因式分解最全方法归纳

式分解最全方法归纳水散人整理于2015.09一、因式分解的概念与原则1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。2、原则：（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）结果最后只留下小括号；（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；（）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；（）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；（）相同因式的乘积写成幂的形式；（）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。3、因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。也可以用一句话来概括：“看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”二、因式分解的方法1、提取公因式公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。意事项：1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1不可丢掉；）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。例1、分解因式：–9ac+3解：原式=-3c+1)2、分解因式：–12+4解：原式=–4–y)结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。12、公式法分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。平方22b)bb平方b)2222ab222b+b+c)b+2ab+2c+2ca方33b)22bbb33b)2b2b)方和b3333abcb+)222b–bc)项立方和bb方b)3ab2+3a2bb3b)3ab2-3a2b-b3次方和–b–b)[–1)+a–2)++b–2)+b–1)次方差+b+b)[–1)-a–2)+-b–2)+b–1)为奇数)部分公式的推导：+a+a)+b)+b)+b)+b))bb-b+bb)bb)b)bb)b)b)bb)b)b+b)bb+b-bb)bb)b)bb)b)b)bb)b)b+b)、分解因式：-6解一：原式=))+8))+2)+4))+2+4)解二：-6)–)–4)+8+16–4)+2)–2)[+4)–)+2)–2)+2+4)–2+4)意：分解时既用平方差公式又用立方差公式，一般先用平方差公式，可简化步骤。、分组分解法多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部看，能够提取公因式或利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。解：原式=)bm+bn)bb、分解因式：+b–c–2解：原式=–2+b)–c–b)–c–b+c)–b–c)、十字相乘法（1）形如+b+c的二次三项式，如果有，q=c，且q+n则可把该式分解为+b+c=+p)+q)。ax2+bx+c，都要求判别式2意：凡是能十字相乘法分解的二次三项式=b4ac，能在有理数范围内分解的，还必须是一个完全平方数。、分解因式：–11x+10解：原式1)+[1×-5)+3-2)+–2)–5)-2)-5)、分解因式：–x–15解：原式+[–5)+3+3–5)+3)-5)、已知为正整数，+3+k能够在整数范围内分解因式，求。解：–49–8，9，且为正整数19、（州）要是二次三项式+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（）。、个、个、个、无数个解：（–5）–4–4，即只要能分解为和为的两个数，这样的数有无数组，故选（）二次项系数为1时，是相对上面二次三项式的简化。+q)+pq=+p)+q)10、分解因式：x+6解：原式+[–2)+–3)+–2)–3)–2)–3)11、分解因式：–3解：原式+[+–7)+5–7)+5)–7)（）对齐次多项式+b+cy，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行分解。12、分解因式：15+7-4解：原式+4))13、分解因式：–6+8解：原式))（）对次多项式形如+b+c或+b+cy的，参照上面方法进行，分解后的多项式由于次数较高，如果有能继续分解的要继续分解，直至分解彻底。