R=0.2m、光滑绝缘且竖直放置的细圆管，处于水平方向的匀强 电场和匀强磁场内，电场与管道平面平行向左，磁场垂直管道平面向里。一个带正电的小 球置于细圆管内，其所受电场力是重力的倍，现在最高点P给该小球一水平向左的初3 速，恰好使小球在细圆管内做完整的圆周运动。 v0 （1）求初速度； v0 （2）在整个运动过程中，小球的最大速度多大？ （3）如果在最高点P时，小球对轨道的压力是重力的0.6倍，则小球运动到最低点时，它对轨道的压力是其重力的多少倍？ 设小球的质量为m。小球受到三个力的作用，重力和电场力的合力为2mg，方向左下与水平方向成0，因为洛伦兹力不做功，故小球在合力方向上的M、N两点速度分别最30 大和最小。小球恰好做完整的圆周运动，说明在N点速度为零。 112（1）,,,20mgRmv （2分） （1分） vms,2/0022 31122（2）在M点速度最大：2mgRmvmv,, （3分） max0222 （1分） vms,4/max 1122（3）小球在最低点时的速度是mgRmvmv2,, （1分） 022 （1分） vms,23/ 2v0在最高点小球受到轨道的压力如果向下：mgfFm，，, （1分） 压洛R 2v在最低点小球受到轨道的压力以向上为正方向，3'fFmgm，,, （1分） 压洛R （1分） Fmg'(70.43),,压 2v0在最高点小球受到轨道的压力如果向上：mgfFm，,, （1分） 压洛R 2v在最低点小球受到轨道的压力以向上为正方向，3'fFmgm，,, （1分） 压洛R （1分） Fmg'(71.63),,压 O63、（14分）如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ=53， BD为半径R = 4 m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，轨道AB与圆 弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在A点处的一质量m=1kg的小 球由静止滑下，经过B、C点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点处时的速度大小v= 8m/s，已知A点距地面的高度H = 10m，B点距地面的高度h =5 m，设以MDN为分界S 02线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域，g取10m/s，， cos53,0.6 （1）小球经过B点的速度为多大？ （2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力多 大？ （3）小球从D点抛出后，受到的阻力f与其瞬时速度 方向始终相反，求小球从D点至S点的过程中，阻力f所做的功．在此过程中小球的 运动轨迹是抛物线吗？ 解：（1）设小球经过B点时的速度大小为v ，由机械能守恒得： B 12 ()mgH,h,mv （1分） B2 求得：v=10m/s. （1分） B （2）设小球经过C点时的速度为v，对轨道的压力为N，则轨道对小球的压力C N’=N，根据牛顿第二定律可得： 2vC N’－mg = m （2分） R 由机械能守恒得： 11022(1cos53)mgR,，mv,mv （2分） BC22 由以上两式及N’= N求得：N = 43N. （2分） （3）设小球受到的阻力为f，到达S点的速度为v，在此过程中阻力所做的功为S W，易知v= v，由动能定理可得： DB 1122mgh，W,mv,mv （2分） SD22 求得W=－68J. （2分） 小球从D点抛出后在阻力场区域内的运动轨迹不是抛物线．（2分） 64、（15分）倾斜雪道的长为50m30m，顶端高为，下端 经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如图所示。一滑雪运动员在倾斜雪道的顶 端以水平速度vms,10/飞出，在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自0 己只保留沿斜面的分速度而不弹起。除缓冲外运动员可视为质点，过渡轨道光滑，其长度 可忽略。设滑雪板与雪道的动摩擦因数，求： ,,0.2 ?运动员落在倾斜雪道上时与飞出点之间的距离； ?运动员落到倾斜雪道瞬间沿斜面的速度大小； 2 ?运动员在水平雪道上滑行的距离（）。 gms,10/