8-3-1逻辑推理.题库教师版　

8-3-1逻辑推理.题库教师版　 8-3逻辑推理 教学目标 1. 掌握逻辑推理的解题思路与基本方法:列、假设、对比分析、数论分析法等 2. 培养学生的逻辑推理能力～掌握解不同题型的突破口 3. 能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题 知识点拨 逻辑推理作为数学思维中重要的一部分～经常出现在各种数学竞赛中～除此以外～逻辑推理还经常作为专项的出现在各类选拔考试～甚至是面向成年人的考试当中。对于学生学习数学来说～逻辑推理既有趣又可以开发智力～学生自主学习研究性比较高。本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。 一列表推理法 逻辑推理问题的显著特点是层次多～条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口～层层剖析～一步步向结论靠近～是解决问题的关键.因此在推理过程中～我们也常常采用列表的方式～把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来～这样可以借助几何直观～把令人眼花缭乱的条件变得一目了然～答案也就容易找到了. 二、假设推理 用假设法解逻辑推理问题～就是根据题目的几种可能情况～逐一假设(如果推出矛盾～那么假设不成立,如果推不出矛盾～而是符合题意～那么假设成立( 解题突破口:找题目所给的矛盾点进行假设 三、体育比赛中的数学 对于体育比赛形式的逻辑推理题～注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示～从整体考虑～通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。 四、计算中的逻辑推理 能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题. 例题精讲 模块一、列表推理法 【例 1】 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛(事先规定:兄妹 二人不许搭伴(第一盘:刘刚和小丽对李强和小英;第二盘:李强和小红对刘刚和马辉的妹妹(问: 三个男孩的妹妹分别是谁, 【解析】 因为兄妹二人不许搭伴～所以题目条件表明:刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹(由8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 1 of 28 第二盘看出～小红不是马辉的妹妹(将这些关系画在左下表中～由左下表可得右下表( 小丽小英小红 小丽小英小红刘刚×刘刚××?马辉×马辉×?× 李强××李强?×× 刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹( 【巩固】 王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道:?张贝从未上过天;?跳伞运 动员已得过两块金牌;?李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断 王文、张贝、李丽各是什么运动员, 【解析】 为了能清楚地找到所给条件之间的关系～我们不妨运用列表法～列出下表～在表中“?”表示是～ “×”表示不是～在任意一行或一列中～如果一格是“?”～可推出其它两格是“×” 由??可知张贝、李丽都不是跳伞运动员～可填出第一行～即王文是跳伞运动员,由?可知～李 丽也不是田径运动员～可填出第三列～即李丽是游泳运动员～则张贝是田径运动员( 【巩固】 李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门 课的教学，每人教两门(现知道: ? 顾锋最年轻; ? ?李波喜欢与体育老师、数学老师交谈; ? ?体育老师和图画老师都比政治老师年龄大; ? ?顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳; ? 刘英与语文老师是邻居(问:各人分别教哪两门课程, 【解析】 李波教语文、图画～顾锋教数学、政治～刘英教音乐、体育(由???推知顾锋教数学和政治, 由?推知刘英教体育,由??推知李波教图画、语文( 【巩固】 王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队 长(一次数学测验，这三个人的成绩是:?韩涛比大队长的成绩好(?王平和中队长的成绩不 相同(?中队长比宋丹的成绩差(请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢, 【解析】 根据条件?和?～王平和中队长的成绩不相同～中队长比宋丹的成绩差(～可以断定～王平不是 中队长～宋丹也不是中队长～只有韩涛当中队长了( 王平和宋丹两人谁是大队长呢,由?和?～韩涛比大队长的成绩好～中队长比宋丹的成绩差～可 以推断出按成绩高低排列的话～宋丹的成绩比中队长,韩涛,的成绩好～韩涛的成绩比大队长的 成绩好(这样～宋丹、韩涛就都不是大队长～那么～大队长肯定是王平( 【例 2】 张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知:?张明 不在北京工作，席辉不在上海工作;?在北京工作的不是教师;?在上海工作的是工人;?席 辉不是农民(问:这三人各住哪里,各是什么职业, 【解析】 这道题的关系要复杂一些～要求我们通过推理～弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系(三8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 2 of 28 者的关系需要两两构造三个表～即人物与地点～人物与职业～地点与职业三个表( 12 我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示～由条件?得到表～由条件?、?得到表～ 3由条件?得到表( 25 因为各表中～每行每列只能有一个“?”～所以表可填全为表( 145由表知农民在北京工作～又知席辉不是农民～所以席辉不在北京工作～可以将表可填全完为表 45由表和表知得到:张明住在上海～是工人,席辉住在天津～是教师,李刚住在北京～是农民( 方法二:由题目条件可知:席辉不在上海工作～而在上海工作的是工人～所以席辉不是工人～又不是农 民～那么席辉只能是教师～不在北京工作～就只能是在天津工作～那么张明在上海工作～是工人。李刚 在北京～是农民。 【巩固】 甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员(已 知:?甲不是辽宁人，乙不是广西人;?辽宁人不是演员，广西人是教师;?乙不是工人( 求这三人各自的籍贯和职业( 【解析】 由题意可画出下面三个表: 4413 将表补全为表(由表知～工人是辽宁人～而乙不是工人～所以乙不是辽宁人～由此可将表 5补全为表( 所以～甲是广西人～职业是教师,乙是山东人～职业是演员,丙是辽宁人～职业是工人( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 3 of 28 方法二:将能判断的条件先列入图表中～广西人是教师～但是乙不是广西人～所以乙不是教师～ 乙又不是工人～所以乙为演员。在对应的地方打上“?”～对应的行列均打“×”。但是辽宁人不 是演员～所以乙不是辽宁人～乙就是山东人～所以甲是广西人～职业是教师,乙是山东人～职业 是演员,丙是辽宁人～职业是工人。 【巩固】 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所 小学上学。现知道:(1)小明不在一小;(2)小芳不在二小(3)爱好乒乓球的不在三小;(4) 爱好游泳的在一小;(5)爱好游泳的不是小芳。问:三人上各爱好什么运动,各上哪所小学, 【解析】 这道题比上例复杂～因为要判断人、学校和爱好三个内容。先将题目条件中给出的关系用下面的 表1、表2、表3表示: 因为各表中～每行每列只能有一个“?”～所以表3可补全为表4。 由表4、表2知道～爱好游泳的在一小～小芳不爱游泳～所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表 5。对照表5和表4～得到:小明在二小上学～爱好打乒乓球,小芳在三小上学～爱好打羽毛球,小花 在一小上学～爱好游泳。 【巩固】 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道:小李比教师年龄大; 小王与农民不同岁;农民比小张年龄小。问:谁是工人,谁是农民,谁是教师, 【解析】 这道题目并不难～聪明的小朋友思考一下就能得到答案～但是今天我们通过这道题目一起 来学习一个十分有用的方法:列表分析法。由题目条件可以知道:小李不是教师～小王不 是农民～小张不是农民。由此得到左下表。表格中打“?”表示肯定～打“×”表示否定。 因为左上表中～任一行、任一列只能有一个“?”～其余是“×”～所以小李是农民～ 于是得到右上表。因为农民小李比小张年龄小～又小李比教师年龄大～所以小张比教师年龄大～ 即小张不是教师。因此得到左下表～从而得到右下表～即小张是工人～小李是农民～小王是教师。 例题中采用列表法～使得各种关系更明确。为了讲解清楚～例题中画了几个表～实际解题 时～不用画这么多表～只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是:?第一步应8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 4 of 28 将题目条件给出的关系画在表上～然后再依次将分析推理出的关系画在表上,?每行每列 只能有一个“?”～如果出现了一个“?”～它所在的行和列的其余格中都应画“×”。 【例 3】 甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察(已知:?教师不知道甲的职业; ?医生曾给乙治过病;?律师是丙的法律顾问(经常见面);?丁不是律师;?乙和丙从未见过 面(那么甲、乙、丙、丁的职业依次是: ( 【解析】 律师、教师、警察(由?可以知道丙不是律师～但是他见过律师～再由?知乙不是律师～又由? 可知甲是律师(于是由?和?知丙不是教师～由?和?知丙不是医生～从而丙是警察(再由?知 乙是教师～丁是医生( 列表如下,列表的好处在于直观明了～不会犯错误,: 【巩固】 徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。(1)电工 只和车工下棋;(2)王、陈两位师傅经常与木工下棋;(3)徐师傅与电工下棋互有胜负;(4) 陈师傅比钳工下得好。问:徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种, 【解析】 徐是车工～王是钳工～陈是木工～赵是电工。 【巩固】 甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长(一 次数学测验，这三个人的成绩是:?丙比大队长的成绩好(?甲和中队长的成绩不相同(?中 队长比乙的成绩差(请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢, 【解析】 根据条件?和?～甲和中队长的成绩不相同～中队长比乙的成绩差～可以断定～甲不是中队长～ 乙也不是中队长～只有丙是中队长了,也可以列表确定中队长,(甲和乙两人谁是大队长呢,由 ?和?