14、分解因式：–5+3解：原式–1)–3)+1)–1)–3)15、分解因式：12–19m–18解：原式–9n)+2)+3)–3)+2)、拆项法（包含添项法）把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其和为的两项或多项（也称添项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。意：拆项（或添项）必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一步错，后面步步错。16、分解因式：–3+4解一：原式+1–3+3+1)–x+1)–3+1)–1)+1)–x+1–3+3)+1)–4+4)+1)–2)解二：原式–3–4)+4+4-3)+4+1)+1)–4)+4+1)+1)–4+4)+1)–2)17、分解因式：c+c)+cac)+b)解：原式cc-a+a+b)+cac)+b)cc)+cac)+bc+b)+b)cc)+a)+b+b)c)c+b)c)+b)18、分解因式：9+x+x解：原式9–1+x–1+x–1–1)+x+1)+–1)+1)+–1)–1)+x+1+x+1+1)-1)+x+1)+2+3)、配方法有些多项式可以使用拆项法将其配成一个完平方式，然后剩余部分再利用平方差公式，就能将其因式分解。（1）为了方便运算，二次项系数不为1时，先提出二次项系数，使其变为1。（）对形如+b+c的二次三项式，作变换：+b+c=+b+（）+c（）。（）对齐次多项式+b+cy，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用配方法进行分解。（）对次多项式形如+b+c或+b+cy的，参照上面方法进行。19、分解因式：+3解：原式+3+)0–)+)13)+8)-5)、分解因式：–210解：原式–41y)–4+41y)–4+4)[))+3))结：能够用配方法分解的多项式，均可用十字相乘法分解。但配方法作为一种重要的数学方法，除因式分解外还有很多重要应用，必须熟练掌握。、换元法把多项式中某些部分看成一个整体，用新字母代替，叫做换元。换元后进行因式分解，后再转换回来。（1）对多项式中杂部分换元，简化计算，避免出错。、分解因式：15151)151解：设15，原式––1)–K+1)–K)15+1)-215)（）形如cd+e的多项式，先经过适当分组，两展开，再换元以求简便。1、分解因式：+1)+2)+3)+6)+x解：原式+7+6)+5+6)+x+5+6，则+7+6+2原式+2)+x+2+M+M)+6+6)、要使多项式1)+3))-8)+m为一个完平方式，则等于)、12、、98、196解：原式1))+3))+m+4))+m+4，则原式)+m+m)196选择（）按字母的降幂排列，每一项的次数依次减1，且系数成轴提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。的等距离多项式，、分解因式：–x–6–x+2解：原式–x–6–1+)[+1)–+1)–6+1，则+1–2原式[–2)–A–6–A–10)–5)+2)+–5)+1+2)+–5)+1+2)–5+2)+2+1)+1)–1)–2)、分解因式：–4+x+4+1解：原式–4+1++1)[+1)–4–1)+1–1，则+1+2原式+2–4+1)–4+3)–1)–3)–1–1)–1–3)–x–1)–3–1)结：对结构比较复杂的多项式，能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。、主法选定一个字母为主，然后把各项按这个字母降幂排列，再进行因式分解。、分解因式：+c)+bc+a)+c+b)+2c解：原式+c)++c+2c)+bc+bc+c)++c)+bc+c)、分解因式：c)+bc)+c)解：原式–c)––c)+bc–bc–c)––c)+c)+bc–c)c)[+c)+bc)c)c)结：选定主元，可使多元多项式清晰明了，避免分解时无从下手。9、待定系数法首先判断出分解后因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。、分解因式：+x–6+x+13–6解：原式的前项可以分解为+3)-2)+x–6+x–13–6+3+a)-2+b)+3+a)-2+b)+x–6++b)+-2)–a1与原式对相同项的系数，得：13解得原式+3–2)-2+3)、多项式–y+m+5–6能分解因式，求的值，并分解此多项式。解：设–y+m+5–6+y+a)–y+b)+y+a)–y+b)–y++b)+–a)+a+–2与原式对系数得：–解得或–61–11当1时，原式–y+x+5–6+y-2)–y+3)当–1时，原式–y–x+5–6+y-3)–y+2)9、如果+a+b+8有两个因式+1和+2能分解因式，求+b的值。