[最新]一维势阱和势垒题目
?15-4一维势阱和势垒问题
上一节我们简要地阐述了量子力学的一些基本概念和基本原理,这些概念和原理都在一维无限深方势阱、势垒和一维谐振子等问题中以最简单的形式
现出来,所以本节和下一节的内容可以看作为量子力学概念和原理的具体应用。同时,一维无限深方势阱是金属中自由电子的一个简化模型,是解释金属物理性质的基础,一维谐振子则是处理黑体辐射、晶格振动等多种物理问题的基础。
一、一维无限深方势阱
所谓一维无限深方势阱,就是粒子在势阱中的势能为零,而在势阱外势能等于无限大,即
(15-44)
这样,粒子就被限制在x=0和x= a两点之间的无限深的平
底深谷中运动,如图15-1所示。
因为势能u(x)与时间无关,所以这是定态问题,可以用定态
薛定谔方程求解。在势阱内u(x) =0,哈密顿算符的形式成为
图15-1 ,定态薛定谔方程可写作
,(15-45)
令
, (15-46)
方程(15-45)的解可以表示为
, (15-47)
式中a和,是积分常数,应分别由归一化条件和边界条件确定。
粒子不可能穿越阱壁而到达阱外去,所以在阱壁和阱外波函数应为零。根据,可以确定,= 0或m ,,m =1,2,3,,,,。于是,式(15-47)可以写为
.
根据,可以得到
ka = n ,, n = 1,2,3,…(15-48)
于是归一化波函数可以表示为
(15-53)
由式(15-46)和式(15-48)可以得到
(15-49)
其中任意一个能量值e,都是能量的本征值,由式(15-49)所表示的整套能量本征值,就是系统的能n
谱。显然,一维无限深方势阱的能谱是分立谱, 这个分立的能谱就是量子化了的能级。粒子的最低能量状态称为基态,就是n = 1的状态,基态的能量为
. (15-50)
此本征值能量称为零点能,是束缚在无限深方势阱内的粒子所具有的最低能量。既然量子系统具有零点能,就必定存在零点运动。这一结果与经典物理学概念相矛盾,经典物理学的结论是当系统的温度达到绝对零度时,一切运动都将停止,能量变为零。
图15-2中画出了对应于能量本征值e、e、e3和e4的波函数,、,、,3和,4,以及相应的概率1212
密度、、和。>>>>详细说明
二、势垒穿透和隧道效应
从上面对无限深方势阱的讨论我们已经看到,无限高的势垒把粒子完全束缚在阱区之内。现在让我们看一下,有限高的势垒是否也能把粒子束缚住。
有一如图15-3所示的方形势垒,具有下面的形式
当能量为e(
答案。这实
际上是粒子被势垒散射的一维问题,粒子从无限远来,沿图15-3
中箭头所示的方向射向势垒,按一般的估计,可能一部分被反射,
还有一部分透射。在p区和s区薛定谔方程的形式为
图15-3
,(15-55) 其中
. (15-56)
在q区粒子应满足下面的方程式
,(15-57) 式中
. (15-58) 以上两个方程都可以用分离变量法求解,并得
(p区) , (15-59)
(q区) , (15-60)
(s区) . (15-61)
ikx在p区,波函数包括两部分,一部分是沿x方向传播的入射波ae ,另一部分则是沿,x方向传播1
,ikx的反射波be,并可以由系数a和b确定势垒的反射系数 111
. (15-62)
x,,xg在q区,也存在沿x方向传播的透射波ae和沿 ,x方向传播的反射波be。在s区,只可能存22
ikx在沿x方向传播的透射波a3e ,所以势垒的透射系数可以表示为
. (15-63)
系数a、b、a、b和a3可以根据归一化条件以及波函数及其导数在x = 0和x = a处连续的要求1122
加以确定。
我们感兴趣的是,在粒子能量e