小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析(七~二)数字谜与数字问题

数学难解法大全 第五部分 典型难题讲析(七~二)数字谜与数字问题 小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析(七之二)数字谜与数字问题 (二)数字谜与数字问题 1(数字串问题 【找规律填数】 例1 找规律填数 (杭州市上城区小学数学竞赛试题) (1992年武汉市小学数学竞赛试题) 讲析:数列填数问题，关键是要找出规律;即找出数与数之间有什么联系。 第(1)小题各数的排列规律是:第1、3、5、„„(奇数)个数分别 别是4和2。 第(2)小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数 得到了 例2 右中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在空格中填上合适的数。 (1994年天津市小学数学竞赛试题) 讲析:根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。 【数列的有关问题】 数是几分之几, (第一届《从小爱数学》邀请赛试题) 讲析:经观察发现，分母是1、2、3、4、5„„的分数个数，分别是1、3、5、7、9„„。所以，分母分别为1、2、3„„9的分数共 例2 有一串数:1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，„这个数列的第1993个数是______ (首届《现代小学数学》邀请赛试题) 讲析:把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是1，第二、三个数是从1993开始，依次减1排列。 而1993?3=664余1，可知第1993个数是1。 例3 已知小数0.12345678910111213„„9899的小数点后面的数字，是由自然数1—99依次排列而成的。则小数点后面第88位上的数字是______。 (1988年上海市小学数学竞赛试题) 讲析:将原小数的小数部分分成A、B两组: A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。所以，第88位上是4。 例4 观察右面的数表(横排为行，竖排为列); 几行，自左向右的第几列。(全国第三届“华杯赛”决赛试题) 讲析:第一行每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分母之和为3，第三行每个分数的分子与分母之和为4，„„即每行各数的分子与分母之和等于行数加1。 例5 如图5.4，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，那么第100行各数之和是_______。 (广州市小学数学竞赛试题) 讲析:可试探着计算每行中各数之和。第一、二、三、四行每行的各数之和分别是6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4。故第100行各数之和为100×2，4=204. 例6 伸出你的左手，从大拇指开始，如图5.5所示的那样数数:l、2、3„„。问:数到1991时，会落在哪个手指上, (全国第三届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析:除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。?(1991—1)?8=248 余6，?剩下最后6个数又从食指开始数，会到中指结束。 例7 如图5.6，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“2”处拐第一个弯，在“3”处拐第二个弯„„问拐第二十个弯处是哪个数, (全国第一届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析:写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组:(2，3)，(5，7)，(10，13)，(17，21)，(26，31)，„„。将会发现，每组数中依次相差1、2、3、4、5、„„。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、„„。从而可推出，拐第二十个弯处的数是111。 例8 自然数按图5.7顺次 排列。数字3排在第二行第一列。问:1993排在第几行第几列, (全国第四届“华杯赛”复赛试题) 讲析:观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向。 每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、„„，奇数斜行中的数由下向上排列，偶数斜行中的数由上向下排列。 斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。 由于从1954开始，每增加1时，行数就减少1，而列数就增加1。所以1993的列数、行数分别是: 1993—1954，1=40(列)，63-(1993—1954)=24(行) 2(算式谜 【添运算符号】 例1 能不能在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立, 1?2?3?4?5?6?7?8?9=10 (全国第三届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析:在只有加减法运算的算式中，如果只改变“，”、“-”符号，不会改变结果的奇偶性。 而1，2+„„，9=45，是奇数。所以无论在?中，怎样填“，”、“-”符号，都不能使结果为偶数。 例2 在下列?中分别填上适当的运算符号，使等式成立。 12?34?5?6?7?8=1990 (1990年广州市小学数学邀请赛试题) 讲析:首先凑足与1990接近的数。12×34×5=2040，然后调整为:12×34×5-6×7-8=1990。 例3 在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立 (中南地区小学数学竞赛试题) 讲析:可先凑足与1993接近的数。 1122，334，455+66+7+7=1991。 然后，用后面的二个8和二个9，凑成2，得1122+334+455+66+7+7-8-8+9+9=1993。 【横式填数】 例1 如果10+9-8×7??+6-5×4=3，那么，“?”中所表示的数是______。 (上海市小学数学竞赛试题) 讲析:等式左边能计算的，可先计算出来，得5—56??=3，??=28。 例2 在两个?中分别填上两个不同的自然数，使等式成立。 (全国第四届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析: 时，等式都能成立。 所以，A=1994;B=1993×1994=3974042。 (1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题) 讲析: A+B=3。 例4 在下面的?、?和?中分别填上不同的自然数，使等式成立。 (1987年北大友好数学邀请赛试题) 讲析: 最大为: 所以，?、?和?应填的数分别是2、3、9。 例5 在下面的?中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字(每个式子中的数字不能重复)，使带 分数算式: (第一届《从小爱数学》邀请赛试题) 讲析:可从整数部分和小数部分分开考虑。