正多边形、圆、弧长公式及计算

正多边形、圆、弧长公式及计算 正多边形和圆、弧长公式及有关计算 ,学习目标, 1. 正多边形的有关概念;正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 2. 正多边形和圆的关系定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。 3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质: (1)半径(或边心距)的比等于相似比。 (2)面积的比等于边心距(或半径)的比的平方，即相似比的平方。 4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。 (1)画正n边形的步骤: 将一个圆n等分，顺次连接各分点。 (2)用量角器等分圆 先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。 5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 6. 圆周长公式:，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。 7. n?的圆心角所对的弧的弧长: n示1?的圆心角的度数，不带单位。 8. 正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。 二. 重点、难点: 1. 学习重点: 正多边形和圆关系，弧长公式及应用。 正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。 只有正五边形、正四边形对角线相等。 2. 学习难点: 解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。 【典型例题】 例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是( ) A. B. C. D. 解:如图所示，BF,2，过点A作AG?BF于G，则FG,1 又??FAG,60? 故选B 点拨:正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。 例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是( ) A. 1?2?3 B. C. D. 解:如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高 设，则AO,2r，AD,3r ?OD?AO?AD,r?2r?3r,1?2?3 故选A 点拨:正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的。通过这个定理可以使问题得到解决。 例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之间的大小关系是( ) A. B. C. D. 解析:设它们的周长为，则正三角形的边长是，正四边形的边长为，正六边形的边长为 故选B 点拨:一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。 例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证: (1); (2) 点悟:若作出外接圆可以轻易解决问题。 证明:(1)正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则 ??BEA,36? (2) 又?公共角?ABM,?EBA ??ABM??EBA 例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。 解:?正六边形的半径等于边长 ?正六边形的边长 正六边形的周长 正六边形的面积 点拨:本题的关键是正六边形的边长等于半径。 例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。 解:?正方形的边长为2cm ?正方形的外接圆半径为cm ?外接圆的外切正三角形一边上的高为cm ?正三角形的边长为 ?正三角形的面积为 点拨:本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。 例7. 如图所示，已知?和?外切于点P，?和?的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧 所围的阴影部分的面积。 解:连结，过点作 在中， ?梯形的面积为: 又? ?扇形的面积为: 扇形的面积为: ?阴影部分的面积为: 点拨:求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。 例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1?，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。 解:由弧长公式，得: 当弧所对的圆心角的度数增加1?，则弧长为 ?弧长增加，故填 点拨:本题主要考查弧长公式。 例9. 如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是( ) A. B. C. D. 解:设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r 由题意，得: ?小圆的半径 ?每个小半圆的弧长为 ?n个小半圆的总弧长 即，故选A。 点拨:本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。 例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的的长为， 的长为，若，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 解:设?O,α，由弧长公式得: 又 ?阴影部分的面积为: 故选C 点拨:本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。 例11. 如图所示，?O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为3?7的两段弧，求弦AB的长，如果将3?7改为m?n，此时弦AB的长度是多少, 点悟:欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，?AOB可通过两弧长之比3?7求得，再利用求得AD，AB就可求。 解:作OD?AB于D，连结OB ?这两段弧之比为3?7 ?这两段弧所对的圆心角之比也为3?7 设这两个圆心角的度数为3x，7x，则 即 ??DOA,54?，又 ?AD,Rsin54? ?AB,2AD 同理可得3?7改为m?n时，解得: 点拨:有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。 例12. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。 点悟:欲求内切圆的面积，根据圆面积公式，需求内切圆的半径OH，可依据正六边形的性质及边长a求得，代入面积公式，即可。 解:如图所示，设正六边形的边长，内切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OH?AB于H，则?AOH,30? 例13. 已知正多边形的周长为12cm，面积为，则内切圆的半径为__________。 解:设正多边形是正n边形，圆半径为r ?正多边形的周长是12cm ?正多边形的边长是 又?正多边形的面积是 故应填2cm。 点拨:要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。 【模拟】(答题时间:30分钟) 一. 判断题。 1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。( ) 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。( ) 3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。( ) 4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。( ) 5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。( ) 6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。( ) 7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。( ) 8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。( ) 二. 填空题。 9. 若正多边形内角和是540?，那么这个多边形是_________边形。 10. 两个圆的半径比为2?1，大圆的内接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为__________。 11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R是36m，圆弧所对的圆心角为60?，则这段弯道长约________m(精确到0.1m， )。 三. 解答题。 12. 已知半径为R的圆有一个外切正方形和内接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。 13. 如图，?AFG中，AF,AG，?FAG,108?，点C、D在FG上，且CF,CA，DG,DA，过点A、C、D的?O分别交AF、AG于点B、F。 求证:五边形ABCDE是正五边形。 14. 如图:三个半径的圆两两外切，求由三条 切点弧围成的阴影图形的周长。 【试题】 一. 判断题。 1. × 2. × 3. ? 4. ? 5. ? 6. ? 7. × 8. ? 二. 填空题。 9. 正五 10. 3?1 11. 37.7 三. 解答题。 12. 边长比，面积比2?1 13. 易求?F,?G,36? ??FAC,?GAD,?CAD,36? 从而， 由?AFC??AGD得:AC,AD ?ABCDE是正五边形 14. 利用弧长公式，关键是求出三段弧所对圆心角的度数。 且 ??B,90?，?A,30?，?C,60? ?阴影部分周长