数论 整除 余数

数论（整除、余数） 精讲 一、 整除 （1） 概念 （2） 数的整除特征 1. 尾数判断法： 如果一个整数的个位数字能被2或5整除，那么这个整数能被2或5整除； 如果一个整数的末两位数字能被4或25整除，那么这个整数能被4或25整除； 如果一个整数的末三位数字能被8或125整除，那么这个整数能被8或125整除。      2. 数字求和法： 如果一个整数各个数位数字之和能被3或9整除，那么这个整数能被3或9整除。 3. 奇偶位求差法： 如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么这个整数一定能被11整除。 4. 三位截断法： “末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 5. 分拆成简单数的乘积结合起来判断 如一个数能被6整除,那么这个数既是2的倍数，又要是3的倍数。 如此类似的，15=3×5,24=3×8 6. 构造成与整十整百的数的倍数的方法 如：判断一个数是不是99的倍数，我们可以先看这个数与100的关系； 判断一个数是不是999的倍数，我们可以先看这个数与1000的关系。。。 二、余数 1、利用数的整除特征求余数 注意利用11的整除特征求余数时何时余数是a，何时是（11—a）； 利用7,13的整除特征时，将六位数截开得到两个三位数的问题。 2、替换求余法： （1）和的余数等于余数的和：两个数的和除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相加后，再除以除数的余数； （2）差的余数等于余数的差，再除以除数的余数：两个数的差除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相减后，再除以除数的余数； （3）积的余数等于余数的积，再除以除数的余数：两个数的乘积除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相乘后，再除以除数的余数。 3、余数的周期性变化： 连续自然数除以3的余数按照0,1,2的周期变化，换成其他的除数也有类似规律。 4、中国剩余定理。 A、 一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数 例题：有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个? B、 上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除 例题：求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数. C、 其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法。 例题：有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是_____. 5、分解求余法： 一个数并不是常见的具有整除特征的数，如15，但是他可以分解成3×5。那么我们可以先分别计算这个数除以3和5的余数，然后再运用中国剩余定理求解。 课堂例题与练习 整除部分： 1. 已知10□8971能被13整除，求□中的数。 2. 能否被7,11,13整除？若能，请说明。 3. 请说明12位数 一定是3,7,13的倍数。 4. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 5. 九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。 6. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 7. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 8. 在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？ 9. 如果41位数 能被7整除，那么 内应填的数是几？ 10. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 11. 已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即abcba＝45×deed）,那么这个五位回文数最大的可能值是_________. 12.一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是          。 13.将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是            ． 余数部分： 1. 已知：a=1……1991,问：a除以13,余数是几？ 1991个1991 2. 100个7组成的一百位数,被13除后,问： (1)余数是多少？ (2)商数中各位数字之和是多少？ 3. 0------1990除以9的余数是多少？ 1990个1990 4. 123123123------123123除以99的余数是多少？ 123个123 5. 一个数除以3余2，除以4余2，这个数除以12余多少？ 6. 一个三位数，除以28余25，除以29余10，求这个三位数。 7. 31453 68765 987657的积,除以4的余数是_____. 8. 乘以 的积，除以7余数是_____. 9. 一个三位自然数被7、8、9除的余数分别为1,2,3。求这个三位自然数。 10. 有一个大于1的整数，除365,450,314所得的余数都相同，求这个数。 11.200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有            名． 12.2009×2009×···×2009的个位数字是_________. 13.有5000多根牙签，可按六种规格分成小包。如果10根一包，那么最后还剩9根。如果9根一包，最后还剩8根。第三四五六种的规格是，分别以8,7,6,5根为一包，那么最后也分别剩7,6,5,4根。原来一共有牙签_________根。 14.用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数。。。 这个100位数除以9余数是几？ 15.求下列各数除以11的余数 16.计算下列各式的余数 81547×118÷7                    2758×3361÷9 9642×2879×4787÷13              2461×135×6047÷11 课后复习与检测 课后（提炼重点难点）： 练习题： 1.四位数 是24的倍数，请问A最大是多少？ 2.五位数 是275的倍数，求这个数。 3.下面一个1983位数 中间漏写了一个数字(方框),已知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____. 4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使得这个数同时是3,4,5的倍数，求这个数。 5.若五位数154xy能同时被8、9整除，求x+y=多少？ 6.222……22除以13所得的余数是_____. 2000个2 7.35437 64739 687747的积,除以4的余数是_____，除以11的余数是_____，除以9的余数是_____。 8.一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个.如果按6个一堆放,最后多出4个.如果按7个一堆放,还多出1个.这筐苹果至少有_____个. 9.有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩.已知筐里的鸡蛋不足400个,那么筐内原来共有_____个鸡蛋. 10.某厂每月生产23357个零件，年末将所有零件装箱代售，每箱装23个。最后还剩下若干个不够装一箱。请问：剩下多少个零件不够装一箱？