要使减法式的值最大，必须使被减数最大而减数最小，从而可得 要使加法式的值最小，首先必须使每个加数中的整数部分尽可能小。从 【数字谜】 例1 图5.8的算式里，每个?代表一个数字。问:这6个?中的数字总和是多少, (全国第三届“华杯赛”初赛试题) 讲析:任意两个数字之和最多为18，且最多只向前一位进一，所以百位上的两个数字和十位上的两个数字都是9，而个位上的两位数可能为:(2，9)，(3，8)，(4，7)，(5，6)之一种，故6个?内的数字总和为9×4，11=47。 例2 已知两个四位数的差是8921(图5.9)，那么这两个四位数的和最大是______。 (1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题) 讲析:要使这两个四位数的和最大，必须使被减数尽量大。故被减数为9999。进而可求出减数为1078，两数和为9999，1078=11077。 例3 如图5.10的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求使算式成立的汉字所表示的数字(数+学+喜)×爱=______。 (北京市第八届“迎春杯”小学数学邀请赛试题) 讲析:可从个位上开始思考。(学+学+学+学)的个位为2，则“学”只能是3或8。当“学”=8时，“数”=2。这时十位上的数相加之后，没有向百位上进一，从而使(“爱”，“爱”)不可能个位上是9。 所以，“学’不等于8。 当“学”=3时，容易推出“数”=6，“爱”=4，“喜”=1。所以，(数+学+喜)×爱=(6，3，1)×4=40。 例4 如图5.11，竖式中四个?是被盖住的四个数字，这四个数字的和是多少, (哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题) 讲析:1992=2×2×2×3×83。从分解质因数情况看，要把1992分成两个两位数之积，两个两位数只能是24和83，故这四个数字之和为2，4+8，3=17 例5 在图5.12的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1。那么这个算式的乘积是______。 (1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:可用字母来代替各数字(如图5.13)。显然，F=K，E=O。又， 只有27×4或17×6。 C?3。 于是得B=3，C=7。 又因AB×D=10F，可推出A=5，D=2，从而容易求出算式的答案为53×72=3816 例6 在图5.14的式子中，不同的汉字代表不同的数字，?代表一位自然数。要使算式成立，“盼”字代表数字______。 (1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题) 讲析:经观察发现，积是由相同的数字组成的9位数，则积中一定含有因数3和9。而当?为3时，式中的积除以 3所得的商，一定含有相同的数字。这与题意矛盾。所以?为9。 经检验，“盼”字代表“7”。被乘数是 86419753。 例7 把图5.15中的算式补充完整。 (辽宁省首届小学数学竞赛试题) 讲析:为方便起见，可将算式中各数分别用字母代替(如图5.16)。 3(附录:数阵图 【方阵】 例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。 (长沙地区小学数学竞赛试题) 讲析:中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。 (l+2+3+„„+9)?3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一数填“5”。 再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转(如图5.18)，便得解答如下。 例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。 (“新苗杯”小学数学竞赛试题) 讲析:据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，(三行四列)。所以，能被12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。每列为(91—7)?4=21 而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。 三个奇数和为21的有两种:21=1，9+11=3，5+13。经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案， 如图5.21所示。 例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2 ×2的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的最小值是______。 (1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题) 讲析:不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是65。在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。 设中间两个小正方形分别填上a和b，则(65，a，b)之和必须是 3的倍数。所以，(a，b)之和至少是7。 故，和数的最小值是24。 【其他数阵】 例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。 已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。 (1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题) 讲析:可先看竖格。因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。从而容易推出，竖格各数从上而下是:3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。 同理可推导出横格各数，其中“×”=5。 例2 如图5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圆内的数之和都是15。 (上海市第五届小学数学竞赛试题) 讲析:可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。(如图5.25) 显然a=5，g=9。 则有:b，c=10，e，f=6，c，d，e=15。经适当试验，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。 例3 如图5.26，将六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。那么，这六个质数的积是______。 (全国第一届“华杯赛”决赛试题) 讲析:最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个小三角形顶点上三数之和相等。所以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。 同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。 20?2=10，10,2+3+5。 所以，六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。 例4 在图5.27的七个?中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个数是两边两个数的平均数。