～丙比大队长的成绩好～中队长比乙的成绩差～可以推断出按成绩高低排列的话～乙的成 绩比中队长,丙,的成绩好～丙的成绩比大队长的成绩好(这样～乙、丙就都不是大队长～那么～ 大队长肯定是甲( 【巩固】 甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地( 甲说:“我和乙都住在北京，丙住在天津(” 乙说:“我和丁都住在上海，丙住在天津(” 丙说:“我和甲都不住在北京，何伟住在南京(” 丁说:“甲和乙都住在北京，我住在广州(” 假定他们每个人都说了两句真话，一句假话(问:不在场的何伟住在哪儿, 【解析】 因为甲、乙都说“丙住在天津～”我们可以假设这句话是假话～那么甲、乙的前两句应当都是真 话～推出乙既住在北京又住在上海～矛盾(所以假设不成立～即“丙住在天津”是真话(因为甲 的前两句话中有一句假话～而甲、丁两人的前两句话相同～所以丁的第三句话“我住在广州”是 真的(由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话～第一句“我住在上海”是真话,进而推知甲 的第二句是假话～第一句“我住在北京”是真话,最后推知丙的第二句话是假话～第三句“何伟 住在南京”是真话(所以～何伟住在南京( ABDABC【巩固】 ，，，分别是中国、日本、美国和法国人.已知:?和中国人是医生;?和法国人 DABDCC是教师;?和日本人职业不同;?不会看病.问:，，，各是哪国人， ABDC【解析】 有??可知～、都不是中国人和法国人～再由??知～也不是中国人～所以～是中国人～ D由?～日本人也是教师～从而推知～是法国人～得下表: 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 5 of 28 BC最后由是中国人及??～推知日本人是教师～再由?知是日本人. ABDEC【巩固】 根据条件判断旅游团去了、、、、中的哪几个地方, AB?如果去，就必须去; DE?、两地至少去一地; BC、两地只能去一地; ? EC?、两地要去都去，要不去都不去; DAE?若去，则、两地必须去. BBEDACC【解析】 从?入手～分别假设去或:?若去则不能去～?也不能去～?只能去.?必须去、EEBEDAEAC～与不能去矛盾.所以不能去假设去:?必去～?需去～?必须去、～?去 BBDECC必须去～与?、不能同去矛盾～所以不能去(综上只能去、. 【例 4】 甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说(他们在一起交谈可有趣啦:?乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译;?甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈;?乙、丙、丁找不到三人都会的语言;?没有人同时会日、法两种语言(请问:甲、乙、丙、丁各会哪两种语言, 【解析】 由???可得下表～其中丙不会日语是因为甲会日语～且甲与丙交谈需要翻译(由下表看出～甲会的另一种语言不是中文就是英语( 法中英日 甲×? 乙× 丙× 丁× 先假设甲会说中文(由?知～丁也会中文,由?知丙不会中文～再由每人会两种语言～知丙会英、法语,见左下表:由??推知乙会中文和法语,再由?及每人会两种语言～推知丁会英语,见右下表,(结果符合题意( 法中英日 甲法中英日 甲?××?××??乙 乙×?×?×丙丙?×?×?×?×丁丁?×?× ?× 再假设甲会说英语(由?知～丁也会英语,由?知丙不会英语～再由每人会两种语言～知丙会中文和法语,见左下表,,由?? 推知～乙会中文和日语,再由?及每人会两种语言～推知丁会法语,见右下表,(右下表与“有一种语言只有一人会说”矛盾(假设不成立( 法中英日法中英日 甲甲?××?××?? 乙乙×??×× 丙丙??×?×?×× 丁丁??×?×× 所以甲会中、日语～乙会中、法语～丙会英、法语～丁会中、英语( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 6 of 28 短跑健将”、“跳高冠军”、【巩固】 宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“ “小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外:?数学博士夸跳高冠军跳的高?跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影?短跑健将请小画家画贺年卡?数学博士和小画家关系很好?贝贝向大作家借过书?聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问:宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗, 【解析】 由?知～宝宝不是跳高冠军和大作家,由 ?知～贝贝不是大作家,由?知～贝贝、聪聪都不是小画家～可以得到下表: 因为宝宝是小画家～所以由??知宝宝不是短跑健将和数学博士～推知宝宝是歌唱家～因为聪聪是大作家～所以由?知聪聪不是跳高冠军～推知贝贝是跳高冠军～因为贝贝是跳高冠军～所以由?知贝贝不是数学博士～将上面结论依次填入上表～得到下表: 所以～宝宝是小画家和歌唱家～贝贝是短跑健将和跳高冠军～聪聪是数学博士和大作家( 20073【例 5】 (年湖北省“创新杯”初赛)六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是:班 21424第一名，班第二名，班第三名， 班第四名(小华猜想比赛的结果是:班第一名，班第 143二名，班第三名，班第四名(结果只有小华猜到的班为第二名是正确的(那么这次竞赛的名次是 班第一名， 班第二名， 班第三名， 班第四名。 233【解析】 方法一:依题意～班不为第一名也不为第三名～那么班为第四名(同样～班不为第二名也 211不为第一名～那么班为第三名(班不为第三名也不为第四名～那么班为第一名(故第一名到 1423第四名依次为班～班～班～班( 方法二:我们可以将两人的猜测结果列成表格形式～将小明猜想结果用“?”表示～小华猜测结果用“?”表示～列表如下: 4由题意知只有小华猜到的班为第二名正确～其他的全是错误的～所以很容易确定各班名次 ,打?的即为正确的名次, 方法二:题目中只有小华猜到4班为第二名是正确的～那么其他的猜想均为错误的。在其对应的地方打“×”～正确的则打“?”。 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 7 of 28 【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序(在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测(甲猜:乙第三，丙第五(乙猜:戊第四，丁第五(丙猜:甲第一，戊第四(丁猜:丙第一，乙第二(戊猜:甲第三，丁第四(老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是__________;第三是__________( 【解析】 题中每个人都猜了另外两个人的出场顺序～每个人的出场顺序也都被另外两个人猜过～其中戊被乙和丙猜的都是第四～由于每人的出赛顺序都至少被一人所猜中～所以戊是第四,否则戊的出赛顺序没有人猜中,～以此为突破口。由于戊是第四～则在第四列其余地方均打“×”则丁不能第四～所以丁的出赛顺序被乙猜中～为第五～则丙不能是第五～丙只能是第一～甲不能是第一～故甲是第三～乙是第二～所以答案为:第一是丙～第三是甲( ABC【例 6】 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有、、、DE、五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包( AB猜:第二包是紫的，第三包是黄的;猜:第二包是蓝的，第四包是红的; DC猜:第一包是红的，第五包是白的;猜:第三包是蓝的，第四包是白的; E猜:第二包是黄的，第五包是紫的( 猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对(请你判断他们各猜对了其中的哪一包, ABDEC【解析】 方法一:题目要求、、、、五个人在猜每包珠子的颜色时每人只猜两包且每人都只猜 CC对了一包每包只有一人猜对～所以观察五包珠子中第一包只有猜～所以猜对了第一包～又根 EECC据每人只猜对了一种～所以猜第五包是白的～猜错了,第五包只有、两人猜～所以猜第 EAE猜第二包是黄的～猜错了,紫颜色的珠子～只有、两人猜～那五包是紫的～猜对了,那么 AABEAEB么猜第二包是紫的～猜错了,第二包有～～三人猜～其中～都猜错了～所以猜第 BDD二包是蓝的～猜对了,那么猜第四包是红的～猜错了,所以猜对的是第四包～是白的(猜 A第三包是蓝的～也猜错了,所以猜对的是第三包～是黄的, ABC总结以上推理判断～猜对了第三包是黄的～猜对了第二包是蓝的～猜对了第一包是红的～DE猜对了第四包是白的～猜对了第五包是紫的( 方法二:分析同方法一～第一包只有一人猜对～所以第一包为红色～在第一行的其余地方打上“×”第四包不为红色～第四包为白色～白色不能为第五包～第五包就为紫色～同理可知其余各包颜色。 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 8 of 28 【巩固】 五封信，信封完全相同，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片(现在把它们按顺 ABDE序排成一行，让C、、、、五人猜每只信封内所装卡片的颜色( A 猜:第2封内是紫色，第3封是黄色; B 猜:第2封内是蓝色，第4封是红色; C 猜:第1封内是红色，第5封是白色; D猜:第3封内是蓝色，第4封是白色; E 猜:第2封内是黄色，第5封是紫色( 然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中(请你根据这些条件，再猜 猜，每封信中夹什么颜色的卡片, A【解析】 把已知条件简明地记录在表格中(选择其中一只信封作为“突破口”(比如第3封～猜的是黄 D色～猜的却是蓝色(由已知条件～这只信封内的卡片不是蓝色～就是黄色(假如第3封是蓝色～ 那么逐步推理可导出矛盾:白色卡片没人猜对(这说明假设不正确～第3封内应是黄色(由此推 出其它各封内的颜色( 【巩固】 (2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动)老师在3个小箱中各放一个彩色球，让小 明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球( 123小明说:“号箱中放的是黄色的，号箱中放的是黑色的，号箱中放的是红色的(” 123小亮说:“号箱中放的是橙色的，号箱中放的是黑色的，号箱中放的是绿色的(” 123小强说:“号箱中放的是紫色的，号箱中放的是黄色的，号箱中放的是蓝色的(” 123 小佳说:“号箱中放的是橙色的，号箱中放的是绿色的，号箱中放的是紫色的(” 老师说:“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余的三人都只猜对一个(” 3那么号箱子中放的是________色的球( 225【解析】 由于猜中的总次数为次～所以有一个箱子至少被猜中了次以上～从而这个箱子只能是号箱～ 213推理得出只能是小亮对了次～其他人只对一次～所以号箱只能是橙色的～那么号箱的颜色是 蓝色的( A【巩固】 四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字(一张上写一个字)，取出三张字朝下放在桌上，、 BC、三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表: 结果，有一人一张也没猜中，一人猜中两张，另一人猜中三张.问:这三张卡片上各写着什么字( ABBC【解析】 、有两张猜的相同～必有一人全对～一人对两张～因此～全错～推知全对. 【例 7】 老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一 人给了一本，结果全发错了(现在知道:?小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的;?小贝拿 的不是小丸子的，也不是小淘气的;?小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的;?小淘气拿 的不是小丸子的，也不是小马虎的;?