完全四点（线）形的调和性及其应用

完全四点（线）形的调和性及其应用 完全四点(线)形的调和性及其应用 【关键词】 完全四点形 完全四线形 调和共轭 【正文】 1.0预备知识 高等几何是高等师范院校数学专业的基础课程之一，它采用的体系是从欧氏空间出发，然后添加无穷远元素，于是得到射影空间的概念，而这门课程的内容，基本上是19世纪的遗产，几乎被人们研究完整。 完全四点(线)形是初等几何中四边形的推广形式，是射影几何研究的基本图形之一，利用完全 四点(线)形的调和性可以比较简捷地解决一些初等几何中的线段相等问题，平行性问题，平分角度问题以及共点共线问题。 1(1完全四点(线)形的概念 完全四点形是平面内无三点共线的四点以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形(如图1)， 它的四个点叫做顶点，六条直线叫做边，没有公共顶点的两边叫对边，三对对边的交点叫做对边点，它们构成一个三点形，叫做对边三点形。 对偶地，完全四线形是平面内无三线共点的四直线以及其中任意两条直线的六个交点组成的图形 (如图2)，它的四条直线叫做边，六个点叫做顶点，不在公共边上的两顶点叫对顶，三对对顶的连线叫对顶线，它们构成一个三线形，叫做对顶三线形。 1(2完全四点(线)形的调和性质 定理1 设 是完全四点形 的一对对边，它们的交点是对边点 ，若 与其它二对对 边点的连线是 ，则必有: 。(如图1) 推论1 在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是对边点，另两 个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边点的交点。(如图1) 推论2 在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是顶点，另一对点偶里，一个 点是对边点，另一个点是这个边与对边三点形的边的交点。(如图1) 定理2 设 是完全四线形 的一对对顶点，它们的连线是对顶线 ，若 与其它二对顶 线的交点是 ，则 。(如图2) 推论1 完全四线形的每一个顶点上有一组调和共轭线束，其中两直线是对顶线，另两条直线是此 顶点与第三条对顶线上的连线。 推论2 完全四线形的中心三点形的每一顶点上有一组调和共轭的线束，其中两条边是过此点的两 边，在另一对线偶里，一条边是对顶边，另一条是这个顶点与三线形的顶点的连线。 2. 0主要结果 完全四点(线)形是初等几何中四边形的推广，这里图形只考虑点线结合关系，为我 们简化计算提供了可能。 2(1线段相等 证明线段中点问题，首先通过构造四边形，把问题转化为完全四点(线)形，运用线段 的中点与线段所在的直线上的无穷远点的调和关系以及完全四点(线)形的调和性处理。 例1 设 为圆 的两切线， 为圆 的直径， 。 求证: 被 平分。(如图3) 证明 设 与 相交于 ，只须证明 : (1)由初等几何知识知， 为 与 所成的内外角平分线，因此，设 与 相交于 ，则 ，所以， ; (2)以直线 截 ，设 与 相交于 ，则 ; 所以 为 的中点。 例2 证明:梯形两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上下底。 证明 如图4，梯形 中， ， ， ， ，只须证明 分别是 和 的中点 考察完全四点形 ，设 ，据定理1的推论1， 有 ，所以 为 中点， 又根据定理1的推论2，有 所以 为 中点 由此题的证明过程不难证明其逆命题也成立: 逆命题 四边形 的对边 交于 ，对角线 交于 ，且 平分对边 ，则 平行于 。 2(2证明平行问题 证明线段平行问题，运用线段中点与线段所在直线上的无穷远点，以及完全四点(线) 形的调和性处理。 例3 三角形 的三条高线为 交于点 ， 和 交于点 ， 。 求证: 平行于 。 证明 如图5，因为 为 边上的高; 由初等几何的知识知: ; 在完全四点形 中有: ; 所以， ，得 是无穷远点; 因此， 平行于 。 由前面的讨论不难看出，线段相等和线段平行之间的关系，对于同一个问题他们可以通过无穷远点和完全四点(线)形的调和性联系起来。 2(3证明角相等 定理3 对于通常线束中的四直线 ，设 ，则 平分 所成的一对 角的充要条件是 。(如图6) 证明 必要性 :由题意知: ; 由四直线交比的定义知: = 所以 。 