现已填好两个数，那么X=_______。 (1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:如图5.28，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。 则d=15。 由15+c+a=17+c+b，得:a比b多2。 所以，b=13+2=15。进而容易算出，x=19。 例5 图5.29中8个顶点处标注的数字: a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点 (全国第三届“华杯赛”复赛试题) 讲析:将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得 即(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0 4(数的组成 【数字组数】 例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。 (1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:自然数1至9这九个数字中，2、3、5、7本身就是质数。于是只剩下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数:41和689。所以，最多能组成六个质数。 例2 用0、1、2、„„9这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大。那么，这五个两位数的和是______。 (1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。所以它们的十位上分别 是9、8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4。但要求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4=10为偶数，所以应将4与5交换，使和为: (9+8+7+6+4)×10+(1+2+3+5)=351。 351即本题答案。 例3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉)，但240和223互不被吃掉。现请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉，并且它们的百位上数字只允许取1、2;十位上数字只允许取1、2、3;个位上数字只允许取1、2、3、4。 这6个三位数是_______。 (第五届《从小爱数学》邀请赛试题) 讲析:六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数字中，a中至少有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a。 当百位上为1时，十位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减少1。即:114，123，132。当百位上为2时，十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1。即:213，222，231。经检验，这六个数符合要求。 例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字;两个2之间有两个数字;两个3之间有三个数字;两个4之间有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______。 (1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题) 讲析:两个4之间有四个数字，则在两个4之间必有一个数字重复，而又要求两个1之间有一个数，于是可推知，这个重复数字必定是1，即412134或421314。然后可添上另一个2和3。 经调试，得23421314，此数即为所答。 【条件数字问题】 例1 某商品的编号是一个三位数，现有五个三位数:874，765，123，364，925。其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个三位数是_______ (1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较，可发现:百位上五个数字都不同;十位上有两个2和两个6;个位上有两个4和两个5。故所求的数的个位数字一定是4或5，百位上一定是2或6。经观察比较，可知724符合要求。 例2 给一本编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了_______个 (首届《现代小学数学)》邀请赛试题) 讲析:可先求出1500个数字可编多少页。 从第一页到第9页，共用去9个数字;从第10页到第99页，共用去2×90=180(个)数字;余下的数字可编(1500-189)?3=437(页) 所以，这本书共有536页。 l至99页，共用20个“3”，从100至199页共用20个“3”，从200至299页共用20个“3”，从300至399页共用去120个“3”，从400至499页共用去20个“3”，从500到536页共用去11个“3”。所以，共用去211个数字3。 例3 在三位数中，数字和是5的倍数的数共有_______个。 (全国第四届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析:可把三位数100至999共900个数，从100起，每10个数分为一组，得 (100，101、„„109)，(110、111、„„119)，„„(990、991、„„、999) 共分成了90组，而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数，所以一共有2×90=180(个)。 例4 有四个数，取其中的每两个数相加，可以得到六个和。这六个和中最小的四个数是83、87、92、94，原因数中最小的是______。 (上海市第五届小学数学竞赛试题) 讲析:设原四个数从小到大为a、b、c、d，则有a+b=83，a+c=87，所以c比b大4。而对于和为92和94时，或者是b+c=92，或者是b+c=94。 当b+c=92时，因c比b大4，可得b=45，进而可求得a=38。 当b+c=94时，因c比b大4，可得b=44，进而可求得a=39。 所以，原四数中最小的数是38或39。 abcd=______ (广州市小学数学竞赛试题) 讲析:原四位数增加8倍后得新的四位数，也就是原四位数乘以9，得新四位数(如图5.29)。从而可知，a一定为1，否则积不能得四位数。则 例6 有两个两位数，它们的个位数字相同，十位数字之和是11。这两个数的积的十位数字肯定不会是哪两个数字, (1990年《小学生报》小学数学竞赛试题) 讲析:由题意可知，两个数的十位上为(2，9)，(3，8)，(4，7)，(5，6)，而个上则可以是0至9的任意一个数字。如果分别去求这两个数的积，那是很麻烦的。 设这两个数的个位数字是c，十位数字分别为a、b，则a+b=11，两数分别为(10a+c)，(10b+c)。 字。 能是6、8。 例7 期的记法是用6个数字，前两个数字表示年份，中间两个数字表示月份，后两个数字表示日(如1976年4月5日记为760405)。 第二届小学“祖杯赛”的竞赛日期记为921129。这个数恰好左右对称。因此这样的日期是“吉祥日”。问:从87年9月1日到93年6月30日，共有_______个吉祥日。