小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的(另外，没有 两人相互拿错(例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的)(问:小丸子拿的是谁的本,小丸子的本被 谁拿走了, 【解析】 根据“全发错了”及条件?，?～可以得到下表: 由表1看出～小淘气的本被小丸子拿了(此时～再继续推理分析不大好下手～我们可用假设法( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 9 of 28 由上表知～小胖拿的本不是小丸子的就是小马虎的(先假设小胖拿了小丸子的本(于是得到下表～ 表中小贝拿小马虎的本～小马虎拿小贝的本(两人相互拿错～不合题意( 再假设小胖拿小马虎的本(于是又可得表～经检验～下表符合题意( 所以小丸子拿了小淘气的本～小丸子的本被小马虎拿去了( 模块二、假设推理 【例 8】 甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎(有一次谈到他们的职业(甲说: “我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师(”乙说:“我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲 会说他是油漆匠(”丙说:“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察(”你知道谁总说谎吗, 【解析】 甲(如果甲从不说谎～那么乙的最后一句、丙的第一句都对～没有总说谎的人～矛盾,同理～如 果丙从不说谎～也将推出矛盾( 【巩固】 在神话王国内，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的 居民小白、小黑、小蓝，小白说:“小蓝是骑士，小黑是骗子(”，小蓝说:“小白和我不同，一 个是骑士，一个是骗子(”国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子(你能判断出吗, 【解析】 假设小白是骑士,说实话,～则小蓝是骑士～小黑是骗子,又因为小蓝是骑士～那么小白、小蓝 不同～一个是骑士～一个是骗子～与小白、小蓝均为骑士矛盾(假设小白是骗子,说假话,～那 么小蓝是骗子～小黑是骑士～又因为小蓝是骗子～所以小白、小蓝不同是假话(因此～小白、小 蓝是骗子～小黑是骑士. 【巩固】 一个骗子和一个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话(请提一个尽量简单的 问题，使两人的回答相同(这个问题可以是 . 【解析】 这个问题可以是:你是老实人吗?如果问的问题是客观的～也就是说对于这两个人来说真正的答 案是一样的话～那么他们的回答肯定不一样(所以要问一个与他们自身相关的问题～例如你是老 实人吗?或者问你是骗子吗?这样他们的回答才会一样( 【巩固】 甲说:“乙和丙都说谎。”乙说:“甲和丙都说谎。”丙说:“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你 判断一下，下面的结论哪一个正确:(1)三人都说谎;(2)三人都不说谎;(3)三人中只有一 人说谎;(4)三人中只有一人不说谎。 【解析】 ,4,正确。 【例 9】 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。甲判断:不是铁，也不是铜。乙判断:不是铁， 而是锡。丙判断:不是锡，而是铁。经化验证明:有一个人的判断完全正确，有一个人说对了 一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗, 【解析】 丙全说对了～甲说对了一半～乙全说错了。先假设甲全对～推出矛盾后～再设乙全对～又推出矛 盾～则说明丙全对～甲说对了一半～乙全说错了。 【巩固】 三只小猴子聪聪、淘淘、皮皮见到一个水果，他们分别判断这是什么水果:聪聪判断:不是苹 果，也不是梨(淘淘判断:不是苹果，而是桃子(皮皮判断:不是桃子，而是苹果(老猴子告8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 10 of 28 诉他们:有一只小猴子的判断完全正确，有一只小猴子说对了一半，而另一只小猴子完全说错 了(你知道三只小猴中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗, 【解析】 先设聪聪全对～不是苹果～也不是梨只能是桃子～那么淘淘两句也都说对了～推出矛盾,再设淘 淘全对～不是苹果～而是桃子～推出这个水果是桃子～那么聪聪说的也都对了～又推出矛盾,则 说明皮皮全对～那么这种水果是苹果～聪聪说对了一半～淘淘全说错了( 42007【例 10】 (年太原福布斯迎奥运数学展示活动)名运动员参加一项比赛，赛前，甲说:“我肯定 是最后一名(”乙说:“我不可能是第一名，也不可能是最后一名(”丙说:“我绝对不会得最后 4一名(”丁说:“我肯定得第一名(”赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的(请问谁的 预测是错误的, 【解析】 假设甲的预测是错的～那么其他三人的预测都是对的～那么甲不是最后一名～乙和丙也不是最后 一名～丁是第一名～这样的话没有人是最后一名～矛盾(所以甲的预测是对的～甲是最后一名～ 那么丙的预测也是对的(如果乙的预测是错的～那么乙是第一名～而丁的预测是对的～丁也是第 一名～矛盾(所以乙的预测是对的～丁的预测是错的( 【巩固】 甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说:“我最高(”乙说:“我不最矮(”丙说:“我没甲高， 但还有人比我矮(”丁说:“我最矮(”实际测量的结果表明，只有一人说错了(请将他们按身高 次序从高到矮排列出来( 【解析】 丁不可能说错～否则就没有人最矮了(由此知乙没有说错(若甲也没有说错～则没有人说错～矛 盾(所以只有甲一人说错(所以丁是最矮的～甲不是最高的～丙没甲高～但还有人比他矮～那么 只能是甲第二高～丙第三高～乙最高(所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁( 2009【巩固】 (年第七届希望杯一试试题)百米决赛前，小芳对参赛的五名选手的名次作了预测，比赛 的结果同她预测的名次全不相同(由下图知小芳预测为第一名的选手的实际名次是第 名( 【解析】 假设小芳预测第一名、第二名、第三名、第四名、第五名对应的人分别是甲、乙、丙、丁、戊～ 由小芳说的话知第四名丁就是实际名次的第一名, 预测的第二名乙就是实际名次的第三名, 预 测的第三名丙就是实际名次的第二名,因此实际的第一名、第二名、第三名的人分别是丁、丙、 乙～又知道比赛的结果同她预测的名次全不相同,所以小芳预测的第五名戊只能是实际的第四名 了～这样实际名次的第五名只能是小芳预测的第一名甲了.,如下表所述, XYZ2007W【例 11】 (年台湾第一届小学数学世界邀请赛)在期末考试前，学生、、、分别预测他 ABDABBDCCC们的成绩是、、或，评分标准是比 好，比好，比好( AYDW说:“我们的成绩都将不相同(若我的成绩得，则将得(” XYDZCWW说:“若的成绩得，则将得(的成绩将比好(” YXABZDWC说:“若的成绩不是得到，则将得(若我的成绩得到，则的成绩将不是(” ZYABXBB说:“若的成绩得到，则我将得到(若的成绩不是得到，则我也将不会得到(” 当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测(请问这四位学生的成绩 分别是什么, 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 11 of 28 XZW【解析】 由于每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测～所以说:“的成绩将比好”是正确的～ DZAYDWCW这样将不可能得～不可能得(这样不可能得,否则得,( AYDXAAWWCW?如果得～那么将得(由于的成绩不是得到～那么将得～这与得矛盾(所 AW以不得( YAZBZYAW?如果得～那么将得到(但这样的成绩将不可能比好～矛盾(所以不得( YZAXAW?由于、、均不得～那么只有得( YBZDZDCW?如果得～那么的成绩将不是(这样的成绩将是～的成绩将是～矛盾(所以 YBYABYDC不得(由于不得、、～所以得( ZBBZWCWC?由于的成绩比好～所以剩下的和只能是得～得( XYZBADWC所以、、、的成绩分别是、、、( 【巩固】 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问(四人分别 供述如下: 甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中(” 乙说:“我没有作案，是丙偷的(” 丙说:“在甲和丁中间有一人是罪犯(” 丁说:“乙说的是事实(” 经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话( 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯, 【解析】 如果甲说的是假话～那么剩下三人中有一人说的也是假话～另外两人说的是真话(可是乙和丁两 人的观点一致～所以在剩下的三人中只能是丙说了假话～乙和丁说的都是真话(即“丙是盗窃 犯”(这样一来～甲说的也是对的～不是假话(这样～前后就产生了矛盾(所以甲说的不可能是 假话～只能是真话(同理～剩下的三人中只能是丙说真话(乙和丁说的是假话～即丙不是罪犯～ 乙是罪犯(又由甲所述为真话～即甲不是罪犯(再由丙所述为真话～即丁是罪犯(所以乙和丁是 盗窃犯( 【巩固】 四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆 老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问:“是谁打破了玻璃,” 宝宝说:“是星星无意打破的。” 星星说:“是乐乐打破的。” 乐乐说:“星星说谎。” 强强说:“反正不是我打破的。” 如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁,是谁打破了玻璃, 【解析】 因为星星和乐乐说的正好相反～所以必是一对一错～我们可以逐一假设检验。 假设星星说得对～即玻璃窗是乐乐打破的～那么强强也说对了～这与“只有一个孩子说了 实话”矛盾～所以星星说错了。 假设乐乐说对了～按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了～推知玻璃是强强打破的。 宝宝、星星确实都说错了。符合题意。 所以是强强打破了玻璃。 20075【巩固】 (年春武汉明心奥数挑战赛)名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名 53是凶手(下面个人的供述中，只有 句是对的: AD说:是杀人犯; B说:我是无辜的; EC说:不是杀人犯; DA说:在说谎; EB说:说的是实话( 5在这个人中， 是凶手( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 12 of 28 BE【解析】 与判断相同～要么都对～要么都错( BEBA33假设与都错～即凶手是～那么也错～就出现了句错的～与“有句是对的”矛盾(所 BE与都是对的( 以 1AD余下的3人中还有人判断是对的～由于与互相矛盾～所以这两个人中必有一个是对的～一 E3C个是错的～由于只有句是对的～那么必定是错的～所以是凶手( AB2008C【巩固】 (年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛)三位女孩、、进行百米赛跑， DEFDAEC裁判、、在赛前猜测她们之间的名次。说:“我猜是第一名。”说:“我猜不会是 FB最后一名。”说:“我猜不会是第一名。”成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的， 请问哪位女孩得第一名, ADFBDF【解析】 假设是第一名～那么猜测正确～猜测正确～出现矛盾。