[整理版]圆的直径式方程
圆的直径式方程
若圆的直径端点,则圆的方程为 AxyBxy,,,,,,,1122
xxxxyyyy,,,,,,0,,,,,,,,1212
AB、事实上,若设是圆上异于直径端点的点, Mxy,,,
由
yyyy,,12 ,,,1xxxx,,12
得,
xxxxyyyy,,,,,,0,,,,,,,,1212
AB、显然也满足上式,所以,以AB为直径的圆的方程为
xxxxyyyy,,,,,,0 (1.1) ,,,,,,,,1212
对于式(1.1)可分解变形为
22 xxxxxxyyyyyy,,,,,,,,0(1.2),,,,12121212
而式(1.2)可以看作是两式
2xxxxxx,,,,0 (1.3) ,,1212
2yyyyyy,,,,0 (1.4) ,,1212
迭加而成,且每一式中的一次项系数和常数项明确显露出韦达定理特征,据此着眼,对于某
y些直线与曲线相交问题,可将直线方程代入曲线方程分别得出关于及的一元二次方程,x然后两式迭加即得以直线被曲线所截弦长为直径的圆的方程.
222ykxbk,,,0ykxbk,,,0下面取曲线为圆,去直线为为例,设直线xyr,,,,,,
222222AxyBxy,,,y与圆有两个交点,将代入,消去ykxb,,xyr,,xyr,,,,,,1122
得,
2222120,,,,,kxbkxbr (1.5) ,,
yb,222x,x将代入,消去,得, xyr,,k
22222120,,,,,kybybrk (1.6) ,,
由韦达定理得,
222bkbr,xxxx,,,,,12122211,,kk 2222bbrk,yyyy,,,,12122211,,kk
所以以为直径的圆的方程为 AB
2222222bkbrbbrk,,22 (1.7)xxyy,,,,,,022221111,,,,kkkk