解：设+a+b+8+1)+2)+y)则+a+b+8++3)++2)+2+3应项的系数得：+2解得：14b=1结：必须先判断出分解后因式的形式，该形式一旦确定，后面就比较简单了。10、双十字相乘法形如+b+cy+d+ey+f的二元二次六项式，将分解成乘积作为一列，c分解成q乘积作为第二列，+n，即第1,列、第分解成列和第1,乘积作为第三列，果列都满足十字相乘规则。q+n则原式，（+qje，+p+j）+qy+k）。q+n+qje+n先用十字相乘法分解、c，得到一个十字相乘图项分解成两个因式填在第三列上，要求同时满足有两列)，满足+n和+qje。q+n；再把常数（1）对上形如+b+cy+d+ey+f的二元二次六项式，缺少的项认为系数为，可直接采用双十字相乘法分解。、分解因式：+3解一：双十字相乘法原式-11y-3)解二：先用主法，选定+2-3)为主，再经过两次使用十字相乘法分解原式–+5)––3+3)–+5)–11y–1)–3)-11y-3)+2-3)、分解因式：+5+x+9y解一：双十字相乘法原式+21)+4)解二：先用主法，选定为主，再经过两次使用十字相乘法分解原式++1)––9y+4)++1)–)1)+21)+4)（）对一次五项式，采用换元法，设一个新未知数等于原未知数的平方，原次项转化为次项，次项转化为两个1次项的乘积，次项适当拆分为原未知数的次项和新设未知数的1次项，这样就转换为二元二次六项式，再直接采用双十字相乘法分解。、分解因式：+13+2+11x+2解：设，则，，代入原式原式+13+15+5+11x+2+3+1)+5+2)+3+1)+5+2)+1)+1)+5+2)结：双十字相乘法本质上就是两次使用十字相乘法，如果掌握不好容易出错，也可以通过主元法的思路，经过两次十字相乘法来分解。11、因式定理法（包含求根法）余数定理：多项式)+b除，所得的余数为)。因式定理：如果)，那么多项式)必定含有因式。反过来，如果)含有因式，那么，)。为余式定理的推之一。（1）试错法求根法)：最高次项系数为1时，找出常数项的各个因子分别代入，找出所有满足)的因子，也就是说这些因子都是方程)的根。如果所有根为1、，且根的数量等于)的最高次数，即明方程)没有重，则分解结果为)-x1)-x)-x)。（）长除法：找出常数项的各个因数，如果某一因数足)，那么就是多项式)因式之一。把)除以，使用长除法，得到一个商的多项式。对这个商继续进行上边的步骤，直至不能分解，或通过长除法降低次数后使用其它方法分解。（）结合使用待定系数法：找出常数项的各个因数，如果某一因数足)，那么就是多项式)因式之一。不用长除法把)除以，而是把作为一个因式，用待定系数法求出其余的因式。、分解因式：–x–4+4解一：的因数为1、、)–x–4+4当1时，1)1–1–+44当–1时，–1)–1–1+4当时，)–4–8+4当–2时，–2)–8–4+8+4当时，)–16-16+4当–4时，–4)–6–16+16+4–6∴原式–1)+2)–2)解二：的因数为1、、当1时，–x–4+4–1是一个因子，用长除法提出这个因式原式–1)–4)–1)+2)–2)1、若–k好能被+3整除，除以+1余数为0，求、的值，并多项式因式分解。解：记)–k，则)代入得9解得1)11)–81=+9)-9)+9)+3)-3)9、若+m–5+n好能被+3整除，除以+1余数为，求、的值，并多项式因式分解。解：记)+m–5+n，则)9解得1)代入得+8–5–6+3)+b+c)++b)++c)+3c各项系数得解得1+8–5–6+3)–x)+2)+3)1)12、特殊值法把一些特殊值代入未知数求值，再通过把该分解因数，最后分解成因式。步骤如下：（1）将或10代入未知数，求出数值，并结果数值分解质因数。（）如果质因数的数量等于原式最高次数，进行下一步；如果质因数的数量过原式最高次数，还要把有的质因数适当合并，最后因数的数量必须等于原式最高次数。（）将这些因数写成或10的和与差的形式，将或10原成未知数，初步写出各个因式。（）把各因式的常数项的积与原式常数项对算，数值相等，这些因式的乘积就是原式的分解结果。否则回到第（）步。、分解因式：+9x+2+15解：令，则+9x+2+15+3+4+1510分解质因数，即10意到多项式中最高项的系数为1，+1，+3，+5，通过常数项验算：115+9x+2+15+1)+3)+5)、因式分解：–10+3–5+2解：令10，则原式10–1010+310–510+2把分解质因数，9意到多项式中最高项的系数为1，10–4，10–3，10–2，9=10–1再用回代10即得：(–4)–3)–2)–1)通过常数项验算：(–4)–3)–2)–1)原式–4)–3)–2)–1)结：（1）目前掌握的特殊值法分解因式，只适用于最高次项系数为1的多项式；（）其他介绍特殊值法分解因式的，都没有对比常数项验算，在给求值结果分解质因数数量超过原式最高次数需要合并一些因数时，很容易出错，必须这一步骤！10