(第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题) 讲析:一个六位数从中间分开，要求左右对称，则在表示月份的两个数中，只有11月份。而且“年份”的个位数字只能是0、1、2。 所以是共有3个吉祥日:901109、911119、921129。 5(小数和分数 【小数问题】 例1 某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大25.65，原数是_______。 (1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题) 讲析:小数点向右移动一位以后，数值扩大了10倍，新数比原数就多9倍。所以，原数为25.65?9=2.85。 例2 甲、乙两个数之和是171.6，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是________。 (1993年广州市小学数学竞赛试题) 讲析:由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的10倍。所以，乙数是171.66?(10+1)=15.6，甲数是15.6。 例3 用一个小数减去末位数字不为零的整数。如果给整数添上一个小数点，使它变成小数，差就增加154.44，这个整数是________。 (1990年《小学生报》小学数学竞赛试题) 讲析:因为差增加154.44，所以这个整数一定是比原数缩小了100倍，即这个整数比原数增加了99倍，由154.44?99=1.56可知，这个整数是156。 【分数问题】 (1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题) 讲析: 20×11+2=222，15×11=165。 (1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题) 7至64这58个连续自然数中，去掉13的倍数13、26、39、52四个数，用余下的54个数作分子，可得到54个 最简分数。 c，则三个分数的和为6。求这三个真分数。 (第三届《从小爱数学》邀请赛试题) 因为三个分数为最简真分数，所以a只能是1、2，b只能取1、3，C只能取1、5。 经检验，a=2，b=3，c=5符合要求。故三个真分数分别是 例4 地同时满足下列条件的分数共有多少个, (2)分子和分母都是质数; (3)分母是两位数。 请列举出所有满足条件的分数。 (1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题) 讲析:100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、 73、79、83、 即把不等式中三个分数的分子化为相同的办法，来搜寻分母。 所以，符合条件的分数有12个: 6.数字和与最大最小问题 【数字求和】 例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，„„„，第99个(所有第奇数个)，再把这50个数相加，和是______。 (上海市第五届小学数学竞赛试题) 讲析:第50、51两个数的平均数是8450? 100= 84. 5，所以，第50个数是84。则100个连续自然数是: 35，36，37，„„„，133，134。 上面的一列数分别取第1、3、5、„„、99个数得: 35，37，39，„„131，133。 则这50个数的和是: 例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是_____。 (上海市第五届小学数学竞赛试题) 讲析;可把1至100这一百个自然数分组，得 (1、2、3、„„、9)，(10、11、12、„„、19)，(20、21、22、„„29)，„„，(90、91、92、„„99)，(100)。 容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0，第二组十位上是1，第三组十位上是2，„„第十组十位上是9，所以全体十位上的数字和是(l+2+3+„„+9)×10=450。故所有数码的和是45×10+450+l=901。 续若干个数字之和是1992，那么a=____。 (北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题) 又，1992?27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。 例4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种计算了四次，分别得到四个数:86，92，100，106。那么，原来四个数的平均数是 (1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中 原来四个数的平均数为(86+92+100+106)?2=192。 【最大数与最小数】 例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是 (全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题)。 讲析: 20以内的质数有: 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19 要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真 例2 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和。已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。问:最小的和是多少, (全国第三届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析;因为1+2+3+„„+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的 例3 把20以内的质数分别填入?中(每个质数只用一次): 使A是整数。A最大是多少, (第五届《从小爱数学》邀请赛试题) 讲析:要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。 分母分别取2、3、5时，A都不能为整数。当分母取7时， 例4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。问:这组数之和的最大值是多少,当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数,并说明和是最小值的理由。 (全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题) 析:观察自然数1、2、3、4、5、„„、25这25个数，发现它们除1之外，每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是1+2+3+„„+25=325。 下面考虑数组中各数之和的最小值。 1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成两个数之和的形式，共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数(20+5)或者(10+15)。当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个;当取1、10、15、25时，还需取2、3、5。经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、25时，和最小是61。