假设是第一名～那么与猜 EEFCC测错误～而当为第二名时～猜测正确。假设为第一名～那么、猜测正确～出现矛盾～ B所以第一名是。 【巩固】 小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、 三等奖(已知:?小强不是甲校选手;?小明不是乙校选手;?甲校的选手不是一等奖;?乙 校的选手，他校的选手得二等奖;?小明不是三等奖(根据上述情况，可判断出小勇是 得的是 等奖( 【解析】 甲校,三等奖(由?、小明得的不是二等奖～由?知小明得的不是三等奖～所以小明得的是-等 奖～由?、?知小明是丙校的～由?知小强是乙校的～所以小勇是甲校的～他得的是三等奖( 【巩固】 甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况， 四人分别回答如下(甲:“丙、丁两人中有人做了好事(” 乙:“丙做了好事，我没做(” 丙:“甲、丁中只有一人做了好事(” 丁:“乙说的是事实(”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事 实有出入(到底是谁做了好事, 【解析】 我们用假设法来解决(题目说四人中有两人说的是事实～另两人说的与事实有出入(注意～此处 的“与事实有出入”表示不完全与事实相符～比如～当乙、丙都做了好事～或乙、丙都没做好事～ 或乙做了好事而丙没做好事时～乙说的话都与事实有出入( 因为乙与丁说的是一样的～所以只有两种可能～要么乙与丁正确～甲与丙错,要么乙与丁错～甲 与丙正确( ?假设乙与丁说的话正确(这时丙做了好事～甲说丙、丁两人中有人做了好事～甲说的话也正确～ 这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾(所以假设错误( ?假设甲与丙说的话正确(那么做好事的是甲与丙～或乙与丁～或丙与丁(若做好事的是甲与丙～ 或丙与丁～则乙说的话也正确～与题意不符,若做好事的是乙与丁～则乙说的话与事实不符～符 合题意(综上所述～做好事的是乙与丁( 【例 12】 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说:“丙 114233第名，我第名。”乙说:“我第名，丁第名。”丙说:“丁第名，我第 名。”成绩揭晓后， 发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗, 【解析】 我们以“他们每人只说对了一半”作为前提～进行逻辑推理。 13 假设甲说的第一句话“丙第名”是对的～第二句话“我第名”是错的。由此推知乙说的“我 1423第名”是错的～“丁第名”是对的,丙说的“丁第名”是错的～“丙第名”是对的。这与假 1设“丙第名是对的”矛盾～所以假设不成立。 33 再假设甲的第二句话“我第名”是对的～那么丙说的第二句“我第名”是错的～从而丙说的 241第一句话“丁第名”是对的,由此推出乙说的“丁第名”是错的～“我第名”是对的。至此 1243可以排出名次顺序:乙第名、丁第名、甲第名、丙第名。 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 13 of 28 【巩固】 编号分别为1，2，3，4的四位同学参加了学校的110米栏比赛，获得了全校的前四名，1号同 学说:“3号比我先到达终点.”得第三名的同学说:“1号不是第四名.”而另一位同学说:“我们 的号码与我们所得的名次都不相同.”聪明的同学们，你们能说出这四位同学各自所得到的名次吗, 【解析】 从得第三名同学的话中可以推知:1号不是第三名～也不是第四名,而1号同学又说“3号比我 先到终点”～这说明1号同学不是第一名～这样我们可以得知1号同学是第二名～于是3号同学 是第一名～ 而另一位同学说:“我们的号码与我们所得的名次都不相同.”～这样4号不是第四名～ 只能是第三名～所以获得第四名的同学是2号. ABDEC【巩固】 在一次数学竞赛中，，，，，五位同学分别得了前五名(没有并列同一名次的)，关 ADBBC于各人的名次大家作出了下面的猜测:说:“第二名是，第三名是(” 说:“第二名是， EEADAECC第四名是(” 说:“第一名是，第五名是(” 说:“第三名是，第四名是(” BD说:“第二名是，第五名是(”结果每人都只猜对了一半，他们的名次如何, ABEEC【解析】 假设猜的第一句是真的～那么猜的第二句是真的～即第四名是～那么猜的“是第一名” ADBEC是错的～是第五名～那么猜的是第三名是对的～那么就是第一名～从而说的全是错的～ ABDA所以假设不成立(所以猜的第二句是真的～即是第三名～那么猜的第一句是错的～从而 EBECC是第四名～所以猜的第二句是错的～是第一名～从而猜的是第二名是对的～猜的第五 DEBADC名是正确～所以～第一名是～第二名是～第三名是～第四名是～第五名是( 【例 13】 传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话; 女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话(有一天，一个人到说谎国去旅 游，他在那里认识了一男一女(男人说:“昨天我说的是假话”，女人说:“昨天也是我说假 话的日子”(这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢,请同学们根据他们说的话， 判断一下今天是星期几呢, 【解析】 假设男人今天说的是真话～那么今天是星期四、五、六、日其中的一天～而且今天的前一天男人 说的是假话～所以～根据男人的话～确定今天是星期四～所以女人说的话是假话～昨天也就是星 期三女人说的是真话～符合题意～所以～今天是星期四. 【巩固】 从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足 下列要求:(1)A，B两种产品中至少选一种;(2)A，D两种产品不能同时入选;(3)A，E，F 三种产品中要选两种;(4)B，C两种产品都入选或都不能入选;(5)C，D两种产品中选一种; (6)若D种产品不入选，则E种也不能入选。 问:哪几种产品被选中参展, 【解析】 用假设法。从条件,1,开始～有三种情况: ?假设选A不B选～由,2,知D不能入选～再由,5,知C入选～再由,4,推知C～B同时入选～ 与前面假设不选B矛盾。假设不成立。 ?假设选B不选A～由,3,知选E～F～由,6,知D入选～再由,5,知C不入选～再由,4,推 知B～C都不入选～与假设选B矛盾。假设不成立。 ?假设A，B都入选，由(2)知D不入选，由(6)知E也不入选，再由(3)知F入选，由(4) 知C入选。符合题意。因此，A，B，C，F选中参展。 【例 14】 三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄(刘强说:“我12岁，比陈红小2岁， 比李丽大1岁(”陈红说:“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁(”李丽说: “我比刘强年岁小，刘强13岁，陈红比刘强大3岁(”这三位学生在他们每人说的三句话中， 都有一句是错的(请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁, 【解析】 经过审题～仔细分析这九句话～不难发现有两句话是相互矛盾的(一句话是刘强说的第一句话: “我12岁”～另一句话是李丽说的第二句话:“刘强13岁”(这两句话不能都真～必有一句是假 的(为了确定这两句话的真假性(可以先假设某一句为真～如果推不出矛盾～本题就获得了解决, 如果推出矛盾～就说明这句话是假的～从而也就找到了突破口(先假设刘强说的第一句话“我12 岁”为真～那么李丽说的第二句话“刘强13岁”就为假～因此李丽的另外两句话就应该是真话～ 从“陈红比刘强大3岁”就推出陈红是15岁,又从“我比刘强年岁小”推出李丽小于12岁(可 是这样一来～陈红说的三句话中～“李丽和我差3岁”和“李丽15岁”这两句话都不能成立～这 与本题中的要求(“每人说的三句话中～都有一句是错的”～即三句话中有两句话是真的)相矛盾(因8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 14 of 28 此～刘强说的“我12岁”这句话是假的(由于刘强说的第一句话是假的～所以后两句话就是真的(因此～李丽说的第三句话“陈红比刘强大3岁”就是假的～所以～李丽说的第二句话“刘强13岁”就是真的(于是就可以推出:李丽12岁～陈红15岁～刘强13岁( 1【例 15】 (2008年日本小学算术奥林匹克大赛决赛)甲和乙做猜数的游戏。首先，甲在纸上写个各位数字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。如果数字和位数都猜对了就是?，如果数字对而位数不对就是?。 2112341354例如:甲写的是，乙猜的是，那么就是个?，个?。 请阅读以下对话并回答问题: 119856乙:“我猜”，甲:“个?，个?。” 116972乙:“,”，甲:“也是个?，个?。” 113058乙:“,”，甲:“也是个?，个?。” 24732乙:“呢,”，甲:“个?。” 28369乙:“哇，猜不着呀，呢,”甲:“也是个?。” 4(1):请从以上的对话中答出甲最可能写的个四位数。 后来，甲发现自己刚才的回答中对四位数的判断有误。 甲:“对不起，刚才有搞错的。”乙:“啊～那么” 114732甲“只是个数字搞错了，在刚才说到的数字中，只是对的判断有误，正确的回答应该是 1个?，个?。” 乙“稍等一会儿，啊～我知道啦～甲写的四位数是 吗”, 甲:“对啦～你真棒～” (2):请问甲写的这个四位数是什么, 【解析】 如下表: 由1、4次猜测结果知～2到9中包含了正确数字中的全部四位数字～也即甲写的数字各位都不是0或1,由2、3次猜测结果～同理知甲写的数字各位都不是1或4,再考察第3、4次猜测结果～由于其中的0和4一定是错的～而且两次各猜对了正确数字四位数中的两位～可以先假设甲写的数字各位上没有3～那么甲写的数字各位就是2、5、7、8～那么第5次猜测的结果就应该是,0～1,或者,1～0,而非,0～2,。因此甲写的数字一定有一位是3,再由第5次猜测结果～甲所写的数字各位有且只有6、8、9中的一个,于是由第1次猜测结果～甲所写的数字中一定有一位是5 再综合第3、5次猜测结果～知甲所写的数字各位上没有8～而一定有且只有6、9其一 根据第2次的猜测结果～甲所写的数字应该有一位是2、7其一。 假定第1、3次猜测中位数对的数字是5～那么根据第3、5次的猜测结果 可以判断出3在甲所写的数字的个位上 于是由第2次猜测结果～2或7一定是数字对而位数不对的～那么6或9一定是数字对且位数对的～于是甲可能写的数字是:6253、2953或7953 假定第1、3次猜测中位数对的数字不是5～那么第3次猜测中位数对的数字一定是3～ 第1次猜测中位数对的数字只能是6而不能是9～于是只能第百位是5～十位是7～ 这时甲可能写的数字只有3576 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 15 of 28 综上所述～甲可能写的四位数是6253、2953、7953或3576 ,2,由上述前半部分推理～仍然能判断出甲写的数字各位上一定有3和5～ 且仍然6、9中有其一～而2、7中有其一。 仍然先假设第3次猜测中数字对且位数对的是3～那么第1次猜测中数字对且位数对的只能是6～ 而不能是5或9。那么由于第1次猜测中5是数字对而位数不对的～则5只能放在百位～ 又由于第2次猜测中有一位数字对且位数对～所以只能是十位上为7～这时这个四位数是3576～ 但这时第4次猜测将没有数字对且位数对的数～与甲的叙述不附～因此最开始的假设不成立。 那么第3次猜测中数字对且位数对的数只能是5～由第3、5次猜测结果可以推知～ 3不在千位也不在百位～那么3只能在个位。 考虑到第四次猜测中要有一位数字对且位数对～只能是百位上的7～ 再由第1次猜测的结果推出千位上不能是9而只能是6～ 于是这个四位数是6753～经过检验可知～这个四位数满足所有五个条件～ 因此甲写的四位数就是6753。 【巩固】 一只皮箱的密码是一个三位数。小光说:“它是954。”小明说:“它是358。”小亮说:“它是214。”小强说:“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。”