奥数中流水行船问题的解答方法

奥数中流水行船问题的解答(1) 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速，（1） 逆水速度=船速-水速.（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速=顺水速度-船速， 船速=顺水速度-水速。 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速。 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。 例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。 解： 顺水速度：208÷8=26（千米/小时） 逆水速度：208÷13=16（千米/小时） 船速：（26+16）÷2=21（千米/小时） 水速：（26—16）÷2=5（千米/小时） 答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。 例2 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。 解： 从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时）， 甲乙两地路程：18×8=144（千米）， 从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小时）， 返回时逆行用的时间：144÷12＝12（小时）。 答：从乙地返回甲地需要12小时。 例3 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？ 分析 要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。 解： 轮船逆流航行的时间：（35+5）÷2=20（小时）， 顺流航行的时间：（35—5）÷2=15（小时）， 轮船逆流速度：360÷20=18（千米/小时）， 顺流速度：360÷15=24（千米/小时）， 水速：（24—18）÷2=3（千米/小时）， 帆船的顺流速度：12＋3＝15（千米/小时）， 帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小时）， 帆船往返两港所用时间： 360÷15＋360÷9＝24+40=64（小时）。 答：机帆船往返两港要64小时。 下面继续研究两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。 这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。 同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为： 甲船顺水速度-乙船顺水速度 =（甲船速+水速）-（乙船速+水速） =甲船速-乙船速。 如果两船逆向追赶时，也有 甲船逆水速度-乙船逆水速度 =（甲船速-水速）-（乙船速-水速） =甲船速-乙船速。 这说明水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。 由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答。 例4 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？ 分析 此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=（船速+水速）-水速=船速. 解：路程差÷船速=追及时间 2÷4=0.5（小时）。 答：他们二人追回水壶需用0.5小时。 例5 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？ 解：①相遇时用的时间 336÷（24+32） =336÷56 =6（小时）。 ②追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）： 336÷（32—24）＝42（小时）。 答：两船6小时相遇；乙船追上甲船需要42小时。 1.甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？ 2.一艘每小时行25千米的客轮，在大运河中顺水航行140千米，水速是每小时3千米，需要行几个小时？ 3.一只小船静水中速度为每小时30千米.在176千米长河中逆水而行用了11个小时.求返回原处需用几个小时。 4.一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速。 5.两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。 6.A、B两码头间河流长为90千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时启航.如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小时甲船追上乙船，求两船在静水中的速度。 7.乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时？ 8.某河有相距45千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分钟后，与甲船相距1千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？ 习题八解答 1.从甲到乙顺水速度：234÷9＝26（千米/小时）。 从乙到甲逆水速度：234÷13＝18（千米/小时）。 船速是：（26+18）÷2=22（千米/小时）。 水速是：（26-18）÷2＝4（千米/小时）。 2.顺水速度：25+3=28（千米/小时）。 顺水行140千米所需时间：140÷28=5（小时）。 3.水速：30-（176÷ll）=14（千米/小时）. 返回原处所需时间：176÷（14＋30）＝4（小时）。 4.逆水速度：18×2÷3=12（千米/小时）。 船速：（18+12）÷2=15（千米/小时）。 水流速度：（18-12）÷2=3（千米/小时）。 5.（352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小时）。 6.90÷3＝30（千米/小时）。 90÷15=6（千米/小时）.甲船速度：（30＋6）÷2=18（千米/小时）.乙船速度：（30-6）÷2＝12（千米/小时）。 7.乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）。 水流速度：（60-30）÷2＝15（千米/小时）.甲船顺水速度：12O÷3＝4O（千米/小时）。 甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）。 甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）。 8.船速：1000÷4=250（米/分）。 相遇时间：45000÷250=180（分）=3（小时） 奥数中盈亏问题的解题方法 盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义． 解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括： (盈＋亏)÷两次分得之差＝人数或单位数； (盈－盈)÷两次分得之差＝人数或单位数； (亏－亏)÷两次分得之差＝人数或单位数． 