充分性 :设 因为 ，所以 由四直线交比的定义知: 即: (舍去) 所以 ，即 平分 所成的角。 利用完全四点(线)形的调和性证明角相等问题时，主要在于完成两步: 一是构造四边形，得四直线调和分割; 二是设法建立交错二直线相互垂直关系，由定理3即可证明平分角的结论。 例4 设 为的三角形 的高线 上的一点， 分别交对边于 ， 求证: 平分 。 证明 如图7，设 交 于 ，在完全四点形 中，有: ，故 ，又由于 ; 因此，由定理3可知， 是 的内角平分线。 当 为钝角三角形时，仿上同理可证。 例5 两圆相交于 两点，过 引 的垂线，交两圆于 ，连 交 两圆于 。(如图8) 证明: 平分 或其外角。 证明 设 交 于 ，连结 ; 考察完全四点形 ，有 ，故 ; 又由于 垂直于 ，由定理3知: 平分 或其外角。 2(4证明线共点、点共线 处理共点、共线问题，最常用的方法有两步: 一是把四边形视为完全四点(线)形; 二是用重合法进行证明。 例6 设 是完全四点形 的中心三点形， 分别交 于 。 证明: 共点。(如图9) 证明 连结 交于 点，连结 并延长交 于 ; 以下只须证明 : 在完全四点形 中，有 以下只须证明 考察完全四点形 ， 是对边点， 在 处有一组调和共轭线束 又 所以， 因此 三线共点。 例7 设有三点形 , 为共线分别位于三边上。 求证: 共点。(如图10) 证明 连结 交于 点，连结 并延长交于 点 以下只须证明 在完全四点形 中，有 在完全四点形 中，有 所以 故 共点 例8 设P，Q，R，S是完全四点形的顶点， 。 证明: 三点共线。(如图11) 证明 连结 并延长交 于 以下只须证明: 考察完全四点形 ，有 ; 以下只须证明 考察完全四点形 ，有 故 ，所以 三点共线。 2(5解决作图问题 从以上四种应用可以看出，利用完全四点(线)形的调和性可以使我们由纯粹的几 何方法得到调和共轭点列或调和共轭线束，即仅用直尺可作出已知点列上的三点的 第四调和点或已知线束这三直线的第四调和直线的方法。 2(5(1第四共轭点(线) 例9 设已知直线上三点 求作:点 ，使 。 解 (1)如图12，过 各作一直线交于点 ; (2)在 上任取一点 ，连结 和 与 相交于 ; (3)连结 和 相交于 ，连结 和 与已知直线交于点 ; 则 。 由以上作图可以看出: 命题1 一直线 上的点偶 与 成为调和共轭的充要条件是: 是一个完全四点形的对边点; 是通过第三对边点的两条对边与 的交点。 例10 已知:线束这三直线 。 求作:直线 ，使 。 解 如图13，设线束中心为 ，以直线 分别截 于 在直线 上任取一点 ，连 交 于点 ，连 交 与点 ， 连 交 于点 ，则直线 即为所求。 因为 构成一完全四点形，所以有 ， 从而 。 由以上作图可以看出: 命题2 一点 上的线束 与 为调和共轭的充要条件是: 是一个完全四线形的两边; 是对点三线形顶点与 的连线。 2(5(2平行直线与中点 由例2，例3的证明方法，可以作出平行直线与中点。 例11 已知:线段 及其中点 ， 是直线 外一点， 求作:过 点且平行于 的直线。 解 (1)如图14，连结 并延长，在其上取一点 ; (2)连结 交于 ; (3)连结 交于 ; (4)连结 ，则直线 为所求直线。 例12 已知:线段 ，且 平行于 ， 求作: 的中点。 解 (1)如图14，在 上任取两点 ; (2)连结 交于 ; (3)连结 交于 ; (4)连结 交 于 ，则 为所求的点。 2(5(3内外角平分线 由定理3的证明方法，可以由已知角的内(外)角平分线作外(内)角平分线。 例13 已知: 是 的内角平分线 求作: 外角平分线。 解 (1)如图15，用不过 的任一直线截 分别于 ; (2)在 上任取一点 ; (3)连结 交 于 ; (4)连结 交 于 ; (5)连结 交 于 ; (6)连结 ，即为所求直线。 例14 已知: 是 的外角平分线 求作: 内角平分线。 解 (1)如图15，用不过 的任一直线截 分别于 ; (2)过 任作一直线交 分别于 ; (3)连结 交于 ; (4)连结 ，即为所求直线。 3. 0总结 完全四点(线)形应用于初等几何中的线段相等问题，平行性问题，平分角度问题 以及共线、共点问题，达到了化难为易的目的，拓广了解题思路。从这五种应用的 解题方法推广到关于它们的作图，更加完善和充实了初等几何的内容，把高等几何 与初等几何更加紧密的联系了起来。当然除上述应用外，完全四点(线)形的调和 性质更为广泛的应用还有待于进一步的研究。