这只皮箱的密码是 。 【解析】 每个人只猜了位臵不同的一个数字～也就是说一样的数字必然不对～“5、4”第一位肯定是9～第三位是8～第二位是1～密码就是918。 【例 16】 一次数学考试，共六道判断题(考生认为正确的就画“?”，认为错误的就画“”(记分的方， ABDEFCG法是:答对一题给2分;不答的给1分;答错的不给分(已知、、、、、、七 G人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分(并简单说明你的思路( E【解析】 由于得了9分～说明他只答错了一道题(先假定答错的是第1题～这样就有一个标准答案～并 EE由此可分析其他人的得分(如出现矛盾～再假定答错的是第2题……直到判断出答错的题号 G为止(有了正确的答案～就可以写出的得分( EAAE假设的第1题答错～那么至少错3道题～一题未答～最多得5分～与得7分矛盾(所以第1题答对( EAE假设第2题答错～可知最多得3分～矛盾(所以第2题答对( EBE假设第3题答错～则最多得3分～矛盾(所以第3题答对( EDE假设第6题答错～则最多得3分～矛盾(所以第6题答对( EEEA由于得9分～因此只答错一题～因此第4题答错～于是的第2～4两题对～3～6两题错(而AAAE得7分～说明的第5题是对的(由～两人的答案～可得一标准答案如下表: ABDEFEC按此标准评分～与题中所给～～～～～得分相符合～所以的第4题确实答错了( G上表的答案是正确的(故可知得8分( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 16 of 28 【巩固】 学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况:?是一位姓王的中年女老师，教语文课; ?是一位姓丁的中年男老师，教数学课;?是一位姓刘的青年男老师，教外语课;?是一位姓 李的青年男老师，教数学课;?是一位姓王的老年男老师，教外语课(他们每人听到的四项情 况中各有一项正确(问:真实情况如何, 【解析】 真实情况是姓刘的老年女老师～教数学(假设是男老师～由?、?、?知～他既不是青年、中年～ 也不是老年～矛盾～所以是女老师(再由?知～她不教语文～不是中年人(假设她教外语～由?、 ?知她必是中年人～矛盾～所以她教数学(由?、?知她是老年人～由?知她姓刘( 【例 17】 有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，一个罐 里放两白球，另一罐放一红一白(然后将写有“两红”、“两白”、“红白”的三个标签贴在 三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了(试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定 三个罐分别装的是什么彩球, 【解析】 因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符～所以在贴有“红白”标签的罐子中只能是两红或两 白(那么只需在“红白”罐子中取出一个彩球～若是红色球～则可知罐中是两红～那么标有“两 白”的罐子中就是“一红一白”～标有“两红”的罐子中就是“两白”,若是白色球～则可知罐中 是“两白”～那么标有“两红”的罐子中就是“一红一白”～而标有“两白”的罐子中就是“两红”( 1212【巩固】 有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克 的砝码(每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的(聪明的小明只从一个盒子里取出 一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了(你知道这是为什么吗, 【解析】 其实不用那么麻烦～我们发现“每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的”这句话说明 标签的可能只有两种: 标注 两个1克 两个2克 一个1克一个两克 可能1: 两个2克 一个1克一个两克 两个1克 可能2:一个1克一个两克 两个1克 两个2克 所以我们可以从标注“一个1克一个两克”里面拿一个～如果是“1克”的就是上面那种情况～ 否则就是下面那种情况( 模块三、体育比赛中的数学 【例 18】 三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场,一共要进行多 少场比赛, (如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为单循环赛) ABDC【解析】 ,法一,题意要求每两个点之间都连一条线段(先考虑点(如图)～它与、、三点能且只 ABADBBABDACBCC能连接三条线段、、,同样～从点也可以连出三条线段、、,从点可 DDADBCACBCDDC以连出三条线段、、,从点可以连出三条线段、～(因此～从一个点可 3412，,以连三条线段(从每个点都连出三条线段～共有四个点((条) ABAB注意到线段既是由点连出的～也是由点连出的～并且每一条线段都是这样(如图)～所以～ 6线段的总数应为:(条)( AABADBACBC,法二,从点引出三条线(、、～为避免重复计数～从点引出的线段只计、 BDCCD3216，，,两条～由点引出的只有一条(因此～线段的总数为(条)( 通过例题的讲解～对于这个问题～我们就可以很轻松地解决了(一共有四个队～每个队都要比赛 413,,3426，,,场～一共有比赛场( 【点拨】我们可以将上面的问题如下表述:下面的四个点～每两个点之间都连一条线段～那么～ 从一个点可以连出几条线段,一共可以连多少条线段, AABB DDCC 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 17 of 28 25【巩固】 市里举行足球联赛，有个区参加比赛，每个区出个代表队(每个队都要与其他队赛一场，这 5个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛, 些比赛分别在 【解析】 一共有5210，,,个,队参加比赛～共赛,场,～平均每个体育场都要举行10(101)245，,,, 4559,,,场,比赛( 【巩固】 二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛,一共要进行几场比赛, 565215，,,【解析】 每个班要进行场～一共要进行,场,比赛( 20【巩固】 名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少场, 201919【解析】 假设名羽毛球运动员中的甲是冠军～那么甲与其他名运动员都赛过了～也就是一共赛了场( 【巩固】 三年级二班的六名同学进行乒乓球单单循环赛，一共要进行多少场比赛, 6【解析】 一共有名同学～所以一共要进行,场,比赛( n 8【巩固】 只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛, 44422184217，，,【解析】 方法一:进进行了场～进进行场～最后决赛是场～因此共进行了,场, 比赛( 7方法二:每进行一场比赛就淘汰一支球队～最后只剩下冠军了～也就是说淘汰了只球队～因此 7场比赛( 进行了 8【巩固】 有个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局, 87【解析】 个选手进行乒乓球单循环赛～每个选手都要参加场比赛～而且每人获胜局数各不相同～所以 0~77每人获胜的局数分别为局～那么冠军胜了局( 【例 19】 (2008第四届“IMC国际数学邀请赛”(新加坡)初赛)学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手 36都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了场比赛，有( )人参加了选拔赛( AB89C10. . . 3223，,,4326，,,【解析】 三个人比赛～可以比赛场,如果四个人比赛～可以比赛 场,如果有五个 54210，,,998236，,,人比赛～那么可以比赛场,如果有个人比赛～那么可以比赛场～所以 B答案是( 28【巩固】 朝阳区的几个学校举行篮球比赛，每两个学校都要赛一场，共赛了场，那么有几个学校参加了比赛, 28n,8【解析】 假设有个学校参加比赛～那么就有场比赛～现在已知共赛了场～那么～也nn，,,(1)2n 8就是有个学校参加了比赛( ABDEA4C【例 20】 、、、、五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘(到现在为止，已经赛 B2D1E3C盘，赛盘，赛盘，赛盘(问:此时同学赛了几盘, 5【解析】 画个点表示五位同学～两点之间连一条线段表示赛一场～建议教师让学生动手按要求画一画( AD E BC A4ABDEABDEDCC根据题意～已经赛盘～说明与、、、各赛一盘～应与、、、点相连(1ABAE2AB3CC赛盘～是与点相连的(赛盘～是与、、点相连的(赛盘～是与、点相连 EE2的(从图上点的连线条数可知～同学赛了盘( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 18 of 28 【巩固】 八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个 421月过后，八一队赛了场，北京队赛了3场，江苏队赛了场，山东队赛了场(那么广东队赛 了几场, 4【解析】 八一队赛了场～说明八一队和其它四队都赛过了( 1山东队赛了场～说明只和八一队赛过( 3北京队赛了场～说明与八一队、江苏队、广东队赛过( 2江苏队赛了场～说明与八一队、北京队赛过( 2由此可知～广东队只和八一队、北京队赛过～赛了场( 【巩固】 A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道:A、B、C、D、E五人已经分别赛过5(4、 3、2、l盘。问:这时F已赛过 盘。 【解析】 3盘。 【例 21】 趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原搭档在 ABAC一起表演(男士用、、表示，女士用甲、乙、丙表示(已知前面表演过程中和甲一起 BBCC和丙一起滑过，和甲一起滑过，和乙一起滑过，的新搭档不可能是丙，那么乙滑过， 的新搭档是谁, 【解析】 根据题意可列出以下表格～“×”表示二者不可能是新搭档( BAC由上图可以发现甲的新搭档是～的新搭档不可能是丙～所以丙的新搭档是～乙的新搭档是 C( 【例 22】 东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同(问另一个人 胜了几场, 33426，,,【解析】 东东、西西、南南、北北四人进行单循环赛～则每人都赛场～共赛(场)(如果其中 2396有三人都胜场～则至少进行场比赛～这是不可能的,如果其中有三人都胜场～那么场比赛 2106中的获胜者都在这三个人中～每人胜了场～另一个人胜场,如果其中有三人都胜场～那么 1333场比赛中的场这三人各胜场～另外场的胜者必是第四个人～故另一个人胜场,三个人都胜 0303场也是不可能的(因此～如果有人获胜的场数相同～那么另一个人可能胜场～也可能胜场( 3【巩固】 东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果人获胜的场数各不相同(问第一名胜了几场, 3223，,,【解析】 三人进行单循环赛～即每两人都要赛一场～共进行,场,比赛(每场比赛都有一人获 2210胜～每人都赛场(由题意知三人获胜的场数各不相同～所以三人获胜的场数分别为、、(显 2然～第一名是胜了场( 3232【例 23】 参加世界杯足球赛的国家共有个(称强)，每四个国家编入一个小组，在第一轮单循环赛 16中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出强后，进入淘汰 428赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生强、强、强，最后决出冠军、亚军、第三名，第 四名(至此，本届世界杯的所有比赛结束( 根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场, 413248,,3【解析】 单循环赛中～有,个,组(每组个队( 每组四个队中～每个队要与其他队都比赛 2134326，,,8场～每个队就比场(因为每场比赛要个队(所以组里有,场,(有个组～单循 118648，,16环赛就有,场,(进入淘汰赛～有个队～淘汰赛每比场就淘汰个队～最后决出冠军 1116115,,15116，,个队～就比了场～还要决出第三名～第四名～又多了场(淘汰赛就有场(世 481664，,界杯的足球赛全程共有,场,( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 19 of 28 21分，负者得0分，和棋双方各得分，比赛结束后统计【巩固】 四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得 发现，四个人的得分和加起来一定是多少, 24326，,,【解析】 四个人循环比赛总共比赛,场,～每场无论分出胜负还是打平～两人的得分和一定是 2612，,分～因此最终四个人的得分加起来一定是,分,( 210【巩固】 五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得分，负者得分，和棋双方各得分，比赛结束后统计发现，五个人的得分和加起来一定是多少, 54210，,,【解析】 四个人循环比赛总共比赛,场,～每场无论分出胜负还是打平～两人的得分和一定是221020，,分～因此最终四个人的得分加起来一定是,分,( 20【例 24】 五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场(每场比赛胜者得分、负者得分、 112打平两队各得分(比赛结果各队得分互不相同(已知:?第名的队没有平过;?第名的队 4没有负过;?第名的队没有胜过(问全部比赛共打平了 场( 12151020【解析】 支球队进行循环赛～共需要打场～产生总分分(由?、?知第名负于第名～那么第名 236，,6543220，，，，,5最多得分(由于各队得分互不相同～而且～所以支球队得分依次为 42653分、分、分、分、分(第一名没有平过～又只得到了6分～因此负过一场～而第二名的队没有负过～因此第一名应该负于第二名～胜3～4～5名(第二名得了5分～其中胜第一名得了2分～又没有负过～因此和3～4～5名皆为平局(第四名得了3分～其中输给了第一名～平了第二名～没有胜过～因此和第3～5名都是平局(第三名得了4分～输给了第一名～平了2～4名得2分～因此胜了第5名得2分(第五名显然只和第2～4名平了～其余皆负(综上～所有比赛平了5场～分别是2-3～2-4～2-5～3-4～4-5( 【巩固】 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分(结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分(那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少, 9872145，，，，，,【解析】 由题意可知～这次比赛共需比(盘)( 0.521，,因为每盘比赛双方得分的和都是1分或)～所以10名选手的总得分为(101，, 14545，,(分)(每个队的得分不是整数～就是“&.5”这样的小数(由于乙队选手平均得3.6分～3.6的整数倍不可能是“&.5”这样的小数(所以～乙队的总得分是18或36( 363.610,,但～而三个队一共才10名选手(矛盾)(所以乙队的总分是18分～有选手183.65,,(名)(甲、丙两队共有5名选手( 271845，,由于丙队的平均分是9分～这个队总分只可能是9分～18分(不可能是27分)(因为～甲队选手总得分为0分)～丙队选手人数相应为1名、2名～甲队选手人数相应为4名～3名～经过试验～甲队4名选手～丙队1名选手( 21【巩固】 四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分， 0负一局得分(如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局, 66212，,125421,，，，【解析】 四人共赛局～总分为,分,～因为总分各不相同～分配得:或 421125430,，，，5(平局最多的应该是、、、的情况(总分是奇数的必有一局平局～当得分 1424253是分、分的同学分别与得分是分、分的同学打平后～得分是分、分的同学就还剩下分、13分～互相打平就正好(所以平局最多是局( ABDEC【例 25】 、、、、五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得2AEBDC分，负者不得分，已知比赛结果如下:?与并列第一名?是第三名?和并列第四 B名。求得多少分, 【解析】 先计算一下有多少场比赛,总分是多少,再确定第一名的得分( 420共五名选手参加比赛～每人都要赛场～每场比赛不是得分就是得分～所以每名选手的总分 24B068080一定是、、、、五数之一(四场都负得分～四场都胜得分～因此～的得分比分 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 20 of 28 2486多～比分少,他不是第一～也不是第四,～只可能是、、三数之一(还不要忘记两个并列第一～两个并列第四这两个重要条件( 45210，,,1021020，,因为五个人一共比赛,场,～所以场球一共得分:,分,(有两个并列第 80一～两个并列第四～决定了没有全胜的～也没有全败的～也就是没有得分的～也没有得分的～ 2466212，,得分情况只有、、分三种(所以～并列第一的一共得:,分,～并列第四的一共得:224，,B4分～第三名得,分,～所以～得分( 20(124)4,，, 21【巩固】 班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局(每局胜者得分，平者各得分，负者得 4403分(已知甲、乙、丙三名同学得分分别为分、分、分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少, 4326，,,【解析】 个同学共赛,局,～结合条件“丙同学无平局～甲同学有胜局～乙同学有平局”～分解 41221,，，，3121,，，三名同学分数配比:甲:,一胜一平一负,,乙:,一胜二平,或,二 422,，胜一负,,丙:,二胜一负,,观察可知有四胜二负～所以丁同学负了二场～又因为有三 111，,平～所以丁同学平了一场(则丁同学得:,分, 【巩固】 (走进美妙数学花园少年数学邀请赛)甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场， 210规定胜者得分，平局各得分，输者得分(结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分, 23【解析】 共四人参加比赛～每人都要赛场～每场无论分出胜负还是打平～两人的得分和一定是分～四 4326，,,2612，,个人循环比赛总共比赛,场,～因此最终四个人的得分加起来一定是,分,(每 0~6名选手的总分一定是七个数之一(又由题意～“甲第一～乙、丙并列第二～丁最后一名”～ 630可知甲得分时～乙、丙只能各得分～丁得分( 1243如果乙、丙得分大于分时～根据四个人的总得分是分～可得甲得分小于等于分～这种情况 1237不可能,如果乙、丙得分小于分时～根据四个人的总得分是分～可得甲得分大于等于分～ 3这种情况也不可能,所以乙得分( 【例 26】 (2001年第八届华杯赛决赛二试)10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局(其中有两队并列第一，两队并列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况(请计算出各队的得分( 【解析】 为简单起见～假定胜队得1分～负队不得分～其它条件不变～此种情况得到的答案～各队都加上9分就是原题答案( 因为共赛45场～每队赛9场～所以共产生45分(由两队并列第一～推知并列第一的队至少各输一场( ?假设并列第一的队各输1场～各得8分(如果并列第三的两个队各输两场～各得7分～那么前四名的队共输6场～而它们之间恰好赛了6场～所以前四名的队胜了后面的所有队(由此推知～并列第五的队至少各输5场～最多各得4分～那么后四名的队共得分～而后45(874)27,，，，,四名的得分只能是3、2、1、0～其和不等于7.所以并列第三的两个队不能各输两场～而是各输三场～各得6分(此时～后6名的得分只能是5、5、4、2、1、0～ 10个队的得分依次为:8、8、6、6、5、5、4、2、1、0. ?假设并列第一的队各输2场～各得7分～那么并列第三的队只能各输3场～各得6分,如果各输4场～后八名的队的得分只能是5、5、4、4、3、2、1、0～总分不到45分,～后六名的得分只能是5、5、4、3、2、0.此时10个队的得分依次为:7、7、6、6、5、5、4、3、2、0. 665544321036，，，，，，，，，,?假设并列第一的队至少各输3场～则10个队的总分之多为 分～不合题意( 综上所述～各队得分为:17、17、15、15、14、14、13、11、10、9, 或:16、16、15、15、14、14、13、12、11、9( 2【巩固】 四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场(规定如下:胜者得分，负者不得分，平局1得分(比赛结果如下:两名同学并列第一名，两名同学并列第三名(已知比赛中有平局，那么 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 21 of 28 第一名同学得多少分, 4326，,,6212，,0~6【解析】 四个同学共赛,场,～总分是,分,(每名选手的总分一定是七个数之 6分～而且第一名的分数一～因为有两名同学并列第一名～所以第一名的同学不可能都是全胜得 要大于3分(下面进行枚举( 5如果第一名的同学得分～那么第三名的同学得,分,～也就是第一名胜两场～(1252)21,，,, 1平一场～第三名平一场～负两场～各得分, 4如果第一名的同学得分～那么第三名的同学得,分,～也就是第一名胜一场～(1242)22,，,, 2平两场～第三名负一场～平两场～各得分, 45所以第一名同学得分为分或分 2【例 27】 (全国小学数学奥林匹克)四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局 10得分，负一局得分(比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局, 66212，,【解析】 ,法一,四人共赛局～总分为,分,～因为没有人全胜～所以得分最高的选手最多是 53两胜一平得分～因此在另外的局比赛中: 422531. 如果全部是平局～则个人的分数只能分别为～～～～就会出现分数相同的情况～如 1图,图中箭头表示有胜负～箭头指向输者～虚线表示平局, 24421252. 