例如：实验小学少先队员去植树．如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完．问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？ 分析： 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵．如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6－4）×2＝4（棵）．因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵．问有多少少先队员，一共种多少树苗？ 人数： [3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人）， 奥数中两人多次相遇问题的解题方法 一些较复杂的相遇问题，我们可以采用画图分析其运动过程来解答。 例1：一列快车和一列慢车同时从甲、乙；两站出发，相向而行，经过6小时相遇。相遇后快车继续行驶了3小时后到达乙站，已知慢车每小时行45千米，甲、乙两站相距多少千米？ 分析： 从图中可以看到，慢车6小时行的路程与快车3小时行的路程相等，这样就可以算出快车的速度，从而就可以求出甲、乙两站相距几千米。 解：（45×6÷3+45）×6 =（90+45）×6 =810（千米） 答：甲、乙两站相距810千米。 例2：甲、乙两人同时从相距1000米的两地相向而行，甲每分钟行120米，乙每分钟行80米，如果有一只狗与甲同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲后又立即回头向乙跑去，这样不断来回，直到两人相遇为止。这时狗共跑了多少米？ 分析：狗跑的速度×狗跑的时间=狗跑的路程   因为狗和甲同时出发又在甲、乙相遇时停下，所以狗跑的时间和甲、乙相遇的时间相同。 解：1000÷（120+80）=5（分钟） 500×5=2500（米） 答：这时狗共跑了2500米。 练一练：  1、 甲、乙两车分别从相距1000千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行61千米，乙 每小时行39千米，（1）3小时后两车还相距多少千米？（2）几小时两车相遇又相距200千米？ 2、 甲、乙两车分别从相距60千米的两地同时出发相背而行，甲车每小时行44千米，乙车每小时行46千米，几小时后两车相距240千米？这时两车各行了几千米？ 3、甲、乙两车分别从相距240千米的AB两地同时出发相向而行。已知甲车到达B城需要6小时，乙车到达A城需要3小时，两车出发后几小时相遇？ 4、东、西两村相距55千米，甲、乙两人分别从东、西两村同时出发相向而行，5小时后两人相遇，已知甲每小时比乙多行1千米，求甲、乙两人的速度？ 5、甲、乙两人从相距100千米的两地出发相向而行，甲先出发1小时，两人在乙出发4小时后相遇。已知甲比乙每小时多行2千米，求甲、乙各自的速度。 6、小明和小红两人同时从甲、乙两地出发，相向而行，小明每小时行15千米，两人相遇后，小明再走2小时到达乙地，小红再走45千米到达甲地，甲、乙两地相距多少千米？ 7、甲、乙两人分别从AB两地同时出发相向而行，出发后2小时后相距55千米，出发后5小时相距22千米，从出发到相遇共需要几小时？ 8、甲、乙两人从相距1100米的两地相向而行，甲每分钟走65米，乙每分钟走75米，甲出发4分钟后，乙带了一只狗和乙同时出发，狗以每分钟150米的速度向甲奔去，遇到甲后立即回头向乙奔去，遇到乙后又回头向甲奔去，直到两人相遇为止。这时狗一共奔跑多少米？ 9、甲、乙两人分别从东、西两地同时出发，相向而行，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，甲带了一只狗同时出发，狗以每小时8千米的速度向乙奔去，遇到乙后，立即回头向甲奔去，遇到甲后又立即回头向乙奔去，这样不断来回，直到甲、乙两人相距3千米时狗才停止奔跑，这时狗共奔跑了16千米。问东、西两地相距当时千米 如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。 总结：若两人走的一个全程中甲走1份M米， 两人走3个全程中甲就走3份M米。 【例1】（★★）湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。问：两岛相距多远？ 【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长， 从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长， 此时甲走的路程也为第一次相遇地点的3倍。 画图可知，由3倍关系得到：A，B两岛的距离为   700×3－400=1700米 【例2】（★★★）如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。 【解】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80×3=240米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为240-60=180米，周长为180×2=360米。 奥数中年龄问题的解题方法 年龄问题的三大规律： 1、两人的年龄差是不变的； 2、两人年龄的倍数关系是变化的量； 3、随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量． 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄， 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差. 例如：在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？ 分析： 根据四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，可以求出到现在每个人长4岁以后的实际年龄和是58+4×4=74（岁）。但现在实际的年龄总和只有73岁，可见家庭成员中最小的一个儿子今年只有3岁.女儿比儿子大2岁，女儿是3+2=5（岁）.现在父母的年龄和是73-3-5=65（岁）.又知父母年龄差是3岁，可以求出父母现在的年龄.从四年前到现在全家人的年龄和应为：58+4×4=74（岁）,儿子现在的年龄：4-（74-73）=3（岁），女儿现在的年龄：3+2=5（岁），父亲现在年龄：（73-3-5+3）÷2=34（岁）母亲现在年龄： 34-3=31（岁） 如何解答平均速度的应用题？ 平均速度一定要记住公式：平均速度=总路程÷总时间； 找到总路程，找到总时间，然后再算平均速度，如果题目中没有总路程的话，可以设一个总路程。 例如： 摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度. 分析：要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.摩托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：90×2=180（千米），摩托车“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：90÷30=3（小时），摩托车“返”的速度是每小时45千米，所用时间是：90÷45=2（小时），往返共用时间是：3+2=5（小时），由此可求出往返的平均速度，列式为：90×2÷（90÷30+90÷45）=180÷5=36（千米/小时）