民间传说着一则故事韩信点兵

民间传说着一则韩信点兵 民间传说着一则故事——“韩信点兵” 秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名;接着命令士兵5人一排，结果多出3名;他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布:我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然後再加3，得9948(人)。 在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何,”按照今天的话来说:一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数. 这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的被称为“中国 剩余定理”，这是由中国人首先提出的. ? 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几, 解:除以3余2的数有: 2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23…. 它们除以12的余数是: 2，5，8，11，2，5，8，11，…. 除以4余1的数有: 1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，…. 它们除以12的余数是: 1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5. 如果我们把?的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 5，12×整数， 整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到. ?一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数. 解:先列出除以3余2的数: 2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…， 再列出除以5余3的数: 3， 8， 13， 18， 23， 28，…. 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8，15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…， 再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30，…， 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人 中国有一本古书「孙子算经」也有类似的问题:「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何,」 答曰:「二十三」 术曰:「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理(chinese remainder theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。