如果有局是平局～则可以出现满足条件的情况:人分数分别为～～～～如图 AD?AD??? CC??B??B 3所以至少有局是平局( 6,法二,四人共赛局～ 6如果局都是平局～那么四人总分相同～不合题意( 5如果有局平局～那么除有胜负的两人外～另两人总分相同～不合题意( 4如果有局平局～那么可分为三种情况:一个人胜两局～输的两个人总分相同,一个人输两局～胜的两个人总分相同,四个人中两人胜两人负～两个胜的人总分相同～两个负的人总分相同～都不合题意( 3局平局是可能的～如下图所示～连线表示平局～箭头指向的一方为负方～图中数字为各人总分( ?? ?? ABDEFC【例 28】 (2009年迎春杯中年级组决赛)、、、、、六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场(胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分(比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分，那么这次比赛中共有 场平局( 5432115，，，，,【解析】 六个足球队进行单循环比赛～总共有(场)比赛( 112，,033，,平局的两队总分为(分)～非平局总分为(分)～因此～如果全是非平局总分有15345，,(分)～否则多一场平局总分减少1分( 2832,,由于第3名得了8分～最后一名至少0分～所以各队得分的构成的等差数列的公差不超过3分～只可能为1分或2分( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 22 of 28 ()87345，，,如果各队得分的构成的等差数列公差为1～则这六个队的总分为(分)～则有0场平局～每场比赛每队都得0分或3分～则每支队的得分都应是3的倍数～与第3名得8分不符( 如果各队得分的构成的等差数列公差为2～则这六个队的总分为()86342，，,(分)～有45423,,(场)平局～符合题意(所以这次比赛中共有3场平局( 【巩固】 (2008年武汉明心奥数挑战赛)五个运动队参加商业足球比赛(原计划每两个队都要比赛一场，但由于经费不足，取消了其中一些比赛场次，最终发现各个队所得的积分各不相同，而且从积分表上看，没有一个队的积分为0.积分的计算是:每赢一场得3分，每输一场得0分，每平一场得1分(试问，这次比赛最少可能有 场( 【解析】 要使比赛总场次越少～可以总分尽量少(由于每队得分不同～且没有0分的～因此～各队得分至 1234515，，，，,少为分～即总分至少为15分(当总分为15分时～各队得分分别为1、2、3、 1535,,4、5分～可以看出其中有平局～所以不是每场比赛都产生3分～那么比赛的场次多于场～即至少为6场(可以设计比赛情况如图: 1A 5E2B D4C3 ABABAB,,表示平局,表示赢,(上面的比赛情况满足题意～所以这次比赛最少可能 有6场( 111113【巩固】 三(一)班的同学在周末举行象棋比赛，规定赢局得分，输局倒扣分，平局各得分(小 163晴共参加了局比赛，结果胜了局，平了局，那么小晴的最后得分是多少, 1111，,212，,3339，,6312,,,【解析】 胜局得到:,分,～平局得到,分,～输了局～扣了,分,(最 9128，,,后得分是,分, ABDC【巩固】 (1997年“我爱数学”夏令营)、、、四个队举行足球循环赛(即每两个队都要赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分(已知:?比赛结束后四个队的得分都是奇 ABDC数;?队总分第一;?队恰有两场平局，并且其中一场是与队平局(那么，队得 分( BB【解析】 由于队得分为奇数～而平两局得2分～所以另外一场是胜局～即队两平一胜～得分为5分, ABAABBA队得分比队高～至少得7分～又队不能全胜,否则队胜队～队应该负一场,～所以 ABDBDC队恰得7分～即队两胜一平～平的那一场是与队的比赛～胜了、两队,队则胜了队, BADDACCC因为队平队、负队～得分又是奇数～所以队得1分～负给了队(故队胜队～负、BD两队～所以队得3分( 【例 29】 5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分(最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得 分( 【解析】 每支队伍都打过四场比赛～显然～根据比赛规则～得1分的队伍只能是1平3负～得2分的队伍只能是2平2负～得5分的队伍只能是1胜2平1负～得7分的队伍只能是2胜1平1负～不难得到下表: 从表中可以看出～这四个队共负了7场～胜了3队～由于每场比赛如果分出胜负那么就有一方负而另一方胜～所以5个队胜和负的总场次应该相等～所以第5队应该胜了4场～那么第5队得了 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 23 of 28 12分( 【巩固】 甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，就是每两个队之间都要比一场，胜者得3分，负者 得0分，平者各得1分(比赛结束后，甲队共得6分，乙队共得4分，丙队共得2分，那么丁 队共得 分( 【解析】 甲队得6分～只能是胜2场负1场,乙队得4分～只能是胜1场平1场负1场,丙队得2分～只 能是平2场负1场(因为甲没有平局～所以丙与乙、丁都是平局～负给甲(如果甲胜乙负丁～那 么乙必负丁,如果甲胜丁负乙～那么乙必胜丁(所以丁与甲、乙的比赛必是一胜一负～得3分～ 再加上与丙是平局～得1分～所以丁共得4分( 130【巩固】 四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得分，平一场得分，负一场得分，有一个队没输 过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗,如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能， 请你说明理由( ABDABBADABCCCC【解析】 可能(～～～四个队 ～胜～胜～胜～和～～都打平(这样的 AB4DDC3话～～～都是分～是分～虽然不败但却难逃垫底厄运( 【例 30】 德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛一场。已知:(1)意大利 队总进球数是0，并且有一场打了平局;(2)荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且该队恰 好胜了一场。按规则:胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。问德国队得了______分。 【解析】 由条件,2,知～荷兰队胜了一场～而不进球是不可能胜的～但它的总进球数只有1～说明这场比 赛它以1?0取胜。又因为它总失球数2～所以另一场比赛以0?2输了。再由条件,1,知:以2? 0赢荷兰队的不可能是意大利队,因为意大利队没有进球,～只可能是德国队,记2分,。既然荷 兰队输给德国队～那么它胜的一场一定是对意大利队～而且比分为1?0。德、意两队以0?0踢 平,各记1分,。所以～德国队得了3分。 【巩固】 有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是:A有一场踢平，共进球2个，失球8 个;B两战两胜，共失球2个;C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。 【解析】 A与C踢成2比2;C对B是2比3;B对A是6比0。 【例 31】 第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场 130比赛胜者得分，负者得分，平局两队各得分(比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数， 请计算出输给第一名的球队的得分是__________分( 1230【解析】 由于每场比赛胜者得分～负者得分～平局两队各得分～所以每场比赛两队的得分之和为分 2123C,6或者分～四支球队进行单循环赛～共进行场比赛～所以比赛完成之后各队总得分至少为4 18分～最多为分～又各队得分是四个连续的自然数～而 123410，，，,234514，，，,345618，，，,456721，，，,～～～～所以各队得分只可能为 24435356,,,或者,,,( 4356183 如果四队得分为,,,～那么总得分为分～则每场比赛两队的得分之和都为分～即每一 330场比赛都不是平局～那么每一场比赛的两只队的得分都是的倍数,分或分,～那么每支队的 435总得分也都是的倍数～而不可能出现有球队得分或分的情况～矛盾～所以四队得分不能为 42435635,,,～只能为,,,( 243553 由于四队得分分别为,,,～所以第一名得分～只能是胜一队而平两队～则这场比赛中 102349，，,与第一名平局的两队各得分～输给第一名的队得分～由于这三支队共得分～所以 2239117,,,3三队彼此之间的场比赛共得分～而每场比赛共得分或分～所以只能为两场分～ 33一场分～即这场比赛中有两场平局～只有一场分出了胜负( 如果分出胜负的这场比赛发生在平了第一名的两支队之间～则它们与输给第一名的那支队之间都 3是平局～则其中一支队在分出胜负的那场比赛中得到分～在与输给第一名的那支队的比赛中又 11315，，,得到分～这样它总共得到分～矛盾～所以平了第一名的两支队之间的比赛也是平局～ 0134，，,输给第一名的那支队与这两支队的比赛一胜一平～它的得分为:～即输给第一名的球 4队的得分是分( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 24 of 28 【例 32】 (2006年实验中学考题)1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组(在 小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场(根据规定:每场比赛获胜的队可得 3分;失败的队得0分;如果双方踢平，两队各得1分(已知:?这4支队三场比赛的总得分 为4个连续奇数;?乙队总得分排在第一;?丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队 踢平的(根据以上条件可以推断:总得分排在第四的是 队( 【解析】 由于每场比赛的两支队伍的得分之和不是3分就是2分～而4支队伍共要打6场比赛～所以最后 4支队伍的得分总和在12到18之间(根据题意～这4支队伍的得分是4个连续奇数～只可能是 1～3～5～7(因为3～5～7～9的和已超过18)～也就是说4支队伍的得分分别为1分～3分～5 分～7分(它们的总得分为16分～比18分少了2分～说明全部比赛中有2场平局～其他场次都 分出了胜负(由于丁队恰有两场同对方踢平～说明甲、乙、丙三支队之间的比赛没有平局( 根据题意可知乙得了7分～只能是两胜一平～所以乙胜了甲、丙～平了丁,那么丁平了乙、丙～ 则丁与甲的比赛丁胜了～丁共得5分(丁如果负了则得2分～分数与前面的分析不符),所以最后 剩下的一场比赛只能是甲胜了丙～甲共得3分～丙共得1分～所以总得分排在第四的是丙队( 【例 33】 (2004年走美)12个队参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3分， 负队得0分，平局则各得1分(比赛完毕后，获得第3名和第4名的两个队的得分最多可以相 差 分( 【解析】 要使第3名和第4名的分差最大～则第3名得分应尽量多～第4名得分应尽量少( 首先前3名的3个队与后9名的球队之间的比赛应当都获胜～而前3名之间有3场比赛～最多产 39330，，,生9分～所以第3名在这3场比赛中最多得3分～所以第3名最多得分, 后9名之间共有36场比赛～每场比赛至少产生2分～共产生72分～在这些比赛中～第4名至少 得8分～所以第4名的得分至少是8分( 30822,,那么第3名和第4名的两个队的得分最多可以相差分( 【例 34】 (2003年迎春杯)世界杯足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各赛一场，胜一场得 3分，负一场得0分，平局各得1分(每个小组总分最多的两支球队出线(如果在第一小组比 赛中出现了一场平局，问:在第一小组中一支球队至少得多少分，一定能够出线, 【解析】 考察两支队之间进行比赛所获得的分数～如果产生胜负关系～那么两队总得分为3分～如果平局～ 则总得分为2分(四支队伍相互间进行了6场比赛～如果不出现平局～应当得分总和为18分～ 18117,,但是出现了一场平局～因此总得分为分(一支队伍要确保出线～必须保证不可能出现 121735,,两支比自己得分高的球队(因此其得分应大于总得分的～因此这支球队至少要得分～33 即至少得6分(很容易说明得6分一定出线～因为如果存在另外两支队伍出线～那么他们的得分 应不小于6分～因此总得分将不小于18分～矛盾(另外～如果得分不到6分～那么这支球队最 多只能得4分,因为得5分意味着两场平局～题目中告诉我们只有一场平局,～这时候其他三支 球队总得分为13分～如果分别为6分～6分～1分～那么4分的球队就不能出线了( 【巩固】 (2006年浙江省小学数学活动课夏令营)足球世界杯小组赛的每个小组有四个队参加单循环(每 3两个队之间都踢一场)比赛，每组的前两名可以出线.