东南大学05-06-2工科数学分析期末试卷(A、B)答案
工科数分05-06-2期末试卷(A、B)参考答案及评分
06。1。19
一(填空
(本题共9小题,每小题4分,满分36分)
112;2(3)(;3(4)(;4(6)(;5(7)(充分;6(9)( 1(0xy(1ln),3
111;7(2)(;8(5)(;9(8)( 12,,p,,1,2123,,,,,,,,n23n
,,,,,,,,, ,,,,0,0,,,,()()xxIxxfxfx,,,,,,,,,,00
二(计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,满分28分)
2x2,;()xxe1,,x21( (5分)(2分) ,,3limlim,22,,,,xx00xxxx1cos,,xx211(),,,,,,x;28224
xxxe1e11e11,,2xxxx2(dddarctand4e,,,, 2222,xxxx,,,,e4e4e422814e,,,,
x1e1,2x,,,,C(2分+2分)arctanln14e(3分) ,,228
,,,,242xxxxsinsind,3(4)((3分)(2分) ,,cossindxxx,cossindxxx,,,0002
,(2分) ,2
,,11ddxtdt1,4(3)(令,(3分) ,x,,,,221020t,,,,xxxtt221221(1),,t
21,,,,,,,ln11(1)ln(12)tt(4分) ,,0
12,(,)xy三((本题满分9分)设为切点, abxx,,,,1,yxbxx()21,,,,,,,00000002b
a2a,122b()2()d2(1),,,,,Vaxabxxaa(3分)(2分) ,,a,,1,02b4b
222,,令,(2分)当时,Va()0,,当时,,,,,,0,,aa,Vaaaa()2(23)0,333
23,Va()0,,是唯一的极大值点,因而是最大值点,。(2分) b,a,43
四((本题共2小题,满分14分)
222,x,,xx2,1((本题满分6分)(1分),(2分+3分) yxyx22eyCx,,ee,,
xx(1),*2x,,,2((本题满分8分)(2分),解得一特解,解yyx,,2yCC,,ey,,1124
1xx(1)1,2x*2x22xx,,,yy,,2e得一特解(4分),(1分), yx,eyCCx,,,,ee212242
9119,由得, yy(0)2,(0),,CCCCC,,,,,,,2,2,1122124424
1(1)xx,,,2xyx,,,,1e1(1分) ,,24,,
x,22x,,,,(,3)(0,3)五((本题满分7分)设,当时,, fx()0,fxxx()e(3),,,
,,,3,03,因此只需讨论在上的零点个数。(2分) fx(),,,,
3122(3,1),,,在和内至少fx()(1,0),fff,,,,,,,,,3e0,(0)10,(1)e20,,
3,,12(3,2)fffx(3)e0,(2)e20,(),,,,,各存在一个零点。在内至少存在一个零
点。因此至少存在三个零点。(3分)现证明至多存在三个零点。设存在四fx()fx()fx()
x,12,,,,,,fx,,,,()e60个零点,反复使用Rolle定理,知至少存在一个零点,但。fx()8x,22矛盾。方程恰好有三个实根。(2分) e(3),,xx
111六((本题满分6分)设为正整数,, kxk,,,,,1,k212121kxk,,,
k,1111三边积分得,(2分)左边关于kn,,1,2,,1相加得: ,,xd,kkxk,,,212121
n1111,右边关于kn,1,2,,相加得: ,,,,,,xndln21,1nx,,352121
n,11111,(3分)所以 ,,,,,,,xn1dln21,1nx,,352121
111(1分) ln2111ln21nn,,,,,,,,,3521n,