其积分方法为:每胜一场得分，平一场 10得分，负一场得分(当两个组的积分相同时，以净胜球数(总进球数减去总失球数的差)的 多少来定名次，净胜球多的队排名靠前.已知某队以最低的积分出线了，那么这个队在小组赛中 的积分是 分( 1121【解析】 以最低积分出线～肯定是小组第二名(首先说明得分的队肯定不能出线(得分的队负平～ 213胜它的个队至少各得分～所以得分的队不可能出线(然后说明～得2分可能出线(假设小组 中的四个队为甲、乙、丙、丁～甲队第一～乙队第二～甲队分别与乙、丙、丁的比赛都赢～而乙、 29丙、丁三队之间都是平局～则甲队得分～乙、丙、丁三队各得分～而这三个队中净胜球多的 队即为出线的队( 30【巩固】 在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队 1各得分(小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 25 of 28 5一步的规则排序(那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线,若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗, 4【解析】 个队单单循环赛要赛6场～每场比赛最多产生3分～则6场比赛最多产生18分(如果某队积6分～ 126则剩下分～可能另两个队也各得分～这样就要按进一步规则排序～因此该队有可能不出线(如 1177果某队积分～则剩下分～这样另外三个队中不可能再有两个队积分等于或超过分～这样该 7队必然出线(因此一个队为了晋级下一轮～至少要积分才能保证必然出线(若有一个队总积分518513,,是分～则其它三个队共积,分,～这个队可能排名前两名～所以有可能出线( 253:0【例 35】 (2003年《小学生数学报》数学邀请赛)在一次“分制”的女子排球比赛中，中国队以 377368战胜俄罗斯队(中国队局的总分为分，俄罗斯队局的总分为分，且每一局的比分差不 43超过分(则局的比分分别是____:____、____:____、____:____((不考虑这3局比分之间的顺序) 【解析】 在25分制的比赛中～如果一个队得到25分而另一个队的得分少于24分～则得25分的队获胜,如果一个队得到25分时另一个队得了24分～此时双方还要继续进行比赛～直到双方得分的差变 752532,，，成2分～得分多的那支队才获胜(本题中～由于～所以中国队三场比赛的得分可能为26分～26分～25分或27分～25分～25分(如果是26分～26分～25分～有两场超过了25 26224,,68242420,,,分～说明俄罗斯有两场得分是分～另一场的得分是分～则有一局的比 425:20分为～比分差大于分～不满足条件(从而中国队三场的得分分别为27分～25分～25分～ 27225,,682543,,俄罗斯有一场得分为分～另两场得分和为分～又另两场每场得分均不少于 212225421,,327:25分～则另两场的得分应分别为分和分(因此局的比分分别是～～25:21 ( 25:22 ABC【例 36】 由，，三个班中各出3名学生比赛长跑(规定第一名得9分，第二名得8分，第三名得7分，„„，第八名得2分，第九名得1分(比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有 BC名次并列的，也没有同一个班的学生获得相连名次的(如果第一名是班的，第二名是班的(那么最后一名是哪个班的, 12345678945，，，，，，，，,【解析】 九名学生的总分为:( 由于三个班的总分相等～即每个班均为15分～将1—9这9个自然数～三个数一组分为3组～使每组之和都是15～只有以下两种情况: ? 一组得分为:9～5～1, 二组得分为:7～6～2, 三组得分为:8～4～3( ? 一组得分为:8～6～1, 二组得分为:9～4～2, 三组得分为:7～5～3( 在第一种情况中～二组、三组都有相连的数～即相连的名次～这不合题意～所以只能取第(2)组 BAC的数字(那么班有第一名～得分是9～4～2,班有第二名～得分是8～6～1,则班得分为7～ B5～3(可见最后一名是班的学生( 【例 37】 (2008年南京市第四届青少年“科学小博士”思维训练系列活动)甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判(每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战(半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局(那么整个训练中的第3局当裁判的是 ( 【解析】 本题是一道逻辑推理要求较高的试题(首先应该确定比赛是在甲乙、乙丙、甲丙之间进行的(那么可以根据题目中三人打的总局数求出甲乙、乙丙、甲丙之间的比赛进行的局数( ?丙当了5局裁判～则甲乙进行了5局, 15510,,?甲一共打了15局～则甲丙之间进行了局, 21516,,?乙一共打了21局～则乙丙之间进行了局, 5101631，，,所以一共打的比赛是局( 此时根据已知条件无法求得第三局的裁判(但是～由于每局都有胜负～所以任意连续两局之间不 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 26 of 28 可能是同样的对手搭配～就是说不可能出现上一局是甲乙～接下来的一局还是甲乙的情况～必然被别的对阵隔开(而总共31局比赛中～乙丙就进行了16局～剩下的甲乙、甲丙共进行了15局～所以类似于植树问题～一定是开始和结尾的两局都是乙丙～中间被甲乙、甲丙隔开(所以可以知道第奇数局(第1、3、5、……局)的比赛是在乙丙之间进行的(那么～第三局的裁判应该是甲( 【巩固】 (走进美妙数学花园少年数学邀请赛)三人打乒乓球，每场两人，输者退下换另一人，这样继 96续下去，在甲打了场，乙打了场时，丙最多打几场, 9615，,963,,【解析】 乙都只与丙打～丙可打,场,～但甲比乙多打,场,～不算最后一场输赢～甲应 312,,15213,,13211,,赢丙,场,～这样总场数为,场,～丙打了,场,( 【例 38】 三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多，其次是第二名， 2299第三名得分最少。各科都是如此记分.已知甲最后得分，乙最后得分，丙也是得分.并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁, 【解析】 由乙英语第一～至少乙得3分～且总分为9分(所以科目不会多于7科～且每科第一名至多得8分。又由甲总分为22分～所以考试科目不少于3科。因为三人共得40分～而每科分配得分情况相同～故考试科目数应是40的约数～而3～6～7都不是40的约数～所以只可能是4科或5科。若4科～每科共为10分(按名次分配应有4种:(7～2～1)～(6～3～1)～(5～4～1)～(5～3～2)。由甲共得22分～且至多有3科第一(英语不是第一)～则后三种情况不成立～因为即便是3科第一～1科第二～总分也达到不了22分。又由乙得9分～且英语第一。如果按(7～2～1)分配～即便其他三科都是最后一名～得1分～总分也超过9分。所以～以上几种情况不能成立。若是5科～每科共为8分～按名次分配只有两种:(5～2～1),(4～3～1)(而后一种也不能成立～原因仍然是不能与甲22分吻合。所以只有(5～2～1)符合题意。按照这种分配:乙的得分情况是5～1～1～1～1。甲的得分情况是5～5～5～5～2～且得2分的科目只能是英语～所以数学第二只能是丙。注:这是一道比较复杂的推理题～运用了约数等数学知识作为载体。 模块四、计算中的逻辑推理 1330【例 39】 学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分，如果大明得分，且知他 6有个球没有投进，那么大明共投了几个球, 66630636，,【解析】 大明有个球没有投进～要被扣掉分～如果不考虑这个球～大明应该得(分)～规定 12336312,,6投进一球得分～(个)～所以～大明投进了个球～加上未投进的个球～大明共投12618，,了个球( 25616【巩固】 班里举行投篮比赛，规定投中一个球得分，投不进扣分(小立一共投了个球，得了分，那么小立投中了几个球, 66530，,301614,,【解析】 如果小立个球全部投中～应该得,分,～实际上少了,分,～投中一个球得 25527，,1472,,分～投不进扣分～投不进一个球就少,分,～所以一共没投进,个,～投中624,,了,个,球( 135【巩固】 振华小学组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分(小亮投了个球，投进 3了个(那么，他应该得多少分, 2122，,53339，,【解析】 小亮投的个球中～投进的个球得到(分)～而没有投进的个球被扣掉(分)～ 927,,于是他应得(分)( 【例 40】 小华在一个文具店里买了5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员2元钱，售货员叔叔找给他5角5分(小华看了看铅笔的价格是每支8分，就说:“叔叔，您把帐算错啦～”请问:小华怎么知道这笔帐算错了, 8540，,【解析】 因为每支铅笔的价格是8分～所以5支铅笔的价钱是(分)～40是4的倍数,4块橡皮和8个笔记本～不管它们各自的单价是多少～总共应付的钱也是4的倍数(但是小华给了售货员2元钱～找回5角5分～实际付给售货员1元4角5分～因为145(分)不是4的倍数～所以小华断定售货员把这笔帐算错了( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 27 of 28 【例 41】 张红因病在家休息了几天，这期间的气候是:?下了8次雨，时间是上午或下午;?当下午下 雨时，当天上午是晴天;?有9个下午是晴天;?有13个上午是晴天。问她一共在家休息了几 天, 【解析】 因为,2,当下午下雨时～当天上午恰好是晴天～如果上午下雨～下午也必定是晴天因此每天只 可能上午或者下午下雨。设他休息了X天～,X-9,为下午下雨的次数～,X-13,为上午下雨的次 数(X-9)+(X-13)=8～2X=30～X=15～休息了15天 410【例 42】 五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女 44孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数( 4448，,【解析】 假设最小的男孩岁～那么最大的女孩有,岁,～四个女孩年龄都不同～最小的女孩应是 5549，,10岁～那么最大的男孩为,岁,～与题目说最大的孩子岁矛盾(所以假设不成立(再假 4448，,101046,,设最小的女孩岁～那么最大的男孩为岁～最大的女孩岁～最小的男孩岁～ 8符合题意(所以最大男孩是岁( AB24D13C【例 43】 四对夫妇坐在一起闲谈(四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个; 23倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的 432妻子的倍(四对夫妇共吃了个梨(问:丙的妻子是谁, ABDC3a2b4cd【解析】 分别设～～～的丈夫吃梨的个数为～～和～则有: 32432(3241)22abcd，，，,,，，，, 124bd3 由题意知～～～～分别等于～～～四个数之一～且互不相同(所以 ac abcd，，，,102312abc，，,b～得到(所以与的奇偶性相同( c 122121124abaaba，,，，,，，,，，,38c,由于～所以～只能为或( c c,1b,32312abc，，,a,3c,2b,4a,1d,3如果～那么～由得到～矛盾(所以～～～(因 D3d,3为丙吃的梨是妻子的倍～而～所以丙的妻子是( 8-3.逻辑推理.题库 教师版 page 28 of 28